1、Hydrodynamic Instability 通常把未受扰动前系统的状态称为平衡态(大气中平衡态多指按一定方式分布的基本流动)。扰动使运动离开平衡位置后仍回到它原有的平衡位置，就说平衡态是稳定的；反之，若运动趋向于达到一个新的位置，平衡态就是不稳定的。大气中许多充分发展的有限振幅波动往往是小振幅波不稳定发展的结果，看成是基本状态(层结、基本气流等)对于小扰动的不稳定性。小扰动随时间增强，称基本状态是不稳定的，有时也说波是不稳定的。流体运动稳定性研究的方法有正交模方法(normal mode approach)和整体方法(global approach)，后者包括能量法和Liapunov直接
2、方法。以下先用气块法求解惯性稳定度和层结稳定度的判据。1.Inertial stability 假定大气是正压的，背景场位势高度满足地转平衡关系：yfug1DtDyffvDtDu)(uufDtDvg运动方程则为：（8.1）（8.2）设初始时刻在y=y0处有一随基本流移动的气块。假定气块在与基本气流垂直的方向上的位移为y，则气块的速度通过积分(8.1)得到：(8.3)相应在y0+y的基本流场风速为 (8.4)yfyuyyug)()(00yyuyuyyuggg)()(00yyuffDtDvg)(代入(8.2)式可得于是有 (8.5)其中定义了绝对动量(absolute momentum)：(8.5
3、)式的解取决于M/y的符号，所以yyMfyyuffDtyDDtDvg)(22gufyMunstableneutralstableyMf000我们更熟悉的写法是：(8.6)因为fug/y就是基本流的绝对涡度。观测表明，天气尺度的绝对涡度几乎总为正，所以大尺度运动一般来说是惯性稳定的；惯性不稳定一般出现在急流切变区域或低纬区域。负的绝对涡度在任意大范围内的出现将立刻引起惯性不稳定运动，它会使流体发生侧向混合，减小切变直到绝对涡度变正为止。unstableneutralstableyufg00002.STATIC STABILITY 由于 如果0(即ci0)。因为|20在域内处处成立，只有当d2/d
4、y2在LyL内改变符号时，(8.16)式才能满足不稳定波的(必要)条件。即郭晓岚(H.L.Kuo)定理：(8.16)somewheredyud0/22(8.17)(8.12)将*乘以(8.12)，再积分，由于0)/(22222cudyudkdyd222|)*(*dyddyddyddyd便有LLLLdycuyucudykdyd2222222|)/*)()|(|把实部和虚部分开，得0|/2222LLidycuyuc上式因左边恒为正，于是有LLrLLdycuyucudykdyd2222222|)/)()|(|0|)/)(2222LLrdycuyucu即0|)/(2222LLdycuyuuFjorto
5、ft定理(正压不稳定第二必要条件)：0|)(222LLdyudyud正压不稳定的必要条件就是在域内某处平均气流绝对涡度的梯度为零。下图是非洲东风急流区的绝对涡度廓线，阴影区为涡度梯度负值区，它满足正压不稳定必要条件(8.17)式。正压不稳定性不仅由基本气流的特性水平切变所确定，而且扰动必须具有倾斜的空间结构，以致扰动速度分量之间存在一定的相关性，即基本气流与扰动的适当耦合才能决定波动的稳定性。如急流北侧的曳式波或急流南侧的导式波。下面将证明这一结论将(8.10)分为实部和虚部，得 0)()(0)()(222222222222iarriiirraiiirrrykdydckdydcuykdydck
6、dydcu上两式分别乘以的虚部和实部，然后相减，得：将上式在通道内积分，得：0)|(|)()()(222kdyddyddyddydcdyddyddydcuiirriirrir)()|(|)()(222dyddyddydkdydcdyuddyddyddyddydcudydiirriirriirrirLLLLriiridykdyddydyddyddyudc)|(|/)(222可以证得(参见贺海晏，1982，气象学报，40(4)：409-415)：LLLLidyvudyvudyudkc)(212/22分母代表一个纬向波长上的平均波动动能。不稳定波的增长率与其本身动能成反比，增长率的符号由分子(平均动
7、能和扰动动能的转换项)决定。绝热无摩擦正压大气中，扰动的发展所需的能量只能来自于基本气流的动能转换。虽然正压不稳定对非洲波提供了一个满意的发生机制，也可能在赤道太平洋地区也起作用，但必须注意到，只有在平均纬向流切变保持不稳定时，波动才能从平均流中汲取能量使正压不稳定扰动得以持续。观测表明赤道扰动经常出现在没有强的侧向切变的气流中，所以在热带洋面上正压不稳定似乎不是波持续的主要能源。正压不稳定性并不是只出现在热带大气中，在正压涡度方程中科氏参数只是以的形式出现的，所以正压流在热带地区并没有特殊的意义。正压不稳定也可以出现在中纬的急流区，然而，中纬地区天气扰动起源与发展的更重要的机制是斜压不稳定。
8、Baroclinic Instability:Cyclogenesis 大尺度天气扰动的发展常称作cyclogenesis。这一过程可看成是迭加在不稳定纬向流场的微扰动的增幅。在增幅过程中小扰动从基流中汲取势能和(或)动能。讨论斜压不稳定问题时，首先要给出大气的垂直结构。处理一般情形下的斜压不稳定问题在数学上比较困难，本节将采用两层模式来讨论。pffVtggg0)(0)()(sgpVpt（8.18）（8.19）In middle latitudes baroclinic instability is the most important cyclogenetic process.In baro
9、clinic instability it turns out,as we shall show later,that the potential energy of the basic state flow is converted to potential and kinetic energy of the perturbation.Thermal advection processes are essential to the development of synoptic systems.The barotropic and modified barotropic models do
10、not allow temperature advection;therefore they cannot forecast the development of new systems.In fact barotropic models are really merely extrapolation formulas which state that the vertical vorticity distribution at any instant is advected isobarically by the wind field.The fact that barotropic pro
11、gnoses are quite effective in predicting the evolution of midtropospheric flow for periods of up to two or three days indicates that in the short range,barotropic vorticity advection is the primary mechanism governing the flow.This fact simply reflects the quasi-horizontal and quasi-nondivergent cha
12、racter of midlatitude synoptic scale flows.However,mere advection of the initial circulation field is clearly not satisfactory if we wish to produce forecasts which are consistently reliable.It is necessary,in addition,to predict the development of new systems.To include thermal advection processes
13、which are essential for baroclinic development we must use a model which involves more than one data level in the atmosphere.We must also explicitly use the thermodynamic energy equation.More than a single data level is required because to compute temperature advection we must know the thickness,whi
14、ch in turn requires measurement of the difference in geopotential between two levels in the vertical.两层模式中把大气分成由编号为0,2,和4的面隔开的两层，如下图所示。将涡度方程(8.18)写在面1、面3两个中间层上，但要先估计散度项/p在每一面上的值。将有限差分(finite difference)近似用与垂直导数项可得：p为02和24面之间的气压差，下标表示在(04)某一面上。pp021)(pp243)(1、3面上的涡度方程分别为 (8.20)(8.21)为简单起见，已假定4=0，这对于水
15、平地表是近似成立的。2012112)()(pffkt2032332)()(pffkt再将热力学能量方程(8.19)写在面2上，用以下差分形式估算/p：能量方程变成 (8.22)(8.22)右边第一项是500hPa风场对250-750hPa厚度场的平流。然而，在此模式中，500hPa的流函数2不是预报值。pp132)(2031231)()()(fpkt所以2必须由250和750hPa之间的线性内插而得到：(8.23)各变量的排列如图9.1所示。假定流函数1和3由只依赖于y的基本部分和随 x和t变化的扰动部分组成，即)(21312),(111txyU),(333txyU),(22tx(8.24)在
16、面1和面3上的纬向风为U1和U3，于是扰动场只与经向和垂直速度场有关。把(8.24)代入(8.20)(8.22)再线性化，便得扰动方程组：(8.25)(8.26)(8.27)这里使用了-平面近似，V2由1和3线性内插得到。2012121)(pfxxxUt2032323)(pfxxxUt2031313131)(2)(2(fpxUUxUUt令 ,(8.28)代入(8.25)(8.27)中得到关于振幅A，B和C的线性代数方程组：(8.29)(8.30)(8.31)(1ctxikAe)(3ctxikBe)(2ctxikCe0)(021CpfAkUcik0)(023CpfBkUcik0)()(013Cf
17、pBUcikAUcik在系数行列式为零时，才有非平凡解(nontrivial solutions)。因此，相速c满足可解出c的二次方程：(8.32)推导中已经取 ，长度尺度-1称作变形半径(radius of deformation)。0/)()(/)(0/0)(013023021fpUcikUcikpfkUcikpfkUcikckkUUkckk)2)()(2)2(224312222240)()(21232222312314UUkkUUUUk)/(2202pf或从(8.29)(8.31)消去A、B或C任意两个也可得到(8.32)。(8.32)关于相速的解为 (8.33)其中 Um和UT分别为垂
18、直平均纬向风和间隔2p的背景热成风，即 2/122222)2()(kkkUcm)2()2()2(22222222442kkUkkT231UUUm231UUUT我们已经证明了只有相速度满足(8.33)时，(8.28)是(8.25)(8.27)的一个解，而方程(8.33)的形式非常复杂。如果注意到当0时，相速度存在虚部，扰动将指数增长。在详细讨论(8.33)式的一般性质之前，先考虑两个特例。一是基流为正压，UT=0，背景流场没有热成风，此时相速度为：(8.34)2/kUcm)2(22kUcm(8.35)它们都是方程(8.32)的解。正压基流的两层模式自由扰动有对应的实数值。相速c1就是一维正压Ro
19、ssby波的频散关系。把(8.34)代入(8.29)(8.31)可求出A=B，C=0，所以扰动是正压的。另一方面，(8.35)可以解释为内斜压Rossby波的相速度。注意，c2是具有自由面的均值海洋中类似于Rossby波速的频散关系。但在两层模式中分母中用22代替了海洋中的f02/gH。两种情形中都有垂直运动伴随着Rossby波，所以静力稳定性对波速有影响。可以证明，把c2代入(8.29)(8.31)可看出1和3场的位相相差180，所以扰动是斜压的，虽然基态是正压的。同时，2场超前250 hPa位势场90(于是最大上升运动出现在250 hPa槽的西侧)。垂直运动这种型可以这样理解，因c2UmU30，U3crU1。对长波和弱切变基流有cr0)一个发展的斜压波，在两层模式里位势场和二级环流散度场之间的位相关系。由于各层之间使用了线性内插，所以槽、脊线都是随高度向西倾斜的直线。作业P295，1-9；13
