1、第3讲圆周运动第四章 曲线运动 万有引力与航天内容索引基础知识梳理命题点一圆周运动的分析命题点二水平面内圆周运动的临界问题命题点三竖直面内的圆周运动盘查拓展点课时作业基础知识梳理1一、匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度一、匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度1.匀速圆周运动(1)定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长 ，就是匀速圆周运动.(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向 ，是变加速运动.(3)条件：合外力大小不变、方向始终与 方向垂直且指向圆心.相等圆心速度2.描述匀速圆周运动的物理量描述匀速圆周运动的物理量定义、意义公式、单位线速度描述做圆周运动的物体运动 的
2、物理量(v)(1)v _(2)单位：角速度描 述 物 体 绕 圆 心 的物理量()(1)_(2)单位：_快慢快慢转动m/srad/s周期物体沿圆周运动 的时间(T)(1)T ，单位：_(2)f ，单位：Hz向心加速度(1)描述速度 变化快慢的物理量(an)(2)方向指向_(1)an (2)单位：一圈方向圆心sr2m/s2如图所示为一辆自行车传动装置的结构图.答案(1)同一齿轮上到转轴距离不同的各点的线速度、角速度是否相同？线速度不同，角速度相同.深度思考深度思考答案(2)两个齿轮相比较，其边缘的线速度是否相同？角速度是否相同，转速是否相同？线速度相同，角速度、转速不同.二、匀速圆周运动的向心力
3、二、匀速圆周运动的向心力1.作用效果向心力产生向心加速度，只改变速度的 ，不改变速度的 .2.大小Fmmrmv42mf2r.3.方向始终沿半径方向指向 ，时刻在改变，即向心力是一个变力.4.来源向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的 提供，还可以由一个力的 提供.mr2分力圆心方向大小合力三、离心现象三、离心现象1.定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需 的情况下，就做逐渐远离圆心的运动.2.本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周 飞出去的趋势.向心力切线方向3.受力特点(如图)当F时，物体做匀速圆周运动；当F0时，物体沿 方向飞出；当F时，物体逐
4、渐远离圆心.mr2切线mr21.判断下列说法是否正确.(1)匀速圆周运动是匀变速曲线运动.()(2)做圆周运动的物体，一定受到向心力的作用，所以分析做圆周运动物体的受力时，除了分析其受到的其他力，还必须指出它受到向心力的作用.()(3)做圆周运动的物体所受合外力突然消失，物体将沿圆周的半径方向飞出.()(4)火车转弯速率小于规定的数值时，内轨受到的压力会增大.()(5)飞机在空中沿半径为R的水平圆周盘旋时，飞机机翼一定处于倾斜状态.()基础题组自测基础题组自测2.(人教版必修2P25第3题改编)如图所示，小物体A与水平圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动，则A受力情况是A.重力、支持力
5、B.重力、向心力C.重力、支持力、指向圆心的摩擦力D.重力、支持力、向心力、摩擦力答案3.(人教版必修2P19第4题改编)图是自行车传动装置的示意图，其中是半径为r1的大齿轮，是半径为r2的小齿轮，是半径为r3的后轮，假设脚踏板的转速为n r/s，则自行车前进的速度为答案4.(人教版必修2P25第2题改编)如图所示，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相等的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则以下说法中正确的是A.A球的角速度等于B球的角速度B.A球的线速度大于B球的线速度C.A球的运动周期小于B球的运动周期D.A球对筒壁的压力大于B球
6、对筒壁的压力答案解析先对小球受力分析，如图所示，由图可知，两球的向心力都来源于重力mg和支持力FN的合力，建立如图所示的坐标系，则有：FNsin mgFNcos mr2由得FN ，小球A和B受到的支持力FN相等，由牛顿第三定律知，选项D错误.由于支持力FN相等，结合式知，A球运动的半径大于B球运动的半径，故A球的角速度小于B球的角速度，A球的运动周期大于B球的运动周期，选项A、C错误.又根据FNcos m可知：A球的线速度大于B球的线速度，选项B正确.2命题点一 圆周运动的分析1.圆周运动中的运动学分析(1)对公式vr的理解当r一定时，v与成正比；当一定时，v与r成正比；当v一定时，与r成反比
7、.(2)对a 2rv的理解在v一定时，a与r成反比；在一定时，a与r成正比.2.圆周运动中的动力学分析(1)向心力的来源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力.(2)向心力的确定确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置.分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力.(多选)如图所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R90 m的大圆弧和r40 m的小圆弧，直道与弯道相切.大、小圆弧圆心O、O距离L100 m.赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静
8、摩擦力是赛车重力的2.25倍，假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动，要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g10 m/s2，3.14)，则赛车A.在绕过小圆弧弯道后加速 B.在大圆弧弯道上的速率为45 m/sC.在直道上的加速度大小为5.63 m/s2 D.通过小圆弧弯道的时间为5.58 s【例1】答案解析分析题眼kmgm，vmR m/s45 m/s，vmr m/s30 m/s，直道的长度为x 50 m在直道上的加速度大小为a m/s26.50 m/s2小圆弧轨道的长度为 ，通过小圆弧弯道的时间为t s2.80 s题组阶梯突破题组阶梯突破1.如图所
9、示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上.不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是A.A的速度比B的大B.A与B的向心加速度大小相等C.悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等D.悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小答案解析题眼分析根据题意可知，座椅A和B的角速度相等，A的转动半径小于B的转动半径，由vr可知，座椅A的线速度比B的小，选项A错误；由ar2可知，座椅A的向心加速度比B的小，选项B错误；座椅受力如图所示，由牛顿第二定律得mgtan mr2，tan ，因座椅A的运动半径较小，故悬挂A的缆绳与竖直方向的夹角小，选项C错误
10、；拉力FT ，可判断悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小，选项D正确.2.(多选)如图所示，两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的A.周期相同B.线速度的大小相等C.角速度的大小相等D.向心加速度的大小相等答案分析题眼解析r=htan 对小球受力分析如图所示，受自身重力mg、绳子拉力FT，合力提供向心力即水平指向圆心，设细线和竖直方向夹角为，小球到悬点的距离为h，则有mgtan manm2htan，可得向心加速度angtan，所以向心加速度大小不相等，选项D错；角速度 ，所以角速度大小相等，选项C对；由于水平面内圆周运动的半径不同，线速度vhtan
11、，所以线速度大小不同，选项B错；周期T ，角速度相等，所以周期相等，选项A对.3命题点二 水平面内圆周运动的临界问题 如图所示，用一根长为l1 m的细线，一端系一质量为m1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角37，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为时，细线的张力为FT.(g取10 m/s2，结果可用根式表示)求：(1)若要小球刚好离开锥面，则小球的角速度0至少为多大？(2)若细线与竖直方向的夹角为60，则小球的角速度为多大？【例2】答案解析分析答案题眼题眼FN=0(1)mgtan m02lsin 解得：02即0 rad/s.(2)同理，当
12、细线与竖直方向成60角时，mgtan m2lsin 解得：2 ，即 2 rad/s.水平面内圆周运动临界问题的分析技巧水平面内圆周运动临界问题的分析技巧1.在水平面内做圆周运动的物体，当角速度变化时，物体有远离或向着圆心运动的趋势.这时要根据物体的受力情况，判断某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等).方法感悟方法感悟2.三种临界情况：(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力FN0.(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值.(3)绳子断裂与松驰的临界条件
13、：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是：FT0.题组阶梯突破题组阶梯突破3.(多选)(2014新课标全国20)如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是A.b一定比a先开始滑动B.a、b所受的摩擦力始终相等C.是b开始滑动的临界角速度D.当 时，a所受摩擦力的大小为kmg答案分析题眼解析最大静摩擦力相等小木块a
14、、b做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即fm2R.当角速度增加时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a：faml，当fakmg时，kmgma2l，a ；对木块b：fbmb22l，当fbkmg时，kmgmb22l，b ，所以b先达到最大静摩擦力，选项A正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则fam2l，fbm22l，fafb，选项B错误；当 时b刚要开始滑动，选项C正确；当 时，a没有滑动，则fam2l kmg，选项D错误.4命题点三 竖直面内的圆周运动1.竖直面内圆周运动两类模型一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如
15、球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”.2.竖直平面内圆周运动的两种模型特点及求解方法轻绳模型轻杆模型实例如球与绳连接、沿内轨道运动的球等如球与杆连接、球在内壁光滑的圆管内运动等图示最高点无支撑最高点有支撑最高点受力特征重力、弹力，弹力方向向下或等于零重力、弹力，弹力方向向下、等于零或向上受力示意图力学特征mgFNmmgFNm最高点临界特征FN0，vmin竖直向上的FNmg，v0过最高点条件vv0速度和弹力关系讨论分析能过最高点时，v ，FNmgm，绳、轨道对球产生弹力FN不能过最高点时，v ，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道做斜抛运动当v0时，FNmg，FN为支持力，沿半
16、径背离圆心当0v 时，FNmgm，FN指向圆心并随v的增大而增大 (2016全国16)小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短.将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示.将两球由静止释放.在各自轨迹的最低点A.P球的速度一定大于Q球的速度B.P球的动能一定小于Q球的动能C.P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力D.P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度【例3】答案解析分析题眼题眼题眼小球从水平位置摆动至最低点，mgL mv2，解得v ，因LPLQ，故vPmQ，LP 时，小球一定能通过最高点PD.当v0 时整体会发生滑动D.当 时整体会
17、发生滑动，故A错误，B、C正确；1234567891011当 时，C所受摩擦力沿着半径向里，且没有出现滑动，故在增大的过程中，由于向心力FFTFf不断增大，故B、C间的拉力不断增大，故D正确.12345678910116.如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上O、A两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m的小球上，OAOBAB，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB始终在竖直平面内，若转动过程中OB、AB两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是A.OB绳的拉力范围为0 mgB.OB绳的拉力范围为 mg mgC.AB绳的拉力范围为 mg mgD.AB
18、绳的拉力范围为0 mg答案解析1234567891011当转动的角速度为零时，OB绳的拉力最小，AB绳的拉力最大，这时两者的值相同，设为F1，则2F1cos 30mg，F1 mg，增大转动的角速度，当AB绳的拉力刚好等于零时，OB绳的拉力最大，设这时OB绳的拉力为F2，则F2cos 30mg，F2 mg，因此OB绳的拉力范围为 mg mg，AB绳的拉力范围为0 mg，B项正确.12345678910117.如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO重合.转台以一定角速度匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶
19、罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO之间的夹角为60，重力加速度大小为g.(1)若0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求0；答案解析1234567891011对小物块受力分析可知：FN cos 60mgFN sin 60mR02RRsin 60联立解得：01234567891011(2)若(1k)0，且0k1，求小物块受到的摩擦力大小和方向.答案解析当(1k)0时，Ff沿罐壁切线向下，大小为 mg当(1k)0时，Ff沿罐壁切线向上，大小为 mg1234567891011由于0k1，当(1k)0时，物块受摩擦力方向沿罐壁切线向下.由受力分析可知：FNcos 60mgFfcos 30 FNs
20、in 60Ffsin 30mR2联立解得：Ff mg1234567891011当(1k)0时，物块受摩擦力方向沿罐壁切线向上.由受力分析和几何关系知：FNcos 60Ffsin 60mgFNsin 60Ffcos 60mR2 联立解得Ff mg.12345678910118.如图所示，长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为L.重力加速度大小为g.现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v时，每根绳的拉力大小为A.mg B.mgC.3mg D.2 mg答案解
21、析1234567891011设小球在竖直面内做圆周运动的半径为r，小球运动到最高点时轻绳与圆周运动轨道平面的夹角为30，则有rLcos L.根据题述小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，有mgm；小球在最高点速率为2v时，设每根绳的拉力大小为F，则有2Fcos mgm，联立解得F mg，选项A正确.12345678910119.(多选)如图所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，半径r0.4 m，最低点处有一小球(半径比r小很多)，现给小球一水平向右的初速度v0，则要使小球不脱离圆轨道运动，v0应当满足(取g10 m/s2)A.v00 B.v04 m/sC.v02 m/s D.
22、v02 m/s答案解析1234567891011当v0较大时，小球能够通过最高点，这时小球在最高点处需要满足的条件是mg ，又根据机械能守恒定律有 mv22mgr mv02，得v02 m/s，C正确.当v0较小时，小球不能通过最高点，这时对应的临界条件是小球上升到与圆心等高位置处时速度恰好减为零，根据机械能守恒定律有mgr mv02，得v02 m/s，D正确.123456789101110.如图所示，两个四分之三竖直圆弧轨道固定在同一水平地面上，半径R相同，左侧轨道由金属凹槽制成，右侧轨道由金属圆管制成，均可视为光滑轨道.在两轨道右侧的正上方分别将金属小球A和B由静止释放，小球距离地面的高度分
23、别为hA、hB，下列说法正确的是A.若使小球沿轨道运动并且到达轨道最 高点，两球释放的最小高度hAhBB.在轨道最低点，A球受到的支持力最 小值为6mgC.在轨道最低点，B球受到的支持力最小值为6mgD.适当调整hA、hB，可使两球从轨道最高点飞出后，均恰好落在各自轨 道右端开口处答案解析12345678910111234567891011123456789101111.小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动.当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如图所示.已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长
24、为 d，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力.(1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2；答案解析1234567891011设绳断后球飞行时间为t，由平抛运动规律得1234567891011(2)求绳能承受的最大拉力；答案解析设绳能承受的最大拉力大小为FT，这也是球受到绳的最大拉力大小.球做圆周运动的半径为R d对小球在最低点由牛顿第二定律得1234567891011(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？答案解析1234567891011设绳长为l，绳断时球的速度大小为v3，绳承受的最大拉力不变.由牛顿第二定律得1234567891011绳断后球做平抛运动，竖直位移为dl，水平位移为x，时间为t1，则1234567891011
