1、不等式选讲不等式选讲(理理)第第 三三 节节解法解法1(分类讨论思想分类讨论思想)：S1令每个绝对值符号里的一令每个绝对值符号里的一次式为次式为0，求出相应的根，求出相应的根S2把这些根由小到大排序，它们把实数轴分成若干把这些根由小到大排序，它们把实数轴分成若干个小区间个小区间S3在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集S4这些解集的并集就是原不等式的解集这些解集的并集就是原不等式的解集解法解法2(函数与方程思想函数与方程思想)：构造函数：构造函数f(x)|xa|xb|c，写
2、出，写出f(x)的分段解析式作出图象，找出使的分段解析式作出图象，找出使f(x)0(或或f(x)0)的的x的取值范围即可的取值范围即可解法解法3(数形结合思想数形结合思想)：利用绝对值的几何意义求解，：利用绝对值的几何意义求解，|xa|xb|表示数轴上点表示数轴上点P(x)到点到点A(a)、B(b)距离的距离的和关键找出到和关键找出到A、B两点距离之和为两点距离之和为c的点，的点，“”取中间，取中间，“”取两边取两边注意这里注意这里c|ab|，若，若c|ab|，则，则|xa|xb|c的的解集为解集为 ，|xa|xb|c解集为解集为R.(3)分析法：从要证明结论出发，逐步寻求使它成立的分析法：从
3、要证明结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实实(定义、公理或已证明过的定理、性质等定义、公理或已证明过的定理、性质等)，从而得出要，从而得出要证明的命题成立的方法，它是执果索因的方法证明的命题成立的方法，它是执果索因的方法分析法与综合法常常结合起来运用，看由已知条件能分析法与综合法常常结合起来运用，看由已知条件能产生什么结果，待证命题需要什么条件，两边凑一凑找出产生什么结果，待证命题需要什么条件，两边凑一凑找出证明途径证明途径常常是分析找思路，综合写过程常常是分析找思路，综合写过程(4)反证法：证明不等
4、式时，首先假设要证明的命题不反证法：证明不等式时，首先假设要证明的命题不成立，把它作为条件和其它条件结合在一起，利用已知定成立，把它作为条件和其它条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理、性质等基本原理进行正确推理，逐步推义、定理、公理、性质等基本原理进行正确推理，逐步推证出一个与命题的条件或已证明过的定理、性质，或公认证出一个与命题的条件或已证明过的定理、性质，或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设不正确，从而的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设不正确，从而肯定原命题成立的方法称为反证法肯定原命题成立的方法称为反证法(5)放缩法：证明不等式时，根据需要把需证明的不等放缩法：证明不等式
5、时，根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明目的，这种方法称为放缩法证明目的，这种方法称为放缩法2二维形式的柯西不等式：二维形式的柯西不等式：(1)代数形式：设代数形式：设a、b、c、d均为实数，则均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2.上式等号成立上式等号成立adbc.(2)向量形式：设向量形式：设、为平面上的两个向量，则为平面上的两个向量，则|.当且仅当当且仅当是零向量或存在实数是零向量或存在实数k，使，使k时，等号时，等号成立成立|axb|c型不等式解法型不等式解法 解析：解析：原不等式可化
6、为原不等式可化为a1xa1，又知其解集为又知其解集为(1,3)，所以通过对比可得，所以通过对比可得a2.答案：答案：2不等式不等式1|x1|2的解集是的解集是()Ax|0 x1Bx|0 x1或或3x2Cx|3x1DR解析：解析：由由1|x1|2得，得，1x12或或2x11，0 x1或或3x2，故选，故选B.答案：答案：B例例2(2011宝鸡质检宝鸡质检)不等式不等式|x1|x2|4的解集的解集为为_分析：分析：用分段讨论、构造函数、数形结合法求解均可，用分段讨论、构造函数、数形结合法求解均可，但数形结合最简便但数形结合最简便|xa|xb|c型不等式解法型不等式解法(2011江西文，江西文，15
7、)对于对于xR，不等式，不等式|x10|x2|8的解集为的解集为_答案：答案：0，)例例3解关于解关于x的不等式的不等式|xlogax|1)分析：分析：|ab|a|b|，“”当且仅当当且仅当ab0时成立，时成立，若若|ab|a|b|，则，则ab0.绝对值不等式中等号成立的条件绝对值不等式中等号成立的条件 解析：解析：根据绝对值三角不等式，原不等式可化为根据绝对值三角不等式，原不等式可化为xlogax0，logax1，0 x1.不等式的解集为不等式的解集为x|0 x1.例例4(2011陕西文，陕西文，15)若不等式若不等式|x1|x2|a对对任意任意xR恒成立，则恒成立，则a的取值范围是的取值范
8、围是_分析：分析：欲使欲使af(x)恒成立，应有恒成立，应有af(x)的最小值的最小值集合与集合之间的关系集合与集合之间的关系 解析：解析：令令y|x1|x2|，由绝对值不等式，由绝对值不等式|a|b|ab|a|b|知知y|x1|x2|x1|2x|x12x|3.所以所以a3.答案：答案：(，3(2011陕西长安五校一模陕西长安五校一模)如果存在实数如果存在实数x使不等式使不等式|x1|x2|k成立，则实数成立，则实数k的取值范围是的取值范围是_分析：分析：存在存在x使使f(x)k成立，即不等式成立，即不等式f(x)f(x)的最小值的最小值答案：答案：k3例例5已知已知x、yR，求证：，求证：s
9、inxsiny1sinxsiny.分析：分析：将将sinx、siny看作一个整体，则不等式变成了在看作一个整体，则不等式变成了在|a|1，|b|1时，时，ab1ab的形式，可用作差比较法证的形式，可用作差比较法证明明比较法比较法 证明：证明：sinxsiny1sinxsinysinx(1siny)(1siny)(1siny)(sinx1)，1sinx1，1siny1，1siny0，sinx10.(1siny)(sinx1)0，即，即sinxsiny1sinxsiny.(2011福建理，福建理，21)设不等式设不等式|2x1|1的解集为的解集为M.(1)求集合求集合M；(2)若若a，bM，试比较
10、，试比较ab1与与ab的大小的大小解析：解析：(1)由由|2x1|1得得12x11，解得，解得0 x1.所以所以Mx|0 x1(2)由由(1)和和a，bM可知可知0a1,0b0，故故ab1ab.综合法综合法 分析法分析法 柯西不等式的应用柯西不等式的应用 3本部分内容是新增选学、各省市自主选考的内容，本部分内容是新增选学、各省市自主选考的内容，对该不等式的一般形式要求很低，只要了解即可考虑高对该不等式的一般形式要求很低，只要了解即可考虑高考的导向作用，新一轮高考命题可能要有这部分的内容考的导向作用，新一轮高考命题可能要有这部分的内容答案答案(，1)(3，)2(2011宝鸡统考宝鸡统考)不等式不等式log3(|x4|x5|)a对于对于一切一切xR恒成立，则实数恒成立，则实数a的取值范围是的取值范围是_答案答案(，2)解析解析由绝对值的几何意义知：由绝对值的几何意义知：|x4|x5|9，则则log3(|x4|x5|)2，所以要使不等式，所以要使不等式log3(|x4|x5|)a对于一切对于一切xR恒成立，则需恒成立，则需a2.3(2011忻州市高三联考忻州市高三联考)(1)解关于解关于x的不等式的不等式x|x1|3；(2)若关于若关于x的不等式的不等式x|x1|a有解，求实数有解，求实数a的取值的取值范围范围
