1、1理论力学总结2第10章要求l定点运动刚体的任意有限位移，可以绕通过固定点的某一轴经过一次转动来实现。l定点运动刚体有限位移的顺序不可交换.l定点运动刚体无限小位移的顺序可交换.l定点运动刚体的角位移不能用矢量表示，但无穷小角位移可以用矢量表示。l定点运动刚体的角速度角加速度可以用矢量表示。l了解欧拉运动学方程.l了解欧拉动力学方程.l自转进动章动概念.定性理论3l定点运动刚体上点的速度和加速度公式应用;l能计算定点运动刚体的动量矩;l能计算定点运动刚体的动能;l能计算陀螺力矩;l能求解与例10-1和例10-2相同题型的问题。l对高速自转的陀螺，其对定点的动量矩近似为定量方面第10章要求ozJ
2、L4陀螺近似理论陀 螺：满足条件 的定点运动刚体。xyJJ一、陀螺规则进动的条件问题性质：已知运动,求力。0()cosozzeJJJM即:,方向沿节线.oconstM陀螺规则进动的基本公式:已知运动 力精确结果xyz x y zo50()cosozzeJJJM即:,方向沿节线.oconstM陀螺规则进动的基本公式:已知运动 力二、莱沙尔(Henri Resal)定理在定系中:ooddtLM定理:刚体对固定点 o 的动量矩 的端点的速度，等于作用于该刚体的所有外力对同一点的主矩.oL精确结果6三、陀螺近似理论0()cosozzeJJJM如果:则:0()cosozzeJJJM zJ如果：090则也
3、有：0()cosozzeJJJM zJ7四、陀螺近似理论的莱沙尔解释相对于定系:a()axyzijkxxyyzzJJJoLijk()exeyzzJJJijk则当刚体作规则进动时，的矢端划出一圆。oLxyz x y zo90ozzJJLkoezJJL8当刚体作规则进动时，的矢端划出一圆。oLxyz zooLddtooLLddtoooLML由莱沙尔定理:zJoL zJoM0()cosozzeJJJM与精确解比较:oezJJL zJoM()(90)9Cmg例：如图所示，已知质量为m的定点运动陀螺做规则进动(0为常量)，其质心C到球铰链O的距离为L，该陀螺对质量对称轴z的转动惯量为 J，且以 绕 z
4、轴高速旋转，z 轴与 轴的夹角为 .求：陀螺的进动角速度 、铰链 O 的约束力在铅垂方向的分量 和水平方向的分量 F 的大小。要求：画出受力图、加速度图；给出解题基本理论和基本步骤。1zNF解:1.取陀螺研究;2.受力分析:NFF3.由动量矩定理:12sinsinJmgL14.由动量定理(质心运动定理):0NFmg21sinmLF2110zABd0例：质量为 m 半径为 R 的均质薄圆盘以匀角速度 绕水平轴 AB 转动，AB 轴通过光滑球铰 A 与铅垂轴 z 相连接，如图示。若 AB 轴的长度为 d=3R 且不计其质量，圆盘作规则进动，求水平轴 AB 绕铅垂轴 z 的进动角速度大小 以及球铰链
5、 A 水平方向的约束力的大小 .=_；=_。00ABFABF0()cosozzeJJJM陀螺规则进动的基本公式:已知运动 力精确结果当：0(1)90(2)ozJM11例：确定一个正方体在空间的位置需要_个独立的参数。A：3；B：4；C：5；D：6.例：在光滑水平面上运动的刚性球的自由度是_。A：3；B：4；C：5；D：6.12例：如图所示，定点运动的圆锥在水平固定圆盘上纯滚动。若圆锥底面中心点 D 作匀速圆周运动，则该圆锥的角速度矢量 与角加速度矢量 的关系是_。A：平行于；B：垂直于；C：为零矢量；D：为非零矢量。A：平行于AC；B：垂直于AC且平行于AB；C：垂直于ABC三点确定的平面；D
6、：不能确定。例：如图所示，定点运动的圆锥在水平固定圆盘上纯滚动。若圆锥底面中心点 D 作匀速圆周运动，AC 为圆锥与圆盘接触的母线。在图示瞬时，C 点的加速度矢量 的方向_。Ca14例：如图所示，具有固定点 A 的圆锥在固定的圆盘上纯滚动，圆锥的顶角为90，母线长为 L，已知圆锥底面中心点 D 作匀速圆周运动，其速度为 v，方向垂直平面 ABC 向外。求圆锥的角速度、角加速度 和圆锥底面上最高点 B 的加速度 的大小。=_，=_，=_。BaBa：自转角速度：进动角速度16例：若定点运动刚体角速度矢量 的大小为非零常量，其方向始终变化，则该刚体的角加速度矢量 可能是_。D：为非零常矢量。A：；0
7、B：；,0 C：；,0 例：图示薄圆盘半径为 R，求M点的速度 、转动加速度和向轴加速度 的大小。MvRaNaoMaOMv 0()OM 0OM 0MvR0()NMav2200NaR 00()0ROMa 00RaR例：图示薄圆盘半径为 R，求M点的速度 、转动加速度和向轴加速度 的大小。MvRaNaMMaBMv RBMa aMv19OA例：正棱长为 L 的正方体形绕 O 点作定点运动，已知在图示瞬时该刚体的角速度 与角加速度 ，求该瞬时正方体上顶点 A 的转动加速度的大小 和向轴加速度的大小 .=_；=_ARaARaANaANa20例：正方形刚体绕 O 点作定点运动，已知在图示瞬时其上 A、B两
8、点的速度方向，如图所示，则此时该刚体角速度矢量 平行于_。A：A、B 两点连线；B：平行于 Oz 轴；C：平行于 Oy 轴；D：平行于 Ox 轴。OxyzABAvBv21A：只能确定其角速度矢量所在平面；B：能求角速度的大小和方向；C：能求角加速度的大小和方向；D：能求刚体对定点的动量矩大小和方向。OzABAvBv例：已知质量为 m 棱长为 L 的正方形刚体绕 O 点作定点运动，已知在图示瞬时其顶点 A、B两点速度矢量满足关系式(垂直于 OAB 平面)方向，且 .根据已知条件，能求刚体的哪些物理量？AB vvAuv xyijABOAOBvv,xy 22A：一定能够；B：一定不能够；C：不一定能
9、够。例：若刚体绕 O 点作定点转动，已知某瞬时其上 A、B 两点的速度分别为 和 ，且大小均不为零。若 O、A、B 三点均不重合，则_该刚体的角速度。BvAv原因：若 O、A、B 三点共线。23例：不论刚体作什么运动，刚体上任意两点的速度在两点连线上的投影_。A：一定相等；B：一定不相等；C：不一定相等。例：如图所示，圆盘以匀角速度 绕 CD 轴转动，框架以匀角速度 绕铅垂轴转动。则该定点运动圆盘 角速度的大小 =_(方向画在图上)，角加速度的大小 =_(方向画在图上)。1z24221z1zz125例：如图所示，半径为 R 的圆盘以匀角速度 绕框架上的CD 轴转动，框架以匀角速度 绕铅垂轴 A
10、B 转动。求：圆盘在图示位置的最高点速度的大小 v，该点的向轴加速度的大小 和转动加速度的大小 。v=_;=_；=_。1zNaNaRaRa26例：如图所示，圆盘相对正方形框架 ABCD 以匀角速度 绕 BC 轴转动，正方形框架以匀角速度 绕 AB 轴转动。求该圆盘的绝对角速度 的大小和绝对角加速度 的大小。=_；=_。00227例：如图所示，圆盘相对正方形框架 ABCD 以匀角速度每分钟绕 BC 轴转动 2 周，正方形框架以匀角速度每分钟绕 AB 轴转动 2 周。求该圆盘的动能及对 B 点的动量矩。2 2rad/s602 2rad/s60=45=0212zJmR221()42xyBCJJmRm
11、28例：匀角速度定轴转动刚体在运动过程中，其_等物理量一定为常量。A：相对质心的动量矩；B：动能；C：动量；D：对转轴的动量矩。原因：动量和动量矩是矢量。29Cmg例：如图所示，定点运动陀螺做规则进动(即该陀螺的自转角速度 和进动角速度 的大小不变，且对称轴 z 与铅垂轴 的夹角 不变)，则该陀螺在运动过程中，其_保持不变。1z21A：相对 O 点的动量矩；B：动能；C：动量；D：相对 轴的动量矩。1zE：相对 z 轴的动量矩。30例：质心在转轴上的定轴转动刚体，当其角速度不为零时，该刚体对质心的动量矩矢量_。A：一定平行于转轴；B：一定不平行于转轴；C：不一定平行于转轴。31例：如图所示，圆
12、柱固连在水平轴 上，并以匀角速度 绕该轴转动，同时框架以匀角速度 绕铅垂轴 CO 转动。其中：x,y,z 是圆柱上关于 点的三个相互垂直的惯量主轴，且圆柱对这三根轴的转动惯量分别为 .则该瞬时圆柱对 点的动量矩：12OO3O3O,xyzJJJ x z y xJ3_ _ _OLijkcoszJsinyJ32例：如图所示，正方形框架以匀角速度 绕水平轴 AB 转动，质量为 m 半径为 R 的均质圆盘 M 以匀角速度 绕正方形框架上的CD 轴转动。且 ，CD 轴到轴承 A、B 的距离皆为 l.若正方形框架和轴 AB 的质量不计，求框架运动到铅垂平面内时，圆盘产生的陀螺力矩的大小 ；以及作用在轴承上的
13、约束力的大小 =_；=_。00gMgMAFAFAF2012gMMR201142AFMRMgl题10-14：题10-17：与例10-2类似。题10-18：求维持图示运动所需的 x=?Am gBm g动量矩：212oBm RLoL0ooddtLL由动量矩定理：()ooddtLMF2012BBAm Rm gdm gxx35第9、11章要求l能够利用拉格朗日方程(含第一类)列写系统的动力学方程；l能计算广义力；l能给出拉格朗日方程的首次积分，并能利用初始条件计算积分常数；l能计算单自由度系统微振动的固有频率，了解共振概念；l能根据初条件计算振动的振幅与初相位；l了解两类拉格朗日方程的应用场合。gAB6
14、.质量为 m 的质点可在半径为 R 的圆环内运动，圆环以常角速度 绕 AB 轴作定轴转动，如图所示。为质点的广义坐标，此时质点的动能可表示成 ，其中 (i=0,1,2)为广义速度的 i 次齐函数。求：210TTTTiT2_T 1_T 0_T 2211()(sin)22Tm Rm R21()2m R021(sin)2m R例：质量为m半径为R的均质圆盘在水平地面上纯滚动，长为L质量为m的均质杆AB用光滑铰链与圆盘连接，系统在铅垂平面内运动，系统的广义坐标如图所示。不计空气阻力和摩擦。求：xABgmgm(1)用系统的广义坐标和广义速度给出系统的动能 T 和势能 V(杆在铅垂位置时为势能零点)；(2
15、)若初始时，杆位于铅垂位置。=0，圆盘中心A点的速度为u，杆的角速度为零。试给出系统拉格朗日方程的首次积分并确定积分常数。要求：给出解题的基本理论和基本步骤。xABg例：滑块与均质圆盘用杆 AB 铰接在铅垂平面内运动，系统的广义坐标如图所示，其中 AB 杆长为 l，圆盘半径为 R，各物件质量均为 m .不计所有摩擦。求：(1)用系统的广义坐标和广义速度给出系统的动能 T 和势能 V (杆在铅垂位置时为势能零点)；(2)若初始时，杆位于铅垂位置 ，滑块的速度为u，方向水平向右；圆盘的角速度为 ，转向逆时针。试给出系统拉格朗日方程的首次积分并确定积分常数。000,00 xABg例：AB 杆长 l，
16、圆盘半径 R，各物件质量均为m.不计所有摩擦。(1)给出系统的动能 T 和势能 V (杆铅垂时势能取零)；222222222111cossin22222411cossin24llTmxmxmlmxllmR(1 cos)(1 cos)2lVmgmgl xABg(1)若初始时，杆位于铅垂位置。=0，滑块的速度为u，方向水平向右；圆盘的角速度为。，转向逆时针。试给出系统拉格朗日方程的首次积分并确定积分常数。222222222111cossin22222411cossin24(1 cos)(1 cos)2llLTVmxmxmlmxllmRlmgmgl222222222111cossin22222411
17、cossin24(1 cos)(1 cos)2llLTVmxmxmlmxllmRlmgmgl有首次积分:12LcxLcTVE1coscos2lmxm xm xlc2212mRc确定积分常数:1coscos2lmxm xm xlc2212mRc222222222111cossin22222411cossin24(1 cos)(1 cos)2llmxmxmlmxllmRlmgmglE初始 ,滑块速度 u 向右；圆盘角速度 逆时针。0000,01cmumumu22012cmR222220111102224EmumumumR例：系统在铅垂平面内运动。系统的广义坐标如图所示，其中AB杆长 l，圆盘半径
18、R，各物件质量均为 m.不计所有摩擦。求：(1)用系统的广义坐标和广义速度给出系统的动能 T 和势能 V(杆在铅垂位置时为势能零点)；(2)若初始时，杆位于铅垂位置 ，滑块的速度为u，方向水平向右；两圆盘的角速度均为 ，转向逆时针。试给出系统拉格朗日方程的首次积分并确定积分常数。000,00 xABg(1 cos)(1 cos)2lVmgmgl2222222222211 122 211cossin2222411cossin24TmxmrllmxmlmxllmR xABg123LcxLcLcTVE45解:(1)以整体为研究对象；gm(2)受力分析和运动分析(3)利用动力学普遍方程:AogB30P
19、例:系质量为 m 长为 L 的均质杆 OA 和质量为 m 长为 2L 的均质杆 AB 用光滑柱铰连接并悬挂于 O 点，AB 杆的 B 端放在光滑水平面上。若系统初始静止，OA 杆铅垂，在铰链 A 上作用一水平推力 P，求初始时 AB 杆和 OA 杆的角加速度的大小 和 。ABOAgmABOAtBABAaaaBaAa0AB46AogB30Pgmgm加惯性力2OALm2112OAmLOAmL取虚位移Ar(3)利用动力学普遍方程:21102212AAOAAOAOAArmLPrrmLmLrL34OAPmL例：在同一铅垂面内运动的两个相同的均质杆OA和AB用铰链O和A连接，如图所示。各杆长为l，由水平位
20、置无初速释放，求释放的初瞬时两杆的角加速度。解：(1)对初始位置时的系统做受力分析，并加上惯性力，设初始瞬时两杆的角加速度均为顺钟向。OAAB,2IOAOAlFm(),2IABOAABlFml21,3IOAOAMml2112IABABMmlIOAFIOAMIABFIABMmgmgIOAFIOAMIABFIABMmgmg(2)取两杆的转角 和 为广义坐标。OAAB(3)取虚位移0,0ABOAAB022ABIABABIABABllWmgFMIOAFIOAMIABFIABMmgmgOA(3)取虚位移0,0OAAB02OAIOAOAOAIABOAlWmgMmg lFl 93,77OAABggll F例
21、：初始静止,求两杆的角加速度。例：拉格朗日方程的循环积分反映的是质点系的_。A：某个广义动量守恒；B：广义能量守恒。例：二自由度线性振动系统的固有频率与系统的_ 有关。A：广义质量；B：广义刚度；C：初始位置；D：初始速度。例：单自由度线性振动系统的振动周期与_有关。A：广义质量；B：广义刚度；C：初始位置；D：初始速度。1km2k2k例：图示系统的等效弹簧刚度系数k*=_。例：图示系统的固有频率 =_。212kk212kkmAog例：长为 l 质量为 m 的均质杆 OA 用光滑柱铰链悬挂在 o 点，下端与刚度系数为 k 的水平弹簧连接，杆铅垂时弹簧为原长。求系统在平衡位置附近作微幅摆动的动力
22、学方程_。221 12 3Tml21()(1 cos)22lVk lmg2211()22 2lk lmg2211032mlklmglAog例：长为 l 质量为 m 的均质杆 OA 用光滑柱铰链悬挂在 o 点，下端与刚度系数为 k 的水平弹簧连接，杆铅垂时弹簧为原长。求系统在平衡位置附近作微幅摆动的固有频率 =_。2211032mlklmgl221213klmglml例：质量为 m 半径为 R 的均质圆盘可绕其中心水平轴 O 作定轴转动,质量为 m 的滑块 A 与圆盘通过铰链用长为 R 的无质量杆 AB 连接，不计所有摩擦，系统在铅垂面内运动,求系统在静平衡位置附近作微幅振动的固有频率 =_。o
23、ABg2221 11(2 sin)2 22TmRmR 221 12 2mR2(1 cos)VmgR2122mgR例：已知 m,OA=AB=L,求系统微振动固有频率 xoABg)cos1(4)sin632(212222 mglVmlmlT232mlm lgmk6 4kmglAOkkG题11-24：已知：曲柄OA匀速转动，求受迫振动方程。oexrx解：(1)取位置坐标。axaerxxxAOkkGU c阻尼力:aFcx cosexlt0stlry题11-27:已知 ,求 B 的振动方程.11sinydxloy解:取相对位移 y 为坐标,静平衡位置 o 为原点.LTV2211122m yyky10dm
24、 yykydt21sinmykymymdvvtll 题11-27:已知 ,求 B 的振动方程.11sinydxloy解:取绝对位移 y 为坐标,静平衡位置o为原点.LTV2211122myk yy10myk yy1mykykysinkdvtl习题6-2：图示滑块A在光滑的水平槽中运动，弹簧的刚度系数为k，杆AB长度为 l，小球大小不计。设在力偶M作用下杆 AB 的运动规律为 =t，试求滑块 A 的运动微分方程。习题9-13：建立质点的运动微分方程,并求维持圆环匀角速转动所需的转矩 M。例：对于具有定常约束的质点系，其动能可以表示成_。210:;ATTTT2:;BTT21:;CTTT10:DTTT其中：为广义速度的 i 次齐函数(i=0,1,2)。iT例：对于具有定常约束的质点系，其动能可以表示成_的函数。A：广义速度；B：广义坐标；C：时间 t。例：第二类拉格朗日方程用于研究具有_ 质点系的力学问题。A：完整约束；B：定常约束；C：非完整约束；D：非定常约束。例：若质量-阻尼-弹簧系统的动力学方程为：则其稳态振动的振幅与下列哪些因素有关？A：系统参数 m,c,k；C：外激励频率 ；D：系统运动的初始条件。B：外激励幅值 ；maxFmaxsinmxcxkxFt
