1、 - 1 - 宿州市十三所重点中学 20192020 学年度第一学期期末质量检测 高二数学试卷(理科) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上 无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分；在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。) 1.命题“x0，使是 x2x10”的否定是 A.x00，使得 x0
2、2x010 B.x00，使得 x02x010 C.x0，使得 x2x10 D.x0，使得 x2x10 2.已知双曲线 x2y22 的两个焦点为 F1和 F2，则|F1F2| A.2 2 B.2 C.4 D.2 3.正方体不在同一侧面上的两顶点 A(1，2，1)，B(1，0，1)，则正方体外接球体积是 A.4 3 B. 32 3 C.323 D.4 4.下列命题中真命题的个数有 xR，x2x 1 4 0； x0，lnx 1 ln x 2； 若命题 pq 是真命题，则p是假命题； y2x2 x是奇函数 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 5.已知空间向量a(1，0，1)，b(1，1，n
3、)，且ab3，则向量a与 b(0)的夹角为 A. 6 B. 6 或 5 6 C. 3 D. 3 或 2 3 6.对于实数 x，y，若 p：x2 或 y3；q：xy5，则 p 是 q 的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知三棱锥三视图如图所示，则该三棱锥最长棱为 A.7 B.2 3 C.4 D.2 5 8.如图，四面体 ABCD 中，AB，BC，BD 两两垂直，BCBD2，点 E 是 CD 的中点，若直 - 2 - 线 AB 与平面 ACD 所成角的正弦值为 1 3 ，则点 B 到平面 ACD 的距离 A. 2 2 B. 4 3 C. 2 2
4、 3 D. 2 3 9.众所周知的“太极图” ，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极 图” 。如图是放在平面直角坐标系中的“太极图” ，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域 在 y 轴右侧部分的边界为一个半圆。给出以下命题： 在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是 1 2 ； 当 a 4 3 时，直线 ya(x2)与黑色阴影部分有公共点； 当 a0，1)时，直线 ya(x2)与黑色阴影部分有两个公共点。 其中所有正确结论的序号是 A. B. C. D. 10.已知双曲线 C1： 22 1 8 xy m 与双曲线 C2： 2 2 1 4 y x 有相同的渐近线，
5、则双曲线 C1的离 心率为 A. 5 4 B.5 C.5 D. 5 2 11.如图所示，点 F 是抛物线 y24x 的焦点，点 A，B 分别在抛物线 y24x 及圆 x2y22x 30 的实线部分上运动，且 AB 总是平行于 x 轴，则FAB 的周长的取值范围 A.(2，4) B.2，4) C.(4，6) D.4，6) 12.已知 F1，F2分别为椭圆 C： 22 2 1(2) 4 xy a a 的左右焦点，若椭圆 C 上存在四个不同的 点 P，满足PF1F2的面积为4 2，则椭圆 C 的离心率的取值范围 - 3 - A.(0， 6 3 ) B.( 6 3 ，1) C.(0， 3 2 ) D.
6、( 3 2 ，1) 二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。) 13.抛物线 2 4 x y 的焦点关于直线 xy0 对称的点的坐标为 。 14.已知四面体 ABCD 的顶点分别为 A(2，3，1)，B(1，0，2)，C(4，3，1)，D(0，3，3)， 则点 D 到平面 ABC 的距离 。 15.曲线上的点 M(x，y)到定直线 l：x8 的距离和它到定点 F(2，0)的距离的比是常数 2，则 该曲线方程为 。 16.椭圆有如下光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭 圆的另一个焦点，已知椭圆 C 长轴长为 2a，焦距为 2c，若一条光线从
7、椭圆的左焦点出发，第 一次回到该焦点所经过的路程为 6c，则椭圆 C 的离心率为 。 三、解答题：(本大题共 6 小题，其中 17 小题 10 分，1822 小题每小题 12 分；解答应写出 文字说明，证明过程或演算步骤。) 17.已知命题 p：方程 22 1 127 xy mm 表示双曲线；命题：q，xR，不等式 x22mx 2m30 恒成立。 (1)若“q”是真命题，求实数 m 的取值范围； (2)若“pq”为假命题， “pq”为真命题，求实数 m 的取值范围。 18.己知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面是边长为1的菱形， 且C1CBC1CDBCD 3 ，DD12。 (1)证明：D
8、D1BD； (2)求异面直线 CA1与 AB 夹角的余弦值。 19.若直线 l：y(a1)x1 与曲线 y2ax 恰好有一个公共点，试求实数 a 的取值集合。 - 4 - 20.己知椭圆 C： 2 2 1 2 x y左右焦点分别为 F1，F2。 (1)求过点 P( 1 2 ， 1 2 )且被 P 点平分的弦的直线方程； (2)若过 F2作直线与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且 22 2BFF A，求|AB|。 21.在如图所示的三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1平面 ABC，ABBC，BC2BB12， B1C 的中点为 O，若线段 A1C1上存在一点 P 使得 PO平面 AB1C。 (1)
9、求 AB 的长； (2)求二面角 AB1CA1的大小。 22.己知动圆 M 过定点 F(0，1)且与 x 轴相切，点 F 关于圆心 M 的对称点为 E，点 E 的轨迹为 H。 (1)求曲线 H 的方程； (2)一条直线经过点 F，且交曲线 H 于 A、B 两点，点 C 为直线 y1 上的动点。 求证：ACB 不可能是钝角； 是否存在这样的点 C，使得ABC 是正三角形？若存在，求点 C 的坐标；否则，说明理由。 高二数学（理）参考答案高二数学（理）参考答案 - 5 - 一选择题一选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C A C B A C B B D C
10、 B 二二填空题填空题 13. (1,0) 14. 23 15. 1 1216 22 yx 16. （少填不得分）或或 2 1 4 1 3 2 三解答题三解答题 17.解:(1)命题 q; Rx ,不等式 0322 2 mmxx 恒成立 得 0) 32(44 2 mm 31m 由 q 为真，则 m 的取值范围是： 1m3 或m （2）由题意知命题 p:0)72)(1(mm,得 2 7 1 m 由（1）知命题 q: 31m 又 qp 为假， qp 为真 所以 p 真 q 假或 p 假 q 真 则 1m 2 7 m 31 2 7 1 1m3 或 或 或 m m m 的 m 取值范围：11- 2 7
11、 3mm或 18. 解：设 CD=a ， CB=b ， 1 CC=c 则= 3 ,= 3 ,= 3 且a =1，b =1，c =2 （1）由)( 11 CBCDCCBDDD =c .(a -b )=c .a -c .b =1-1=0 所以BDDD 1 (2)由 11 AADACDCAa +b +c aAB - 6 - 所以11)( 2 1 cbaCA 1 AB 又 2 5 1 ABCA 则 cos= ABCA ABCA . 1 1 = 22 115 111 2 5 所以异面直线夹角余弦值为 22 115 19. 解：当 a=0 时 直线 l:y=x-1 与曲线0 2 y恰有一个公共点 当 a0
12、 时 1)1( 2 xay a y x ，则0) 1( 2 aayya 若 a=1,则 y=-1,此时1 1 a x有一个公共点 若1a，则0) 1(4 2 aaa 得 5 4 a 此时直线与曲线相切只有一个公共点 综上：a 的取值集合为 5 4 , 1 , 0 20. （1）设过点 p 的直线与椭圆 C 交于 M),(),( 2211 yxNyx两点 则 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 y x y x 两式相减得 )(2 21 21 21 21 yy xx xx yy 由1, 1 2121 yyxx 则 2 1 21 21 xx yy 即直线斜率为 2 1 所以直线方程为 0
13、34x2), 2 1 ( 2 1 2 1 yxy即 （2）设过 2 F 的直线为 1 myx ，设 ),(),( 4433 yxByxA - 7 - 则 012)2( 221 022 22 myym myx yx 则 2 1 , 2 2 2 43 2 43 m yy m m yy 又 AFBF 22 2 则 34 2yy 所以 2 1 2, 2 2 2 2 3 2 3 m y m m y 代入得 7 2 2 m 所以 43 2 1yymAB 8 29 2 4 )2( 4 1 4)(1 222 2 2 43 2 43 2 mm m m yyyym 21 解： （1）由题意知 BABBBC, 1
14、两两垂直。 以 B 点为原点， BABBBC, 1 分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 设 AB=t(t0) 则 A（0,0，t）, 1 B (0,1,0),C( 0 , 0 ,2 ), )0 , 2 1 , 2 2 (),1 , 0 ,2(), 1 , 0( 11 OCtA 设 p(x,y,z),由题意 111 CAAP PA1 =(x,y-1,z-t) 11C A =( t, 0 ,2 ) 所以 ), 1 ,2( 2 01 ttp x y ttz 故 OP=), 2 1 , 2 2 2(tt 设面CAB1的法向量为),( zyxn 则 1 AB=(0，1，-t) , )0 ,
15、 1,2( 1 CB 所以 0 02 0 0 1 1 tzy yx BAn CBn 取) 2 ,2, 1 ( t n - 8 - 由n, 1 POCABPO则面得2,2, 4 3 ABt所以 (2) 由（1）得平面CAB1的一个法向量为) 1 ,2, 1 (n 设平面CBA 11 的法向量为),( 111 zyxm )0 , 1,2(),2, 0 , 0( 111 CBBA 则 02 02 0 0 1 11 11 1 z yx mBA mCB 取)0 ,2, 1 (m Cos= 2 3 23 3 则= 6 故二面角 6 11 所成角的大小为ACBA 21. 解： （1）设 E（x，y）,由 F
16、（0,1）在圆上，且点 F 关于圆心 M 的对称点为 E。 故) 2 1 , 2 ( yx M 所以 2 1y 2 ) 1( ,) 1( 22 22 yx yxEF则 化简得yx4 2 ，所以曲线 H 的方程为yx4 2 （2）设直线 AB：y=kx+1, 044 ) 1,(),(),( 21 4 2211 2 kxx nCyxByxA kxy yx 所以1, 24, 4,4 21 2 212121 yykyyxxkxx ) 1,(),1,( 2211 ynxBCynxAC - 9 - 0)2( 44 124144 )( 2 22 22 2121 2 2121 nk nknk knkn yyyynxxnxxBCAC 故ACB不可能为钝角 假设存在这样的点 C，设 AC 中点为 N 由知 N) 12 ,2( 2 kk 由1 2 2k2 , 2 k nk ABCN故 得kkn42 3 所以 C) 1,42( 3 kk 又1) 1(2)22()22( 222223 kkkkkCN ) 1(41 2 21 2 kxxkAB 由2k, 2 3 得ABCN 所以存在点 C) 1,28(满足题意
