1、专题三运动图象追及和相遇问题专题三运动图象追及和相遇问题 知识自主知识自主梳理梳理一、位移一、位移时间图象时间图象(st图象图象)1图象的物理意义：反映了物体的图象的物理意义：反映了物体的 随随 变化变化的规律的规律2图象斜率的意义图象斜率的意义(1)图 线 上 某 点 切 线 的 斜 率 的 大 小 表 示 物图 线 上 某 点 切 线 的 斜 率 的 大 小 表 示 物体体 (2)图 线 上 某 点 切 线 的 斜 率 的 正 负 表 示 物图 线 上 某 点 切 线 的 斜 率 的 正 负 表 示 物体体 3两条图线的交点表示两物体在同一时刻到达同两条图线的交点表示两物体在同一时刻到达同
2、一一 位移位移时间时间速度的大小速度的大小速度的方向速度的方向位置位置二、速度时间图象二、速度时间图象(vt图象图象)1物理意义：反映了做直线运动的物体物理意义：反映了做直线运动的物体 随随 的变化关系的变化关系 2.两种特殊的两种特殊的vt图象图象(1)匀速直线运动的匀速直线运动的vt图象是与横轴图象是与横轴 的直线的直线(2)匀变速直线运动的匀变速直线运动的vt图象是一条图象是一条 的直线的直线3图线斜率的意义图线斜率的意义(1)图线上某点切线的斜率大小表示物体运动的图线上某点切线的斜率大小表示物体运动的 (2)图线上某点切线的斜率正负表示图线上某点切线的斜率正负表示 运动速度运动速度时间
3、时间平行平行倾斜倾斜加速度加速度大小大小加速度的方向加速度的方向4图象与坐标轴围成的图象与坐标轴围成的“面积面积”的意义的意义(1)图象与坐标轴围成的面积表示相应时间内物体图象与坐标轴围成的面积表示相应时间内物体的的 (2)若此面积在时间轴的上方，表示这段时间的位移方若此面积在时间轴的上方，表示这段时间的位移方向为向为 ；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为的位移方向为 位移位移正方向正方向负方向负方向 重点辨析重点辨析无论是无论是st图象还是图象还是vt图象，都表示物体的运动情况随图象，都表示物体的运动情况随时间的变化关系，它并不是物体运
4、动的轨迹时间的变化关系，它并不是物体运动的轨迹三、追及和相遇问题三、追及和相遇问题1追及问题的两类情况追及问题的两类情况(两物体由同一位置出发两物体由同一位置出发)(1)速度大者减速追速度小者速度大者减速追速度小者(匀速匀速)当两者速度相等时，若追者位移仍小于被追者位移，当两者速度相等时，若追者位移仍小于被追者位移，则永远追不上，此时两者间有则永远追不上，此时两者间有 距离距离 两 者 速 度 相 等 时，则 恰 能 追 上，也 是 两 者 两 者 速 度 相 等 时，则 恰 能 追 上，也 是 两 者 的临界条件的临界条件若两者位移相等时，追者速度仍若两者位移相等时，追者速度仍 被追者的速度
5、，被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距离有一个距离有一个 值值最小最小避免碰撞避免碰撞大于大于较大较大(2)速度小者加速速度小者加速(如初速度为零的匀加速直线运动如初速度为零的匀加速直线运动)追速追速度大者度大者(如匀速运动如匀速运动)当两者当两者 相等时有最大距离相等时有最大距离当两者当两者 相等时，则追上相等时，则追上2相遇问题的常见情况相遇问题的常见情况(1)同向运动的两物体追及即同向运动的两物体追及即 (2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两
6、物体之间的开始时两物体之间的 时即相遇时即相遇速度速度位移位移相遇相遇距离距离 重点辨析重点辨析在追及相遇问题中，速度相等是一个很重要的临界条在追及相遇问题中，速度相等是一个很重要的临界条件，因此要注意此时两个物体之间的相对位置的关系件，因此要注意此时两个物体之间的相对位置的关系方法规律方法规律归纳归纳一、位移时间图象应用要点一、位移时间图象应用要点如图是几种常见的位移如图是几种常见的位移时间图象，对于图象要注重以时间图象，对于图象要注重以下四点：下四点：1点：两图线交点，说明两物体在该时刻该位置相点：两图线交点，说明两物体在该时刻该位置相遇遇2线：表示研究对象的变化过程和规律，若为倾斜直线：
7、表示研究对象的变化过程和规律，若为倾斜直线，则表示物体做匀速直线运动若为曲线，则表示物体的线，则表示物体做匀速直线运动若为曲线，则表示物体的速度在变化并不是物体做曲线运动速度在变化并不是物体做曲线运动3斜率：图象平行于横轴，说明斜率为零，即物体的斜率：图象平行于横轴，说明斜率为零，即物体的速度为零，表示物体静止；图象斜率为正值，表示物体沿与速度为零，表示物体静止；图象斜率为正值，表示物体沿与规定正方向相同的方向运动；图象斜率为负值，表示物体沿规定正方向相同的方向运动；图象斜率为负值，表示物体沿与规定正方向相反的方向运动与规定正方向相反的方向运动4截距：纵轴截距表示截距：纵轴截距表示t0时刻的初
8、始位置坐标，横时刻的初始位置坐标，横轴截距表示位移为零的时刻轴截距表示位移为零的时刻 特别提醒特别提醒(1)从位移图象上可以确定物体在任意时刻的位移从位移图象上可以确定物体在任意时刻的位移(2)从位移图象上可以确定物体通过任意位移所需的时从位移图象上可以确定物体通过任意位移所需的时间间(3)根据图象的斜率可以判断物体运动的性质根据图象的斜率可以判断物体运动的性质 二、速度图象二、速度图象(vt图象图象)应用要点应用要点如图是常见的几种如图是常见的几种vt图象，对图象，对vt图象应注重以下五方图象应注重以下五方面内容：面内容：1点的含义点的含义(1)两条速度图象的交点表示该时刻速度相等两条速度图
9、象的交点表示该时刻速度相等(2)与时间轴的交点是速度方向的转折点与时间轴的交点是速度方向的转折点(此时速度为零，此时速度为零，加速度却不为零，有时是加速度的最大点加速度却不为零，有时是加速度的最大点)(3)折点折点(顶点顶点)是加速度方向的转折点是加速度方向的转折点2线：若为倾斜直线表示匀变速直线运动，若为曲线线：若为倾斜直线表示匀变速直线运动，若为曲线表示变加速运动表示变加速运动3.斜率：图象平行于横轴，说明斜率为零，表示物体做斜率：图象平行于横轴，说明斜率为零，表示物体做匀速直线运动；图象的斜率为正值，表示物体的加速度与规匀速直线运动；图象的斜率为正值，表示物体的加速度与规定的正方向相同；
10、图象的斜率为负值，表示物体的加速度与定的正方向相同；图象的斜率为负值，表示物体的加速度与规定的正方向相反规定的正方向相反4截距：纵轴截距表示截距：纵轴截距表示t0时刻的初速度，横轴截距时刻的初速度，横轴截距表示速度为零的时刻表示速度为零的时刻5.面积：表示某段时间内的位移若图象与时间轴有交面积：表示某段时间内的位移若图象与时间轴有交叉点，则物体在某段时间内的总位移为上、下面积的代数叉点，则物体在某段时间内的总位移为上、下面积的代数和和 特别提醒特别提醒(1)由速度图象可求任意时刻的物体的速度、加速度及由速度图象可求任意时刻的物体的速度、加速度及任意一段时间内的位移任意一段时间内的位移(2)关于
11、物理图象中的面积，只要纵轴和横轴所代表的关于物理图象中的面积，只要纵轴和横轴所代表的物理量的乘积恰好是另一物理量，图象围成的面积就代表这物理量的乘积恰好是另一物理量，图象围成的面积就代表这个物理量，如个物理量，如vt图围成面积是位移，图围成面积是位移，Fs图围成面积是功率图围成面积是功率.一、解答追及、相遇问题的常用方法一、解答追及、相遇问题的常用方法1.物理分析法：抓好物理分析法：抓好“两物体能否同时到达空间某位置两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景起一幅物体运动关系的图
12、景2相对运动法：巧妙地选取参考系，然后找两物体的相对运动法：巧妙地选取参考系，然后找两物体的运动关系运动关系3.极值法：设相遇时间为极值法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关，根据条件列方程，得到关于于t的一元二次方程，用判别式进行讨论：若的一元二次方程，用判别式进行讨论：若0，即有两个，即有两个解，说明可以相遇两次；若解，说明可以相遇两次；若0，说明刚好追上或相遇；若，说明刚好追上或相遇；若0，说明追不上或不能相碰，说明追不上或不能相碰 4.图象法：将两者的图象法：将两者的vt图象在同一坐标系中画出，然图象在同一坐标系中画出，然后利用图象求解后利用图象求解追及问题的图象关系追及问题的图象
13、关系匀匀加速加速追匀追匀速速能追及且只能相遇一次能追及且只能相遇一次交点意义：速度相等，两物体相距交点意义：速度相等，两物体相距最远最远匀匀减速减速追匀追匀速速例：如果例：如果t1追及，追及，则则t2还会相遇还会相遇当当v减减v匀匀时，如果时，如果ss0，则恰能追，则恰能追及，这也是避免相撞的临界条件，只及，这也是避免相撞的临界条件，只相遇一次；若相遇一次；若ss0(也就是也就是s1s0时，时，v减减v匀匀)能能相遇两次相遇两次匀匀速追速追匀加匀加速速例：如果例：如果t1追及，追及，t2还会相还会相遇遇规律同上规律同上匀匀速追速追匀减匀减速速规律同上规律同上匀匀加速加速追匀追匀减速减速规律同上
14、规律同上匀匀减速减速追匀追匀加速加速规律同上规律同上二、求解追及和相遇问题的基本思路二、求解追及和相遇问题的基本思路1分别对两物体研究；分别对两物体研究；2画出运动过程示意图；画出运动过程示意图；3列出位移方程；列出位移方程；4找出时间关系、速度关系、位移关系；找出时间关系、速度关系、位移关系；5解出结果，必要时进行讨论解出结果，必要时进行讨论注意注意1.研究研究“追及追及”、“相遇相遇”问题时，一定要抓住问题时，一定要抓住一个条件、两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界一个条件、两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上；条件，如两物体距
15、离最大、最小，恰好追上或恰好追不上；两个关系是时间关系和位移关系，其中通过画草图找到两物两个关系是时间关系和位移关系，其中通过画草图找到两物体位移之间的数量关系，是解题的关键体位移之间的数量关系，是解题的关键2若被追及的物体做匀减速运动，一定要注意追上前若被追及的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否停止运动该物体是否停止运动3仔细审题，注意抓住题目中的字眼，充分挖掘题目仔细审题，注意抓住题目中的字眼，充分挖掘题目中的隐含条件如中的隐含条件如“刚好刚好”、“恰巧恰巧”、“最多最多”、“至少至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件.3常
16、用的图象信息：图线、点、斜率、截距、面积常用的图象信息：图线、点、斜率、截距、面积等图象法是解决物理问题的重要方法等图象法是解决物理问题的重要方法()4追及相遇问题中，速度相等是两物体相距最远或最追及相遇问题中，速度相等是两物体相距最远或最近的临界点；把握两物体的位移关系和时间关系是关键近的临界点；把握两物体的位移关系和时间关系是关键()请在走过的请在走过的“思维误区思维误区”后打后打“！”1易看错坐标轴，常将易看错坐标轴，常将st图象当作图象当作vt图象分析，还图象分析，还常将图线当轨迹处理常将图线当轨迹处理()2物理图象意义理解错误，不能由图象分析出物体的物理图象意义理解错误，不能由图象分
17、析出物体的相应运动过程及特点相应运动过程及特点()3不能从图象读取有用信息并加以利用，以进一步分不能从图象读取有用信息并加以利用，以进一步分析和求解物理问题析和求解物理问题()4当思路受阻或问题复杂时，不会想到用图象法巧妙当思路受阻或问题复杂时，不会想到用图象法巧妙处理，如比较运动学量处理，如比较运动学量(s、v、a、t)的大小、解决追及相遇的大小、解决追及相遇问题等问题等()5处理追及相遇问题时常忽视隐含条件、临界条件、处理追及相遇问题时常忽视隐含条件、临界条件、约束关系的挖掘而导致错误约束关系的挖掘而导致错误()真题典例真题典例探究探究题型题型1位移时间图象的应用位移时间图象的应用【例例1
18、】某质点在东西方向上做直线运动规定向东某质点在东西方向上做直线运动规定向东的方向为正方向，其位移图象如图所示的方向为正方向，其位移图象如图所示试根据图象试根据图象(1)描述质点运动情况描述质点运动情况(2)求出质点在求出质点在08 s时间内的位移和路程时间内的位移和路程(3)求出质点在求出质点在04 s、48 s内的速度内的速度【解析解析】(1)04 s、46 s、68 s物体做什么运动？物体做什么运动？向哪个方向运动？何时回到出发点？向哪个方向运动？何时回到出发点？答答04 s做匀速直线运动，方向向东；做匀速直线运动，方向向东；46 s做匀速做匀速直线运动，方向向西；直线运动，方向向西；6秒
19、末回到出发点；秒末回到出发点；68 s做匀速直线做匀速直线运动，方向向西运动，方向向西(2)物体在哪个时刻改变运动方向？这一时刻之前的位物体在哪个时刻改变运动方向？这一时刻之前的位移是多少？移是多少？答答 4 s末，末，s18 m.(3)48 s速度方向改变过吗？速度方向改变过吗？4 s末和末和8 s末物体在什么末物体在什么位置？位置？48 s位移为多少？位移为多少？答答48 s物体一直向西运动物体一直向西运动.4 s末物体在出发点以东末物体在出发点以东8 m,8 s末物体在出发点以西末物体在出发点以西8m.s2(8)8m16m.(4)08 s内位移为多少？路程为多少？内位移为多少？路程为多少
20、？答位移答位移ss1s28 m，路程，路程d|s1|s2|24 m.【答案答案】见解析见解析 思维拓展思维拓展上题中图象改为速度上题中图象改为速度时间图象，时间图象，08 s内位移为多大？内位移为多大？方向向哪？方向向哪？【答案答案】16 m，方向向东，方向向东【方法归纳方法归纳】分析分析st图象问题应注意以下几点：图象问题应注意以下几点：(1)图象不是轨迹图象不是轨迹(2)理解斜率表示速度理解斜率表示速度(3)抓住图线中的特殊点抓住图线中的特殊点【备选例题备选例题1】(2009台湾自然台湾自然)一质点沿一质点沿x轴做周期轴做周期性的运动，其位置坐标性的运动，其位置坐标x对时间对时间t的关系如
21、图所示下列有关的关系如图所示下列有关此质点运动的叙述，何者正确？此质点运动的叙述，何者正确？(应选二项应选二项)()A质点在任一周期的平均速度均为零质点在任一周期的平均速度均为零B外力对质点所做之功大于零外力对质点所做之功大于零C当当|x|2 m时质点以等速率运动时质点以等速率运动D质点沿质点沿x轴做等速度运动轴做等速度运动【解析解析】一个周期内质点发生的位移为零，故平均一个周期内质点发生的位移为零，故平均速度为零，速度为零，(st图象图象)A(st图象图象)正确由正确由xt图象知在各个图象知在各个|x|2 m的区间图线为倾斜的直线且其斜率的绝对值相等，则的区间图线为倾斜的直线且其斜率的绝对值
22、相等，则质点运动中速率不变，再由动能定理知合外力所做功为零，质点运动中速率不变，再由动能定理知合外力所做功为零，故故B错误错误C正确由正确由|x|0有两解，两次相遇有两解，两次相遇(或追上或追上)0无解，没有相遇无解，没有相遇(或追上或追上)(2)注意方程的解的意义检验注意方程的解的意义检验.【备选例题备选例题3】A、B两棒均长两棒均长 1 m，A棒悬挂于天花板上，棒悬挂于天花板上，B棒直立于地棒直立于地面，面，A棒的下端与棒的下端与B棒的上端之间相距棒的上端之间相距20 m，如图所示，某时刻烧断悬挂，如图所示，某时刻烧断悬挂A棒的绳棒的绳子，同时将子，同时将B棒以棒以v020 m/s的初速度
23、竖的初速度竖直上抛，若空气阻力忽略不计，且直上抛，若空气阻力忽略不计，且g取取10 m/s2，试求，试求(1)A、B两棒出发后何时相遇？两棒出发后何时相遇？(2)A、B两棒相遇后，交错而过需两棒相遇后，交错而过需用多少时间？用多少时间？【答案答案】(1)1 s(2)0.1 s题型题型4图象法解追及相遇问题图象法解追及相遇问题【例例4】公共汽车公共汽车A由停车站从静止出发以由停车站从静止出发以2 m/s2的加的加速度做匀加速运动，这时一辆载重汽车速度做匀加速运动，这时一辆载重汽车B从后面超过公共汽从后面超过公共汽车，载重汽车以车，载重汽车以10 m/s的速度匀速前进问：经过多长时间的速度匀速前进
24、问：经过多长时间公共汽车能追上载重汽车？在追上前经过多长时间两车相距公共汽车能追上载重汽车？在追上前经过多长时间两车相距最远，相距最远时两车之间的距离是多少？最远，相距最远时两车之间的距离是多少？【解析解析】(1)在在vt图中画出图中画出A、B的运动图象的运动图象答如下图所示答如下图所示(2)t1时两车的速度什么关系？位移什么关系？时两车的速度什么关系？位移什么关系？答两车速度相等此时两车位移之差最大，即两车答两车速度相等此时两车位移之差最大，即两车相距最远相距最远(3)从图象上看，从图象上看，t2与与t1，是什么关系时，是什么关系时A追上追上B？为什么？为什么？答答t1时间内时间内A比比B的
25、位移少的位移少CEO面积所代表的位移，面积所代表的位移，A要追上要追上B，只要，只要EDF面积与面积与COE面积相等即可，即面积相等即可，即t22t1.【答案答案】10s5s25m 思维拓展思维拓展上题中，如果上题中，如果A的加速度为的加速度为1 m/s2，当，当A追上追上B时的时间时的时间t2与与AB间距离最大时的时间间距离最大时的时间t1还是两倍的关系吗？还是两倍的关系吗？【答案答案】仍然是仍然是t22t1.【方法归纳方法归纳】(1)将两者的将两者的vt图象在同一坐标系中图象在同一坐标系中画出画出(2)分析两图线的交点含义，要充分利用图象中的面积分析两图线的交点含义，要充分利用图象中的面积
26、来分析两车的位移关系，分析横、纵坐标确定时间、速度关来分析两车的位移关系，分析横、纵坐标确定时间、速度关系系(3)通过公式列方程求解通过公式列方程求解【备选例题备选例题4】(2009海南单科海南单科)甲乙两车在一平直道甲乙两车在一平直道路上同向运动，其路上同向运动，其vt图象如图所示，图中图象如图所示，图中OPQ和和OQT的面积分别为的面积分别为s1和和s2(s1s2)初始时，甲车在乙车前方初始时，甲车在乙车前方s0处处 ()A若若s0s1s2，两车不会相遇，两车不会相遇B若若s0s1，两车相遇，两车相遇2次次C若若s0s1，两车相遇，两车相遇1次次D若若s0s2，两车相遇，两车相遇1次次【解析解析】若乙车追上甲车时，甲、乙两车速度相同，若乙车追上甲车时，甲、乙两车速度相同，即此时即此时tT，则，则s0s1，此后甲车速度大于乙车速度，全程，此后甲车速度大于乙车速度，全程甲、乙仅相遇一次；若甲、乙两车速度相同时，甲、乙仅相遇一次；若甲、乙两车速度相同时，s0s1，则此时甲车仍，则此时甲车仍在乙车的前面，以后乙车不可能再追上甲车了，全程中甲、在乙车的前面，以后乙车不可能再追上甲车了，全程中甲、乙都不会相遇，综上所述，选项乙都不会相遇，综上所述，选项A、B、C对，对，D错错【答案答案】ABC
