1、 第十节 函数模型及应用一、几类函数模型及其增长差异一、几类函数模型及其增长差异1.几类函数模型几类函数模型函数模型函数模型函数解析式函数解析式一次函数模型一次函数模型f(x)axb(a、b为常数，为常数，a0)二次函数模型二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，为常数，a0)函数模型函数模型函数解析式函数解析式指数函数模型指数函数模型 f(x)baxc(a，b，c为常数，为常数，a0且且a1)对数函数模型对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，为常数，a0且且a1)幂函数模型幂函数模型f(x)axnb(a，b为常数，为常数，a0)2.三种增长型函数之间增长速度的比较
2、三种增长型函数之间增长速度的比较(1)指数函数指数函数yax(a1)与幂函数与幂函数yxn(n0)在区间在区间 (0，)上，无论上，无论n比比a大多少，尽管在大多少，尽管在x的一定范围的一定范围 内内ax会小于会小于xn，但由于，但由于ax的增长的增长 xn的增长，因而的增长，因而 总存在一个总存在一个x0，当，当xx0，时有，时有 .axxn快于快于(2)对数函数对数函数ylogax(a1)与幂函数与幂函数yxn(n0)对数函数对数函数ylogax(a1)的增长速度，不论的增长速度，不论a与与n值的大小值的大小 如何总会如何总会 yxn的增长速度，因而在定义域内总存在的增长速度，因而在定义域
3、内总存在 一个实数一个实数x0，使，使xx0时有时有 .由由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但 它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在 (0，)上，总会存在一个上，总会存在一个x0，使，使xx0时有时有 .慢于慢于logax2.则应选则应选A.答案：答案：A2.设甲、乙两地的距离为设甲、乙两地的距离为a(a0)，小王骑自行车以匀速从甲，小王骑自行车以匀速从甲 地到乙地用了地到乙地用了20分钟，在乙地休息分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从分钟后，他又以匀速从 乙地返回到甲地用
4、了乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经分钟，则小王从出发到返回原地所经 过的路程过的路程y和其所用的时间和其所用的时间x的函数图象为的函数图象为 ()解析：解析：注意到注意到y为为“小王从出发到返回原地所经过的路小王从出发到返回原地所经过的路程程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为而不是位移，用定性分析法不难得到答案为D.答案：答案：D3.某企业去年销售收入某企业去年销售收入1000万元，年成本为生产成本万元，年成本为生产成本500万万 元与年广告成本元与年广告成本200万元两部分万元两部分.若年利润必须按若年利润必须按p%纳税，纳税，且年广告费超出年销售收入且年广告费超
5、出年销售收入2%的部分也按的部分也按p%纳税，其他纳税，其他 不纳税不纳税.已知该企业去年共纳税已知该企业去年共纳税120万元万元.则税率则税率p%为为()A.10%B.12%C.25%D.40%解析：解析：利润利润300万元，纳税万元，纳税300p%万元，万元，年广告费超出年销售收入年广告费超出年销售收入2%的部分为的部分为20010002%180(万元万元)，纳税纳税180p%万元，万元，共纳税共纳税300p%180p%120(万元万元)，p%25%.答案：答案：C4.据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2009 年产生的垃圾量为年产生的
6、垃圾量为a t，由此预测，该区下一年的垃圾量，由此预测，该区下一年的垃圾量 为为t,2014年的垃圾量为年的垃圾量为t.解析：解析：由于由于2009年的垃圾量为年的垃圾量为a t，年增长率为，年增长率为b，故下，故下一年的垃圾量为一年的垃圾量为aaba(1b)t，同理可知，同理可知2011年的年的垃圾量为垃圾量为a(1b)2 t，2014年的垃圾量为年的垃圾量为a(1b)5 t.答案：答案：a(1b)a(1b)55.某工厂生产某种产品固定成本为某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产万元，并且每生产 一单位产品，成本增加一单位产品，成本增加10万元万元.又知总收入又知总收入K是单
7、位产品数是单位产品数 Q的函数，的函数，K(Q)40Q ，则总利润，则总利润L(Q)的最大值的最大值 是是.解析：解析：总利润总利润L(Q)40Q 10Q2 000 (Q300)22 500.故当故当Q300时，总利润最大值为时，总利润最大值为2 500万元万元.答案：答案：2 500万元万元 1.在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次 函数模型，其增长特点是直线上升函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于自变量的系数大于0)或直线下降或直线下降(自变量的系数小于自变量的系数小于0)；2.有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面
8、积问题、有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等利润问题、产量问题等.一般利用函数图象的开口方向和一般利用函数图象的开口方向和 对称轴与单调性解决，但一定要注意函数的定义域，否对称轴与单调性解决，但一定要注意函数的定义域，否 则极易出错则极易出错.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本其生产的总成本y(万元万元)与年产量与年产量x(吨吨)之间的函数关系式可以之间的函数关系式可以近似地表示为近似地表示为y 48x8 000，已知此生产线年产量最，已知此生产线年产量最大为大为210吨吨.(1)求年产量为多少
9、吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？时，可以获得最大利润？最大利润是多少？(1)用用x表示出平均成本；表示出平均成本；(2)利润收入支出，其收入为利润收入支出，其收入为40 x，支出为，支出为y.【解解】(1)每吨平均成本为每吨平均成本为 (万元万元).则则当且仅当当且仅当 ，即，即x200时取等号时取等号.年产量为年产量为200吨时，每吨平均成本最低为吨时，每吨平均成本最低为3
10、2万元万元.(2)设年获得总利润为设年获得总利润为R(x)万元，万元，则则R(x)40 xy40 x 48x8 000 88x8 000 (x220)21 680(0 x210).R(x)在在0,210上是增函数，上是增函数，x210时，时，R(x)有最大值为有最大值为 (210220)21 6801 660.年产量为年产量为210吨时，可获得最大利润吨时，可获得最大利润1 660万元万元.1.某厂生产某种产品的年固定成本为某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产万元，每生产x千千 件，需另投入成本为件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足，当年产量不足80千件时，千件时，C(x)10
11、 x(万元万元)；当年产量不小于；当年产量不小于80千件时，千件时，C(x)51x 1450(万元万元).通过市场分析，若每件售价为通过市场分析，若每件售价为 500元时，该厂年内生产该商品能全部销售完元时，该厂年内生产该商品能全部销售完.(1)写出年利润写出年利润L(万元万元)关于年产量关于年产量x(千件千件)的函数解析式；的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利 润最大？润最大？解：解：(1)当当0 x80，xN*时，时，当当x80，xN*时，时，21102503xx100001200(),xx2140250;3x
12、x(2)当当0 x950.综上所述，当综上所述，当x100时，时，L(x)取得最大值取得最大值1000，即年产量，即年产量为为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大.10000()1200()12002L xxx1.很多实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式给出，很多实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数而是由几个不同的关系式构成分段函数.如出租车票价与路如出租车票价与路 程之间的关系，就是分段函数程之间的关系，就是分段函数.2.分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可分段函数主要是每
13、一段自变量变化所遵循的规律不同，可 以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起再将其合到一起.要注意各段变量的范围，特别是端点值要注意各段变量的范围，特别是端点值.某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过超过4吨时，每吨为吨时，每吨为1.80元，当用水超过元，当用水超过4吨时，超过部分吨时，超过部分每吨每吨3.00元元.某月甲、乙两户共交水费某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两元，已知甲、乙两户该月用水量分别为户该月用水量分别为5x,3x(吨吨).(1)求求y关于关于x的
14、函数；的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费户该月的用水量和水费.用水量的不同，收费标准不同，甲、乙两户的用水量的不同，收费标准不同，甲、乙两户的用水量分别为用水量分别为5x、3x，需分段列函数式，根据，需分段列函数式，根据所列的分段函数分析判断共交水费所列的分段函数分析判断共交水费26.4元，甲、元，甲、乙应分别为多少乙应分别为多少.【解解】(1)当甲的用水量不超过当甲的用水量不超过4吨时，即吨时，即5x4，乙的用，乙的用水量也不超过水量也不超过4吨，吨，y1.8(5x3x)14.4x；当甲的用水量超
15、过当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过吨，乙的用水量不超过4吨，即吨，即3x4，且且5x4时，时，y41.83x1.83(5x4)20.4x4.8.当乙的用水量超过当乙的用水量超过4吨，即吨，即3x4时，时，y241.83(3x4)(5x4)24x9.6.所以所以(2)由于由于yf(x)在各段区间上均单调递增，在各段区间上均单调递增，当当x0，时，时，yf()26.4；当当x(时，时，yf()26.4；当当x(，)时，令时，令24x9.626.4，解得，解得x1.5.所以甲户用水量为所以甲户用水量为5x7.5吨，吨，付费付费S141.83.5317.70(元元)；乙户用水量为乙户用水量为3x
16、4.5吨，吨，付费付费S241.80.538.70(元元)2.某隧道长某隧道长2150 m，通过隧道的车速不能超过，通过隧道的车速不能超过20 m/s.一个一个 由由55辆车身长都为辆车身长都为10 m的同一车型组成的车队的同一车型组成的车队(这种型号这种型号 的车能行驶的最高速度为的车能行驶的最高速度为40 m/s)匀速通过该隧道，设车匀速通过该隧道，设车 队的速度为队的速度为x m/s，根据安全和车流的需要，当，根据安全和车流的需要，当0 x10时，时，相邻两车之间保持相邻两车之间保持20 m的距离；当的距离；当10 x20时，相邻两车时，相邻两车 之间保持之间保持()m的距离的距离.自第
17、自第1辆车车头进入隧道辆车车头进入隧道 至第至第55辆车车尾离开隧道所用的时间为辆车车尾离开隧道所用的时间为y(s).(1)将将y表示为表示为x的函数；的函数；(2)求车队通过隧道所用的时间求车队通过隧道所用的时间y的最小值及此时车队的的最小值及此时车队的速度速度.()解：解：(1)由题意知，由题意知，当当0 x10时，时，当当10 x20时，时，当当10329.4，所以当车队的速度约为所以当车队的速度约为17.3 m/s时，车队通过隧道所用时，车队通过隧道所用的时间的时间y有最小值有最小值329.4 s.指数函数模型的应用是高考的一个主要内容，常与增指数函数模型的应用是高考的一个主要内容，常
18、与增长率相结合进行考查长率相结合进行考查.在实际问题中有人口增长、银行利率、在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型来表示细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型来表示.通常可表通常可表示为示为ya(1p)x(其中其中a为原来的基础数，为原来的基础数，p为增长率，为增长率，x为为时间时间)的形式的形式.急剧增加的人口已经使我们赖以生存的地球不急剧增加的人口已经使我们赖以生存的地球不堪重负堪重负.控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.(1)世界人口在过去世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长年内翻了一番，问每年人口
19、平均增长率是多少？率是多少？(2)我国人口在我国人口在1998年底达到年底达到12.48亿，若将人口平均增长亿，若将人口平均增长率控制在率控制在1%以内，我国人口在以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？年底至多有多少亿？以下数据供计算时使用：以下数据供计算时使用：数数N1.0101.0151.0171.3102.000对数对数lgN0.00430.00650.00730.11730.3010数数N3.0005.00012.4813.1113.78对数对数lgN0.47710.69901.09621.11761.1392增长率问题是指数函数与幂函数问题，利用增长率问题是指数函数与幂函数问题，
20、利用已知条件，列出函数模型已知条件，列出函数模型.【解解】(1)设每年人口平均增长率为设每年人口平均增长率为x，n年前的人口年前的人口数为数为y，则，则y(1x)n60，则当，则当n40时，时，y30，即即30(1x)4060，(1x)402.两边取对数，则两边取对数，则40lg(1x)lg2，则则lg(1x)0.007525，1x1.017，得，得x1.7%.故每年人口平均增长率是故每年人口平均增长率是1.7%，(2)依题意，依题意，y12.48(11%)10，得得lgylg12.4810lg1.011.1392，y13.78，故人口至多有，故人口至多有13.78亿亿.3.某城市现有人口总数
21、某城市现有人口总数100万，如果年自然增长率为万，如果年自然增长率为1.2%，试解答下列问题：试解答下列问题：(1)写出该城市人口总数写出该城市人口总数y(万人万人)与年数与年数x(年年)的函数关系式；的函数关系式；(2)计算计算10年后该城市人口总数年后该城市人口总数(精确到精确到0.1万人万人).解：解：(1)1年后该城市人口总数为年后该城市人口总数为y1001001.2%100(11.2%).2年后该城市人口总数为年后该城市人口总数为y100(11.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2%)2.3年后该城市人口总数为年后该城市人口总数为y100(11.2%)2100(11.2
22、%)21.2%100(11.2%)3.x年后该城市人口总数为年后该城市人口总数为y100(11.2%)x.所以该城市人口总数所以该城市人口总数y(万人万人)与年数与年数x(年年)的函数关系是的函数关系是y100(11.2%)x.(2)10年后人口总数为年后人口总数为100(11.2%)10112.7(万万).所以所以10年后该城市人口总数为年后该城市人口总数为112.7万万.本节内容以解答题为主，考查数学建模能力，同时考本节内容以解答题为主，考查数学建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力，综合性较强，属于中高档查分析问题、解决问题的能力，综合性较强，属于中高档题，考查内容多与导数、不等式等
23、知识相结合题，考查内容多与导数、不等式等知识相结合.2009年湖南年湖南卷考查了函数的实际应用卷考查了函数的实际应用.(2009湖南高考湖南高考)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距两墩相距m米米.余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩墩.经测算，一个桥墩的工程费用为经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为万元；距离为x米米的相邻两墩之间的桥面工程费用为的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2 )x万元万元.假设桥假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记
24、余下工程的费用为记余下工程的费用为y万元万元.(1)试写出试写出y关于关于x的函数关系式；的函数关系式；(2)当当m640米时，需新建多少个桥墩才能使米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？最小？解解(1)设需新建设需新建n个桥墩，则个桥墩，则(n1)xm，即即n 1，所以所以yf(x)256n(n1)(2 )x(2)由由(1)知，知，f(x)令令f(x)0，得，得 ，所以，所以x64.由于由于f(x)在区间在区间(0,64)上单调递减，在上单调递减，在(64,640)上单调递增上单调递增.所以所以f(x)在在x64处取得最小值，处取得最小值，此时此时故需新建故需新建9个桥墩才能使个桥墩才能使y最小最小.很多考生在解答本题时解题结果正确，但由于由很多考生在解答本题时解题结果正确，但由于由f(x)0得得x64，从而直接得，从而直接得x64处取得最小值，其步骤不完整，处取得最小值，其步骤不完整，从而失掉步骤分，造成从而失掉步骤分，造成(答案答案)对而对而(得分得分)不全的现象不全的现象.
