1、第二课圆锥曲线与方程【网络体系网络体系】【核心速填核心速填】1.1.椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质|F|F1 1F F2 2|且大于零且大于零不经过不经过相等相等2222xy1ab2222yx1ab2222xy1ab2222yx1aby y2 2=2px=2pxx x2 2=2py=2pya a2 2-b-b2 2a a2 2+b+b2 2abbacaca2.2.椭圆的焦点三角形椭圆的焦点三角形设设P P为椭圆为椭圆 (ab0)(ab0)上任意一点上任意一点(不在不在x x轴上轴上),),F F1 1,F,F2 2为焦点且为焦点且F
2、 F1 1PFPF2 2=,=,则则PFPF1 1F F2 2为焦点三角形为焦点三角形(如如图图).).(1)(1)焦点三角形的面积焦点三角形的面积S=bS=b2 2tan .tan .(2)(2)焦点三角形的周长焦点三角形的周长L=2a+2c.L=2a+2c.2222xy1ab23.3.双曲线及渐近线的设法技巧双曲线及渐近线的设法技巧(1)(1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时由双曲线标准方程求其渐近线方程时,最简单实用最简单实用的办法是的办法是:把标准方程中的把标准方程中的1 1换成换成0,0,即可得到两条渐近即可得到两条渐近线的方程线的方程.如双曲线如双曲线 (a0,b0)(a0,b0)
3、的渐近线方程的渐近线方程为为 =0(a0,b0),=0(a0,b0),即即y=_;y=_;双曲线双曲线 (a0,(a0,b0)b0)的渐近线方程为的渐近线方程为 =0(a0,b0),=0(a0,b0),即即y=_.y=_.2222xy1ab2222xyabbxa2222yx1ab2222yxabaxb(2)(2)如果双曲线的渐近线为如果双曲线的渐近线为 时时,它的双曲线方程它的双曲线方程可设为可设为_._.xy0ab2222xy(0)ab 4.4.共轭双曲线共轭双曲线(1)(1)双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线.(2)(2)双曲线与它的共轭双曲线有相同的
4、焦距双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距.(3)(3)与与 =1=1具有相同渐近线的双曲线系方程为具有相同渐近线的双曲线系方程为=k(k0).=k(k0).2222xyab2222xyab5.5.抛物线方程的设法抛物线方程的设法对顶点在原点对顶点在原点,对称轴为坐标轴的抛物线方程对称轴为坐标轴的抛物线方程,一般可一般可设为设为y y2 2=ax(a0)=ax(a0)或或x x2 2=ay(a0).=ay(a0).6.6.抛物线的焦点弦问题抛物线的焦点弦问题抛物线过焦点抛物线过焦点F F的弦长的弦长|AB|AB|的一个重要结论的一个重要结论.(1)y(1)y2 2=2px(p0)=2px(p0)中
5、中,|AB|=_.,|AB|=_.(2)y(2)y2 2=-2px(p0)=-2px(p0)中中,|AB|=-x,|AB|=-x1 1-x-x2 2+p.+p.(3)x(3)x2 2=2py(p0)=2py(p0)中中,|AB|=_.,|AB|=_.(4)x(4)x2 2=-2py(p0)=-2py(p0)中中,|AB|=-y,|AB|=-y1 1-y-y2 2+p.+p.x x1 1+x+x2 2+p+py y1 1+y+y2 2+p+p【易错警示易错警示】1.1.椭圆的定义椭圆的定义|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2a|=2a中中,应有应有2a|F2a|F1 1F F2 2
6、|,|,双曲双曲线定义线定义|PF|PF1 1|-|PF|-|PF2 2|=2a|=2a中中,应有应有2a|F2a0,b0)(a0,b0)的渐近线方程为的渐近线方程为y=y=双曲线双曲线 =1(a0,b0)=1(a0,b0)的渐近线方程为的渐近线方程为y=y=7.7.直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况种情况:一是相切一是相切;二是直线与双曲线的渐近线平行、二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行直线与抛物线的对称轴平行.2222xy1abbxa；2222yxabax.b类型一类型一轨迹问题轨迹问题【典例典例1 1】1.(
7、20161.(2016郑州郑州高二检测高二检测)一动圆与两圆：一动圆与两圆：x x2 2+y+y2 2=1=1和和x x2 2+y+y2 2-6x+5=0-6x+5=0都外切，则动圆圆心的轨迹为都外切，则动圆圆心的轨迹为 ()A.A.抛物线抛物线 B.B.双曲线双曲线C.C.双曲线的一支双曲线的一支 D.D.椭圆椭圆2.2.已知圆已知圆C C：x x2 2+(y-3)+(y-3)2 2=9=9，过原点作圆，过原点作圆C C的弦的弦OPOP，求，求OPOP中点中点Q Q的轨迹方程的轨迹方程.【解析解析】1.1.选选C.xC.x2 2+y+y2 2=1=1是以原点为圆心，半径为是以原点为圆心，半径
8、为1 1的的圆，圆，x x2 2+y+y2 2-6x+5=0-6x+5=0化为标准方程为化为标准方程为(x-3)(x-3)2 2+y+y2 2=4=4，是圆，是圆心为心为A(3A(3，0)0)，半径为，半径为2 2的圆，设所求动圆圆心为的圆，设所求动圆圆心为P P，动，动圆半径为圆半径为r r，如图，如图，则则|PA|-|PO|=1|AO|=3|PA|-|PO|=1|AO|=3，符合双曲线的，符合双曲线的定义，结合图形可知，动圆圆心的轨迹为双曲线的一定义，结合图形可知，动圆圆心的轨迹为双曲线的一支支.POr 1PAr 2 2.2.方法一：方法一：(直接法直接法)如图，因为点如图，因为点Q Q是
9、是OPOP的中点，所以的中点，所以OQC=90OQC=90.设设Q(xQ(x，y)y)，由题意，得，由题意，得|OQ|OQ|2 2+|QC|+|QC|2 2=|OC|=|OC|2 2，即即x x2 2+y+y2 2+x+x2 2+(y-3)+(y-3)2 2=9=9，所以点所以点Q Q的轨迹方程为的轨迹方程为 (去掉原点去掉原点).).2239xy24()方法二：方法二：(定义法定义法)如图所示，因为点如图所示，因为点Q Q是是OPOP的中点，所以的中点，所以OQC=90OQC=90，则，则点点Q Q在以在以OCOC为直径的圆上，故点为直径的圆上，故点Q Q的轨迹方程为的轨迹方程为 (去掉原点
10、去掉原点).).223xy2()94方法三：方法三：(代入法代入法)设设P(xP(x1 1，y y1 1)，Q(xQ(x，y)y)，由题意，得，由题意，得 即即 又因为又因为x x1 12 2+(y+(y1 1-3)-3)2 2=9=9，所以所以4x4x2 2+4 =9+4 =9，即点即点Q Q的轨迹方程为的轨迹方程为 (去掉原点去掉原点).).11xx,2yy,211x2x,y2y.2239xy24()23y2()【延伸探究延伸探究】把本例把本例1 1的条件的条件“都外切都外切”换成换成“都内切都内切”【解析解析】选选C.C.设动圆的圆心为设动圆的圆心为P P，半径为，半径为r r，由题意可
11、，由题意可知，知，|PO|=r-1|PO|=r-1，|PA|=r-2|PA|=r-2，故，故|PO|-|PA|=1|PO|-|PA|=1，所以动圆，所以动圆圆心的轨迹为双曲线的一支圆心的轨迹为双曲线的一支.【方法技巧方法技巧】求曲线的方程的常用方法及特点求曲线的方程的常用方法及特点(1)(1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系量关系，只需把这种关系“翻译翻译”成含成含x x，y y的等式就的等式就得到曲线的轨迹方程得到曲线的轨迹方程.(2)(2)定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，定义法：动点满足已知曲线的定
12、义，可先设定方程，再确定其中的基本量再确定其中的基本量.(3)(3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出，但动点代入法：动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点是随着另一动点(称之为相关点称之为相关点)而运动的而运动的.如果相关点如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程方程即可求得动点的轨迹方程.(4)(4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再
13、根据条件确定待定的系数方程形式，再根据条件确定待定的系数.【变式训练变式训练】已知动点已知动点M M到定点到定点A(1A(1，0)0)与到定直线与到定直线l：x=3x=3的距离之和等于的距离之和等于4 4，求动点，求动点M M的轨迹方程，并说明轨的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？迹是什么曲线？【解析解析】设设M(xM(x，y)y)是轨迹上的任意一点，作是轨迹上的任意一点，作MNMNl于于N N，由由|MA|+|MN|=4|MA|+|MN|=4得得 +|x-3|=4.+|x-3|=4.当当x3x3时，上式化简为时，上式化简为y y2 2=-12(x-4)=-12(x-4)；当当x3x3时，上式化
14、简为时，上式化简为y y2 2=4x.=4x.所以点所以点M M的轨迹方程为的轨迹方程为y y2 2=-12(x-4)(x3)=-12(x-4)(x3)和和y y2 2=4x(x3)=4x(x b b0)0)的左、右焦的左、右焦点分别是点分别是F F1 1(-c(-c，0)0)，F F2 2(c(c，0)0)，Q Q是椭圆外的动点，是椭圆外的动点，满足满足|=2|=2a a.点点P P是线段是线段F F1 1Q Q与该椭圆的交点，点与该椭圆的交点，点T T在在线段线段F F2 2Q Q上，并且满足上，并且满足 =0=0，|0|0，求点，求点T T的的轨迹轨迹C C的方程的方程.2222xyab
15、1FQ 2PT TF 2TF【解题指南解题指南】设动点设动点T T的坐标为的坐标为(x(x，y)y)，根据题设条件，根据题设条件列出关于列出关于x x，y y的等式，化简得解的等式，化简得解.【解析解析】方法一：设点方法一：设点T T的坐标为的坐标为(x(x，y)y)，当当|=0|=0时，点时，点(a(a，0)0)和点和点(-a(-a，0)0)在轨迹上在轨迹上.当当|0|0且且|0|0时，由时，由 =0=0得得 PTPT2TF 2PT TF 2PTTF.又又 ，所以，所以T T为线段为线段F F2 2Q Q的中点的中点.在在QFQF1 1F F2 2中，中，=a=a，所以有，所以有x x2 2
16、+y+y2 2=a=a2 2，综上所述，点综上所述，点T T的轨迹的轨迹C C的方程是的方程是x x2 2+y+y2 2=a=a2 2.2PQ PF 11OTFQ2 方法二：设点方法二：设点T T的坐标为的坐标为(x(x，y)y)，当当|=0|=0时，点时，点(a(a，0)0)和点和点(-a(-a，0)0)在轨迹上在轨迹上.当当|0|0且且|0|0时，由时，由 =0=0得得 又又 ，所以，所以T T为线段为线段F F2 2Q Q的中点的中点.PTPT2TF 2PT TF 2PTTF.2PQPF 设点设点Q Q的坐标为的坐标为(x(x，y)y)，则，则 因此因此 由由|=2a|=2a得得(x+c
17、)(x+c)2 2+y+y2 2=4a=4a2 2.将代入，可得将代入，可得x x2 2+y+y2 2=a=a2 2.综上所述，点综上所述，点T T的轨迹的轨迹C C的方程是的方程是x x2 2+y+y2 2=a=a2 2.xcx2yy2，x2x cy2y.，1FQ 类型二类型二圆锥曲线的定义及应用圆锥曲线的定义及应用【典例典例2 2】(2016(2016合肥高二检测合肥高二检测)双曲线双曲线16x16x2 2-9y-9y2 2=144=144的左、右两焦点分别为的左、右两焦点分别为F F1 1,F,F2 2,点点P P在双曲线上在双曲线上,且且|PF|PF1 1|PF|PF2 2|=64,|
18、=64,求求PFPF1 1F F2 2的面积的面积.【解析解析】双曲线方程双曲线方程16x16x2 2-9y-9y2 2=144=144化简为化简为 即即a a2 2=9,b=9,b2 2=16,=16,所以所以c c2 2=25,=25,解得解得a=3,c=5,a=3,c=5,所以所以F F1 1(-5,0),F(-5,0),F2 2(5,0).(5,0).设设|PF|PF1 1|=m,|PF|=m,|PF2 2|=n,|=n,由双曲线的定义知由双曲线的定义知|m-nm-n|=2a=6,|=2a=6,又已知又已知m mn n=64,=64,22xy1,916在在PFPF1 1F F2 2中中
19、,由余弦定理知由余弦定理知所以所以F F1 1PFPF2 2=60=60,所以所以 所以所以PFPF1 1F F2 2的面积为的面积为 .222222121 2121222PFPF|FF|mn(2c)cos FPF2|PF|PF2m nm n2m n 4c36 2 64 4 251.2m n2 642 1 2PFF121211SPF PF sin FPFm n sin 6016 322，16 3【延伸探究延伸探究】本例条件本例条件“|PF|PF1 1|PF|PF2 2|=64”|=64”改为改为“PFPF1 1PFPF2 2”,”,则则PFPF1 1F F2 2的面积是多少的面积是多少?【解析
20、解析】双曲线双曲线16x16x2 2-9y-9y2 2=144,=144,化简为化简为 即即a a2 2=9,b=9,b2 2=16,=16,所以所以c c2 2=25,=25,解得解得a=3,c=5,a=3,c=5,所以所以|F|F1 1F F2 2|=10.|=10.设设|PF|PF1 1|=m,|PF|=m,|PF2 2|=n.|=n.22xy1916，因为因为PFPF1 1PFPF2 2,所以有所以有m m2 2+n+n2 2=(2c)=(2c)2 2=100,=100,由双曲线的定义得由双曲线的定义得|m-nm-n|=2a=6,|=2a=6,所以所以(m-n)(m-n)2 2=36,
21、=36,即即m m2 2+m+m2 2-2m-2mn=36,n=36,因此有因此有m mn n=32,=32,所以所以 所以所以PFPF1 1F F2 2的面积为的面积为16.16.1 2PFF1211SPF PFm n 1622，【方法技巧方法技巧】“回归定义回归定义”解题的三点应用解题的三点应用应用一应用一:在求轨迹方程时在求轨迹方程时,若所求轨迹符合某种圆锥曲若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义线的定义,则根据圆锥曲线的定义则根据圆锥曲线的定义,写出所求的轨迹方写出所求的轨迹方程程;应用二应用二:涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时角形问
22、题时,常用定义结合解三角形的知识来解决常用定义结合解三角形的知识来解决;应用三应用三:在求有关抛物线的最值问题时在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形结合几何图形,利利用几何意义去解决用几何意义去解决.特别提醒特别提醒:应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件条件.【变式训练变式训练】如图所示如图所示,已知双曲线的焦点在已知双曲线的焦点在x x轴上轴上,离离心率为心率为2,F2,F1 1,F,F2 2为左、右焦点为左、右焦点.P.P为双曲线上一点为双曲线上一点,且且F
23、 F1 1PFPF2 2=60=60,求双曲线的标准方程求双曲线的标准方程.1 2PFFS12 3，【解析解析】设双曲线的标准方程为设双曲线的标准方程为 因为因为e=2,e=2,所以所以c=2a.c=2a.由双曲线的定义有由双曲线的定义有|PF|PF1 1|-|PF|-|PF2 2|=2a=c,|=2a=c,在在PFPF1 1F F2 2中中,由余弦定理由余弦定理,得得|F|F1 1F F2 2|2 2=|PF=|PF1 1|2 2+|PF+|PF2 2|2 2-2|PF-2|PF1 1|PF|PF2 2|cos60|cos60=(|PF=(|PF1 1|-|PF|-|PF2 2|)|)2 2
24、+2|PF+2|PF1 1|PF|PF2 2|(1-cos60(1-cos60),),即即4c4c2 2=c=c2 2+|PF+|PF1 1|PF|PF2 2|.|.2222xy1(a 0 b 0).ab，ca又又 所以所以|PF|PF1 1|PF|PF2 2|sin60|sin60=,=,即即|PF|PF1 1|PF|PF2 2|=48,|=48,由得由得,c,c2 2=16,c=4,=16,c=4,则则a=2,ba=2,b2 2=c=c2 2-a-a2 2=12.=12.所以所求的双曲线的标准方程为所以所求的双曲线的标准方程为 1 2PFFS12 3，12 31222xy1.412【补偿训
25、练补偿训练】(2016(2016长沙高二检测长沙高二检测)过双曲线过双曲线C:C:(a0,b0)(a0,b0)的左焦点的左焦点F F1 1(-2,0),(-2,0),右焦点右焦点F F2 2(2,0)(2,0)分别作分别作x x轴的垂线轴的垂线,交双曲线的两渐近线于交双曲线的两渐近线于A,B,C,DA,B,C,D四点四点,且四边形且四边形ABCDABCD的面积为的面积为16 .16 .(1)(1)求双曲线求双曲线C C的标准方程的标准方程.(2)(2)设设P P是双曲线是双曲线C C上一动点上一动点,以以P P为圆心为圆心,PF,PF2 2为半径的圆为半径的圆交射线交射线PFPF1 1于点于点
26、M,M,求点求点M M的轨迹方程的轨迹方程.2222xy1ab3【解析解析】(1)(1)由由 解得解得y=,y=,由双曲线及其渐近线由双曲线及其渐近线的对称性知四边形的对称性知四边形ABCDABCD为矩形为矩形,故四边形故四边形ABCDABCD的面积为的面积为4 4 =16 ,=16 ,所以所以b=a,b=a,结合结合c=2c=2且且c c2 2=a=a2 2+b+b2 2得得:a=1,b=:a=1,b=,所以双曲线所以双曲线C C的标准方程为的标准方程为x x2 2-=1.-=1.x2byxa，2ba4ba3332y3(2)P(2)P是双曲线是双曲线C C上一动点上一动点,故故|PF|PF1
27、 1|-|PF|-|PF2 2|=2,|=2,又又M M点在点在射线射线PFPF1 1上上,且且|PM|=|PF|PM|=|PF2 2|,|,故故|F|F1 1M|=|PFM|=|PF1 1|-|PM|-|PM|=|PF=|PF1 1|-|PF|-|PF2 2|=2,|=2,所以点所以点M M的轨迹是以的轨迹是以F F1 1为圆心为圆心,半径半径为为2 2的圆的圆,其轨迹方程为其轨迹方程为(x+2)(x+2)2 2+y+y2 2=4.=4.类型三类型三圆锥曲线的方程圆锥曲线的方程【典例典例3 3】求与椭圆求与椭圆 有相同的焦点有相同的焦点,且离心率且离心率为为 的椭圆的标准方程的椭圆的标准方程
28、.22xy19455【解析解析】因为因为 所以所求椭圆的焦点为所以所求椭圆的焦点为 设所求椭圆的方程为设所求椭圆的方程为 (ab0),(ab0),因为因为 所以所以a=5,a=5,所以所以b b2 2=a=a2 2-c-c2 2=20,=20,所以所求椭圆的方程为所以所求椭圆的方程为 c9 45，(50)(50)，2222xy1abc5ec5a5，22xy1.25 20【方法技巧方法技巧】处理圆锥曲线问题的策略处理圆锥曲线问题的策略(1)(1)待定系数法求圆锥曲线的步骤待定系数法求圆锥曲线的步骤:定位置定位置:先确定圆锥曲线焦点的位置先确定圆锥曲线焦点的位置,从而确定方程从而确定方程的类型的类
29、型;设方程设方程:根据方程的类型根据方程的类型,设出方程设出方程;求参数求参数:利用已知条件利用已知条件,求出求出a,ba,b或或p p的值的值;得方程得方程:代入所设方程代入所设方程,从而得出所求方程从而得出所求方程.(2)(2)焦点位置不确定的曲线方程的设法焦点位置不确定的曲线方程的设法:椭圆方程可设为椭圆方程可设为mxmx2 2+ny+ny2 2=1(m0,n0,mn);=1(m0,n0,mn);双曲线方程可设为双曲线方程可设为mxmx2 2+ny+ny2 2=1(m=1(mn0);nb0)(ab0)共焦点的椭圆方程可设为共焦点的椭圆方程可设为 与双曲线与双曲线 (a0,b0)(a0,b
30、0)共焦点的双曲线方程可共焦点的双曲线方程可设为设为 2222xy1ab2222xy1;am bm2222xy1ab2222xy1.akbk【变式训练变式训练】(2015(2015全国卷全国卷)一个圆经过椭圆一个圆经过椭圆的三个顶点的三个顶点,且圆心在且圆心在x x轴的正半轴上轴的正半轴上,则该圆的标准方则该圆的标准方程为程为.【解题指南解题指南】设出圆的方程为设出圆的方程为(x-a)(x-a)2 2+y+y2 2=r=r2 2,然后由两然后由两点间距离公式求解点间距离公式求解.22xy1164【解析解析】设圆心为设圆心为(a,0),(a,0),则圆的方程为则圆的方程为(x-a)(x-a)2
31、2+y+y2 2=r=r2 2,依题意得依题意得 解得解得 所以圆所以圆的方程为的方程为 答案答案:222a2(4 a)，2325ar24，22325(x)y.2422325(x)y24【补偿训练补偿训练】求以椭圆求以椭圆 的长轴端点为焦点的长轴端点为焦点,且且经过点经过点 的双曲线的标准方程的双曲线的标准方程.22xy1259P(4 23)，【解析解析】椭圆椭圆 长轴的顶点为长轴的顶点为A A1 1(-5,0),A(-5,0),A2 2(5,0),(5,0),则双曲线的焦点为则双曲线的焦点为F F1 1(-5,0),F(-5,0),F2 2(5,0).(5,0).由双曲线的定义知由双曲线的定
32、义知,即即2a=8,a=4,c=5,2a=8,a=4,c=5,所以所以b b2 2=c=c2 2-a-a2 2=9.=9.所以双曲线的标准方程为所以双曲线的标准方程为 22xy125922221222PFPF4 2 53 04 2 53 05 2 45 2 48，22xy1.169类型四类型四圆锥曲线的性质及应用圆锥曲线的性质及应用【典例典例4 4】已知椭圆已知椭圆C:(ab0)C:(ab0)的左焦点的左焦点F F及点及点A(0,b),A(0,b),原点原点O O到直线到直线FAFA的距离为的距离为 b.b.(1)(1)求椭圆求椭圆C C的离心率的离心率e.e.(2)(2)若点若点F F关于直
33、线关于直线l:2x+y=0:2x+y=0的对称点的对称点P P在圆在圆O:xO:x2 2+y+y2 2=4=4上上,求椭圆求椭圆C C的方程及点的方程及点P P的坐标的坐标.2222xy1ab22【解析解析】(1)(1)由点由点F(-ae,0),F(-ae,0),点点A(0,b)A(0,b)及及b=b=得直线得直线FAFA的方程为的方程为 即即 因为原点因为原点O O到直线到直线FAFA的距离的距离 21 e a，2xy1ae1 e a，221 e x ey ae 1 e0.22b ae 1 e2，22221 e a ae 1 e.e.22 所以解得(2)(2)设椭圆设椭圆C C的左焦点的左焦
34、点 关于直线关于直线l:2x+y=0:2x+y=0的对的对称点为称点为P(xP(x0 0,y,y0 0),),则有则有解得解得 2F(a 0)2，0000y122xa22xay22022，003 22 2xa ya.105，因为因为P P在圆在圆x x2 2+y+y2 2=4=4上上,所以所以 所以所以a a2 2=8,b=8,b2 2=(1-e=(1-e2 2)a)a2 2=4.=4.故椭圆故椭圆C C的方程为的方程为 点点P P的坐标为的坐标为 223 22 2(a)(a)4.10522xy184，6 8().5 5，【方法技巧方法技巧】1.1.圆锥曲线的主要性质圆锥曲线的主要性质圆锥曲线
35、的主要性质包括范围、对称性、焦点、顶点、圆锥曲线的主要性质包括范围、对称性、焦点、顶点、长短轴长短轴(椭圆椭圆)、实虚轴、实虚轴(双曲线双曲线)、渐近线、渐近线(双曲线双曲线)、离心率和准线离心率和准线(抛物线抛物线).).2.“2.“三法三法”应对离心率应对离心率(1)(1)定义法定义法:由椭圆由椭圆(双曲线双曲线)的标准方程可知的标准方程可知,不论椭圆不论椭圆(双曲线双曲线)的焦点在的焦点在x x轴上还是在轴上还是在y y轴上都有关系式轴上都有关系式a a2 2-b b2 2=c=c2 2(a(a2 2+b+b2 2=c=c2 2)以及已知其中的任意两个参数以及已知其中的任意两个参数,可以
36、求可以求其他的参数其他的参数,这是基本且常用的方法这是基本且常用的方法.(2)(2)方程法方程法:建立参数建立参数a a与与c c之间的齐次关系式之间的齐次关系式,从而求出从而求出其离心率其离心率,这是求离心率的十分重要的思路及方法这是求离心率的十分重要的思路及方法.(3)(3)几何法几何法:求与过焦点的三角形有关的离心率问题求与过焦点的三角形有关的离心率问题,根根据平面几何性质以及椭圆据平面几何性质以及椭圆(双曲线双曲线)的定义、几何性质的定义、几何性质,建立参数之间的关系建立参数之间的关系.通过画出图形通过画出图形,观察线段之间的观察线段之间的关系关系,使问题更形象、直观使问题更形象、直观
37、.【变式训练变式训练】(2016(2016北京高二检测北京高二检测)设点设点F F1 1,F,F2 2分别是分别是椭圆椭圆C:(ab0)C:(ab0)的左、右焦点的左、右焦点,P,P为椭圆为椭圆C C上任上任意一点意一点,且且 的最小值为的最小值为0,0,则椭圆的离心率为则椭圆的离心率为()2222xy1ab12PF PF 1233A.B.C.D.2224【解题指南解题指南】先设点先设点P(x,yP(x,y),),表示出表示出 ,然后消去然后消去y,y,得到关于得到关于x x的二次函数的二次函数,再根据二次函数的性质可得再根据二次函数的性质可得最值最值,从而得到从而得到a,b,ca,b,c的等
38、量关系的等量关系,求出离心率求出离心率.12PF PF 【解析解析】选选B.B.设点设点P(x,yP(x,y)为椭圆为椭圆C C上任意一点上任意一点,则则 ,所以所以 所以所以 =(-=(-c-x,-y)(c-x,-yc-x,-y)(c-x,-y)=x)=x2 2+y+y2 2-c-c2 2 因为因为 的最小值为的最小值为0,0,2222xy1ab2222xyb(1)a，12PF PF 222222222222xbxb(1)c(1)xbcbcaa，12PF PF 所以所以b b2 2-c-c2 2=0,=0,则则a a2 2=b=b2 2+c+c2 2=2c=2c2 2,222c1e,a22e
39、.2所以即【补偿训练补偿训练】已知双曲线已知双曲线 的右焦点与抛物线的右焦点与抛物线y y2 2=12x=12x的焦点重合的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于离等于()A.A.B.4 B.4 C.3 C.3 D.5D.5 222xy14b52【解析解析】选选A.A.由双曲线的右焦点与抛物线由双曲线的右焦点与抛物线y y2 2=12x=12x的焦点的焦点重合重合,知知c=3,cc=3,c2 2=9=4+b=9=4+b2 2,于是于是b b2 2=5,b=.=5,b=.因此该双曲因此该双曲线的渐近线方程为线的渐近线方程为y=y=x,x,即即 x x2y=0
40、,2y=0,故该双曲线的焦点到其渐近线的距离为故该双曲线的焦点到其渐近线的距离为p255253 5d5.5 4类型五类型五直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系【典例典例5 5】(2016(2016威海高二检测威海高二检测)已知椭圆已知椭圆(ab0)(ab0)上的点上的点P P到左右两焦点到左右两焦点F F1 1,F,F2 2的距离之和为的距离之和为2 ,2 ,离心率为离心率为 .(1)(1)求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程.(2)(2)过右焦点过右焦点F F2 2的直线的直线l交椭圆于交椭圆于A,BA,B两点两点,若若y y轴上一点轴上一点 满足满足|MA|=|MB|,|MA|=|
41、MB|,求直线求直线l的斜率的斜率k k的值的值.2222xy1ab2223M(0,)7【解析解析】(1)|PF(1)|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2a=2 ,|=2a=2 ,所以所以b b2 2=a=a2 2-c-c2 2=2-1=1,=2-1=1,所以椭圆的标准方程为所以椭圆的标准方程为 2c22a2 ec2 1a22所以，所以，22xy1.2(2)(2)已知已知F F2 2(1,0),(1,0),直线斜率显然存在直线斜率显然存在,设直线的方程为设直线的方程为y=k(x-1),A(xy=k(x-1),A(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2).).联立
42、直线与椭圆的方程联立直线与椭圆的方程化简得化简得:(1+2k:(1+2k2 2)x)x2 2-4k-4k2 2x+2kx+2k2 2-2=0,-2=0,所以所以x x1 1+x+x2 2=y=y1 1+y+y2 2=k(x=k(x1 1+x+x2 2)-2k=)-2k=所以所以ABAB的中点坐标为的中点坐标为 22y k x 1xy12，224k1 2k，22k1 2k，2222kk()1 2k 1 2k，当当k0k0时时,AB,AB的中垂线方程为的中垂线方程为因为因为|MA|=|MB|,|MA|=|MB|,所以点所以点M M在在ABAB的中垂线上的中垂线上,将点将点M M的坐标代入直线方程得
43、的坐标代入直线方程得:即即 222k12ky(x)1 2kk1 2k，223k2k71 2k1 2k，22 3k7k3 0，3k3 k.6解得或当当k=0k=0时时,AB,AB的中垂线方程为的中垂线方程为x=0,x=0,满足题意满足题意.所以斜率所以斜率k k的取值为的取值为 30 3.6，【方法技巧方法技巧】有关直线与圆锥曲线关系问题的求解方有关直线与圆锥曲线关系问题的求解方法法(1)(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立将直线方程与圆锥曲线方程联立,化简后得到关于化简后得到关于x(x(或或y)y)的一元二次方程的一元二次方程,则直线与圆锥曲线的位置关系则直线与圆锥曲线的位置关系有如下三种有如下
44、三种:相交相交:0:0直线与椭圆相交直线与椭圆相交;0;0直线与双曲线直线与双曲线相交相交,但直线与双曲线相交不一定有但直线与双曲线相交不一定有0,0,如当直线与如当直线与双曲线的渐近线平行时双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个直线与双曲线相交且只有一个交点交点,故故00是直线与双曲线相交的充分不必要条是直线与双曲线相交的充分不必要条件件;0;0直线与抛物线相交直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不但直线与抛物线相交不一定有一定有0,0,当直线与抛物线的对称轴平行时当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与直线与抛物线相交且只有一个交点抛物线相交且只有一个交点,故故00也仅是直线与抛物也
45、仅是直线与抛物线相交的充分条件线相交的充分条件,而不是必要条件而不是必要条件.相切相切:=0:=0直线与椭圆相切直线与椭圆相切;=0;=0直线与双曲线直线与双曲线相切相切;=0;=0直线与抛物线相切直线与抛物线相切.相离相离:0:0直线与椭圆相离直线与椭圆相离;0;0直线与双曲线直线与双曲线相离相离;0;0,+80,即即m m2 22k2k2 2+1(+1(*),),因为原点因为原点O O总在以总在以PQPQ为直径的圆的内部为直径的圆的内部,22xy122121 2224km2m2xx,xx,2k12k1所以所以 0,0,即即x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 20,0,又又y y
46、1 1y y2 2=(kx=(kx1 1+m)(kx+m)(kx2 2+m)=k+m)=k2 2x x1 1x x2 2+mk(x+mk(x1 1+x+x2 2)+m)+m2 2=依题意且满足依题意且满足(*)得得m m2 2 ,b0)ab0)，点点O O为坐标原点为坐标原点,点点A A的坐标为的坐标为(a,0),a,0),点点B B的坐标为的坐标为(0,b),0,b),点点M M在线段在线段ABAB上上,满足满足|BM|=2|MA|BM|=2|MA|，直线直线OMOM的斜率为的斜率为 2222xy1ab5.10(1)(1)求求E E的离心率的离心率e.e.(2)(2)设点设点C C的坐标为的
47、坐标为(0 0，-b)-b)，N N为线段为线段ACAC的中点的中点,点点N N关关于直线于直线ABAB的对称点的纵坐标为的对称点的纵坐标为 ,求求E E的方程的方程.72【解析解析】(1)(1)由题意可知点由题意可知点M M的坐标是的坐标是 又又k kOMOM=所以所以 进而得进而得 故故21(a,b)33，5,10b52a10，22a5b,cab2b，c2 5e.a5(2)(2)直线直线ABAB的方程为的方程为 点点N N的坐标为的坐标为设点设点N N关于直线关于直线ABAB的对称点的对称点S S的坐标为的坐标为 则则NSNS的中点的中点T T的坐标为的坐标为 又点又点T T在直线在直线A
48、BAB上，上，且且k kNSNSk kABAB=-1=-1，xy1b5b，51(b,b)22，17(x,)2，1x517(b,b)4244，从而有从而有所以所以a=a=，故椭圆，故椭圆E E的方程为的方程为11x5b17b42441b5bb 37 1b2 255xb2，3 522xy1.459类型六类型六分类讨论思想分类讨论思想【典例典例6 6】(2015(2015北京高考北京高考)已知椭圆已知椭圆C:xC:x2 2+3y+3y2 2=3,=3,过过点点D(1,0)D(1,0)且不过点且不过点E(2,1)E(2,1)的直线与椭圆的直线与椭圆C C交于交于A,BA,B两两点点,AE,AE与直线与
49、直线x=3x=3交于点交于点M.M.(1)(1)求椭圆求椭圆C C的离心率的离心率.(2)(2)若若ABAB垂直于垂直于x x轴轴,求直线求直线BMBM的斜率的斜率.(3)(3)试判断直线试判断直线BMBM与直线与直线DEDE的位置关系的位置关系,并说明理由并说明理由.【解析解析】(1)(1)椭圆椭圆C C化为标准方程化为标准方程 则则a=,a=,b=1,c=,b=1,c=,所以离心率所以离心率e=e=22xy13，3226.33(2)(2)由由ABAB过点过点D(1,0)D(1,0)且垂直于且垂直于x x轴可得轴可得ABAB方程为方程为x=1,x=1,设设A(1,m),B(1,-m),ABA
50、(1,m),B(1,-m),AB方程与椭圆方程联立解得方程与椭圆方程联立解得m m2 2=AEAE方程为方程为y-1=(x-2),y-1=(x-2),令令x=3x=3得得M(3,2-m).M(3,2-m).所以所以BMBM的斜率为的斜率为 2.3m 11(2 m)(m)1.3 1(3)(3)当当ABAB斜率不存在时斜率不存在时,DE,DE的斜率为的斜率为1,1,由由(2)(2)可知直线可知直线BMBM与直线与直线DEDE斜率相等斜率相等,所以所以BMDE.BMDE.当当ABAB斜率存在时斜率存在时,设设AB:yAB:y=k(x-1)(k1),A(x=k(x-1)(k1),A(x1 1,y,y1
