1、 理科数学答案第 1 页（共 6 页）绵阳市高中绵阳市高中 2019 级第一次诊断性考试级第一次诊断性考试 理科数学参考答案及评分意见 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 CDBCC AABDD AD 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 137 142 1532 161，2 2 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 17解：（1）()3(1cos2)sin23f xxx 3cos2sin2xx 2sin(2)3x 4 分 相邻对称轴间距离为2，函数的最小正周期T，即2(0)2，解得1，()2sin(2)3f xx 6 分 由2222
2、32kxk，得51212 kxk(kZ)，函数()f x在 0，2上的单调递增区间为0，128 分（2）将函数()2sin(2)3f xx的图象向左平移(0)2个单位后得()2sin2()+=2sin(22+)33g xxx，()g x为偶函数，(0)2g，即sin(2)13，10 分 232k，即()212kkZ 又02，1212 分 理科数学答案第 2 页（共 6 页）18解：（1）132nnSS，2312 SS，即23121aaa 12a，62a 2 分 当2n时，231nnSS 由得nnaa31，即13(2)nnana又312aa，数列 na是以首项为 2，公比为 3 的等比数列 5
3、分 132nna 6 分（2）由123nnn an，7 分 得0112 1 32 33)（nnTn 1232 1 32 33)（nnTn 由，得01222 33333)nnnTn-1（-，132223(12)3113nnnnTnn 11()322nnTn 12 分 19解：选择条件：由tan=(2)tanbCabB，得sin(2)sincoscosbCabBCB，由正弦定理可得，sinsincos=(2sinsin)sincosBCBABBC.sincos2sincossincosCBACBC，2sincossincossincossinsinACCBBCCBA，(0)，C，sin0C，1co
4、s2A，又(0)2，A，3A 选择条件：由正弦定理可得，2sincos2sinsinCBAB，又sinsin()ACB，2sincos2sin()sin2(sincoscossin)sinCBCBBCBCBB，化简整理得2cossinsinCBB，由sin0B，1cos2C，又02C，3C 理科数学答案第 3 页（共 6 页）选择条件：由已知得，2222coscosbacacAaC，由余弦定理，得2222cosbacabC，2222coscosbcaacCcA，22coscoscosabCacAaC，0a，2 coscoscosbCcAaC，由正弦定理，有2sincossincossincos
5、sin()sinBCCAACACB，sin0B，1cos2C.又(0)2，C，3C 4 分（1）证明：由正弦定理得=2 3sinsinacAC，=2 3sinaA，=2 3sin=2 3sin(3)sin33cosaABBB，得证 6 分（2）由 AP=2PB 及 AB=3，可得 PB=1，在PBC 中，由余弦定理可得，2212 cosCPaaB 2(123sin3cos)3sin3cos()cosBBBBB 3s n42i 2B9 分 ABC 为锐角三角形，()62，B，即2()3B，当2=24BB，即时，2CP取最大值为4+2 3 线段 CP 的长度的最大值为1+3 12 分 20解：（1
6、）由题意得22()23=fxxaxa-(x-3a)(x+a)1 分 当1a 时，()(1)(3)fxxx，x-4，2 由()0fx，解得31x；由()0fx，解得43x 或12x3 分 函数 f(x)在区间(-3，1)上单调递增，在区间-4，-3)，(1，2单调递减 又2532(4)(3)33ff ，327(4)5(1)(1)0(2)33，ffff ，函数()f x在区间-4，2上的最大值为 0，最小值为323 6 分 理科数学答案第 4 页（共 6 页）（2）存在实数 m，使不等式()0f x 的解集恰好为(m，+)，等价于函数 f(x)只有一个零点 22()23=(3)()fxxaxaxa
7、 xa，i)当 a0 时，由()0fx，解得3axa，函数 f(x)在区间(3a，-a)上单调递增；由()0fx，解得3xa或xa，函数 f(x)在区间(，3a)，(-a，)上单调递减 又5(0)03f，只需要 f(-a)0，解得-1a0 实数 a 的取值范围为-1a0 时，由()0fx，解得3axa，即 f(x)在区间(-a，3a)上单调递增；由()0fx，解得xa或3xa，即函数 f(x)在区间(，-a)，(3a，)上单调递减；又5(0)03f，只需要 f(3a)1 时，23()12xf xxex等价于22 ln10 xxx，即12ln0 xxx 令1()2lnF xxxx，则22221(
8、1)()10 xF xxxx 函数()F x在区间(1)，上单调递增，()(1)0F xF，当 x1 时，23()12xf xxex 6 分 理科数学答案第 5 页（共 6 页）（2）由题得21()e2 ln(4)12xg xxxxxa x 若 g(x)=f(x)+(4-a)x-1 无极值，则()0g x恒成立或()0g x恒成立 i)当()0g x恒成立时，()(1)2(1ln)40exg xxxxa，即min2(1)2lnxaxxxe 令()(1)e2lnxh xxxx 2(2)1()(2)e1(2)e(2)(e)xxxxh xxxxxxx(x0)令1()exxx，则21()e0 xxx，
9、即()x在(0，)上单调递增 8 分 又1()e2420(1)e102，存在0 x(12，1)，使得0001()e=0 xxx 当0(0)，xx时，()0 x，即()0h x，函数 h(x)在区间0(0)，x单调递减 当0()，xx时，()0 x，即()0h x，函数 h(x)在区间0()，x 单调递增 函数 h(x)的最小值为 h(x0)=0000(1)e2lnxxxx10 分 又001exx，即00lnxx，代入，得 h(x0)=0000(1)e2lnxxxx=0000011121xxxxx 又0 x(12，1)，则 h(x0)=0011xx(3，72)正整数 a 的最大值是 5 ii)当
10、()0g x恒成立时，()(1)e2(1ln)40 xg xxxxa，即max2(1)2lnxaxxxe，又由（i）知，函数 h(x)在区间0()，x 上单调递增，函数 h(x)不存在最大值 综上：正整数 a 的最大值是 5 12 分 理科数学答案第 6 页（共 6 页）22解：（1）曲线1C的极坐标方程为2(0)=2 分 设 P(，)为曲线2C上的任意一点，=2cos()2 曲线2C极坐标方程为2sin(0)=5 分（2）直线(0)R，与曲线1C，2C分别交于点 A，B(异于极点)，设 B(，B)，则 A(，A)由题意得2sinB，2A，22sinABAB 7 分 点 M 到直线 AB 的距离sin2sindOM，11=(22sin)2sin22AOMSAB d 2(sin1sin)12(1sin)sin242 1(sin)2当且仅当时，等号成立 ABM 的面积的最大值为12 10 分 23解：（1）由题意得()2()(2)3f xxmxmxmxmm 3 分 函数()f x的最大值为 6，36m，即2m m0，m=2.5 分（2）由（1）知，2xyz，x0，y0，z0，2()()22xxxyzyz 2222xyxz(当且仅当2xyz时，等号成立)8 分 222xyxz，2xyxz(当且仅当11=2xyz，时，等号成立)10 分
