1、安亭高级中学安亭高级中学 2022 学年第一学期期中考试高二数学学年第一学期期中考试高二数学试卷试卷 命题人：蔡雷霆 审核人：陈春霞（本试卷共 21 题，闭卷，满分 150 分，考试时间 120 分钟）一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，第分，第 1-6 题每题题每题 4 分，第分，第 7-12 题每题题每题 5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1.从 至 的 个整数中随机取 个不同的数，共有_种不同的取法.2.已知向量，且，则_.3.同时投掷两颗均匀的骰子，所得点数相等的概率为_.4.若，则_.5.正整数有_
2、个不同的正约数.6.投掷一颗均匀的骰子，设事件：点数大于等于；事件：点数为奇数.则_.7.已知甲同学在玩“电子抽卡游戏”，假设每次抽取 张卡，且每次获得“稀有卡”的概率均为，那么该同学在次抽取后，一次也没获得“稀有卡”的概率为_.（结果精确到）8.从正方体的 个顶点中任选 个，则这 个点恰好是同一条棱的两个端点的概率为_.9.甲乙丙丁戊 名同学排成一列，若甲不站在排头，乙和丙相邻，则不同的排列方法有_种.10.已知正三棱锥满足，则_.11.将 个相同的红球和 个相同的蓝球排成一行，从左至右依次对应序号，若同色球之间不加以区分，则 个红球对应序号之和小于 个蓝球对应序号之和的排列方法有_种.12
3、.假设你正在参加一个电视节目，舞台上有三扇门，其中一扇门的后面是汽车，另外两扇门的后面是山羊，如果你选中了后面有汽车的那扇门，就可以得到这辆汽车.于是你随机选择了一扇门，走到门前，但还未打开.这时，主持人打开了另外两扇门中的一扇，让你看到了那扇门的后面是一只山羊（主持人当然知道每扇门后面都是什么）.现在，主持人给你一次重新选择的机会.这时如果你选择换另一扇还未打开的门，那么得到汽车的概率是_.二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分，每题分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项，分）每题有且只有一个正确选项，考生考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小
4、方格涂黑应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.在长方体中，为中点，则（）A.B.C.D.14.盒中装有大小相同的 个小球，其中黑球 个，白球 个，假设每次随机在 个球中取一个，取球后放回摇匀，则下列说法正确的是（）A.“第三次取到黑球”和“第四次取到黑球”互斥 B.“第三次取到黑球”和“第四次取到白球”独立 C.“前三次都取到黑球”和“前三次都取到白球”对立 D.若连续三次都取到黑球，则第四次取到白球的概率会大于 15.在正方体中，为上一动点，则（）A.存在点使得与平面垂直 B.存在点使得与平面垂直 C.存在点使得与平面垂直 D.存在点使得与平面垂直 16.某棋手与甲、乙、丙
5、三位棋手按某种次序各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为、，且.记该棋手连胜两盘（不包括连胜三盘）的概率为，则（）A.该棋手在第二盘与甲比赛，最大 B.该棋手在第二盘与乙比赛，最大 C.该棋手在第二盘与丙比赛，最大 D.与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序无关 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤出必要的步骤.17.（本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分）已知
6、一条铁路有 个车站，假设列车往返运行且每个车站均停靠上下客，记从车站上车到车站下车为 种车票.（1）该铁路的客运车票有多少种？（2）为满足客运需要，在该铁路上新增了 个车站，客运车票增加了种，求的值.18.（本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分）已知空间直角坐标系中，、，.（1）若，求的坐标.（2）求三角形的面积.19.（本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分）如图，四面体中，为的中点.（1）证明：平面.（2）设，点在上，当的面积最小时，求与平面
7、所成的角的大小.20.（本题满分（本题满分 16 分，第分，第 1 小题满分小题满分 5 分，第分，第 2 小题满分小题满分 5 分，第分，第 3 小题满分小题满分 6 分）分）已知共张卡牌由 张红卡、张其它颜色卡组成，混合后分 轮发出，每轮随机发出 张卡.（1）求事件“第 轮无红色卡牌”的概率.（2）求事件“第 轮有至少 张红色卡牌”的概率.（3）求事件“每轮均有红色卡牌”的概率.21.（本题满分（本题满分 18 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 7 分，第分，第 3 小题满分小题满分 7 分）分）如图，以长方体的顶点为坐标原点，是的中点，是的中点.过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，已知.（1）分别写出点、点和的坐标.（2）求到平面的距离.（3）若点是棱上一个动点，是否存在点使得为一个等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由.
