1、4.3 三维周期场中电子运动的近自由电子近似三维周期场中电子运动的近自由电子近似 1.模型和微扰计算模型和微扰计算 电子受到粒子周期性势场的作用，势场的起伏较小电子受到粒子周期性势场的作用，势场的起伏较小,零级近似，用势场的平均值代替离子产生的势场零级近似，用势场的平均值代替离子产生的势场)(rVV周期性势场起伏量周期性势场起伏量VVrV)(微扰来处理微扰来处理电子的波动方程电子的波动方程)()()(222rErrVm晶格周期性势场函数晶格周期性势场函数)()(rVRrVm势场的平均值势场的平均值01/29 零级近似下电子的能量和波函数零级近似下电子的能量和波函数 空格子中电子的能量和波函数空
2、格子中电子的能量和波函数零级哈密顿量零级哈密顿量VmH2202薛定谔方程薛定谔方程)()()(2000022rErVrm电子的波函数电子的波函数能量本征值能量本征值01()ik rkreV2202kkEVm金属金属 个原胞构成，体积个原胞构成，体积123NN N N0VNv 周期性边界条件周期性边界条件满足正交归一化条件满足正交归一化条件333222111NblNblNblk电子的波矢电子的波矢电子的零级本征波函数电子的零级本征波函数01()ik rkreV000*Lkkkkdr 微扰时电子的能量和波函数微扰时电子的能量和波函数 近自由电子近似模型近自由电子近似模型微扰的情形微扰的情形0HHH
3、VmH2202VVrVH)(微扰后电子的能量微扰后电子的能量0(1)(2).kkkkEEEE电子的波函数电子的波函数0(1)()()().kkkrrr一级能量修正一级能量修正电子的能量电子的能量0(1)(2).kkkkEEEE(1)|kEk HkkVrVk|)(|(1)0kE二级能量修正二级能量修正2(2)00|kkkkkHkEEEkkkrVkkVrVkkHk|)(|)(|VrkkirdrVeVkrVk0)()(1|)(|05/29(1)000|kkkkkkHkEE一级修正一级修正电子的波函数电子的波函数0(1)()()().kkkrrr矩阵元矩阵元 的计算的计算krVkkHk|)(|Vrkk
4、irdrVeVkrVk0)()(1|)(|引入积分变量引入积分变量mRrmRkkivkkimeNdVevkrVk)(0)(01)(1|)(|0应用应用333222111NblNblNblk333222111NblNblNblk332211amamamRm)()(102102102)(333333222222111111NmmNlliNmmNlliNmmNllimRkkieeeem333322221111,nNllnNllnNllNNNNemRkkim321)(0)(mRkkime当上式中当上式中321,nnn 为整数为整数则有则有任意一项不满足任意一项不满足333322221111,nNlln
5、NllnNll则有则有1 12 23 3nkkn bn bn bGnvGiVdVevkrVkn000)(1|)(|mRkkivkkimeNdVevkrVk)(0)(01)(1|)(|0333322221111bNllbNllbNllkkNNNNemRkkim321)(波函数一级修正波函数一级修正(1)000|kkkkkkHkEE011()niG rik rik rkreeeVV(1)001()nniG rik rnknkk GVeeEEV10/29电子的波函数电子的波函数0(1)()()().kkkrrr001()1()nniG rik rnknkk GVreeEEV)(2332211mnmn
6、mnGRnm因为因为mRrr波函数波函数00nniG rnnkk GVeEE 不变不变波函数波函数001()1()nniG rik rnknkk GVreeEEV波函数可以写成自由电子波函数和晶格周期性函数乘积波函数可以写成自由电子波函数和晶格周期性函数乘积1()()ik rkkreurV00()1()nniG rnknkk GVureEE 2(2)00nnkkkk GVEEE微扰后电子的能量微扰后电子的能量0(1)(2).kkkkEEEE0)1(kE2202kkEVm222002nnkkkk GVkEVmEE 一级修正波函数和二级能量修正趋于无穷大一级修正波函数和二级能量修正趋于无穷大222
7、002nnkkkk GVkEVmEE001()1()nniG rik rnknkk GVreeEEV22nGkk0)21(nnGkG当当 和和 的零级能量相等的零级能量相等 knGkknGkk0)21(nnGkG 三维晶格，波矢三维晶格，波矢在倒格矢垂直平分面上在倒格矢垂直平分面上以及附近的值，非简并以及附近的值，非简并微扰不再适用微扰不再适用简单立方晶格中的倒格子空间简单立方晶格中的倒格子空间A和和A两点相差倒格矢两点相差倒格矢1bGn 两点零级能量相同两点零级能量相同4321,CCCC 四点相差一个倒格矢，四点相差一个倒格矢，零级能量相同零级能量相同 三维情形中，简并三维情形中，简并态的数
8、目可能多于两个态的数目可能多于两个nGkk15/29 2.布里渊区和能带布里渊区和能带 在在k空间把原点空间把原点和所有倒格矢中点的和所有倒格矢中点的垂直平分面画出，垂直平分面画出，k空间分割为许多区域空间分割为许多区域简单立方晶格简单立方晶格k空间的二维示意图空间的二维示意图 每个区域内每个区域内Ek是连续变化的，而在是连续变化的，而在这些区域的边界上能这些区域的边界上能量量E(k)发生突变，这发生突变，这些区域称为些区域称为布里渊区布里渊区 属于同一个布里渊区的能级构成一个能带属于同一个布里渊区的能级构成一个能带 每一个布里渊区的体积相同，为倒格子原胞的体积每一个布里渊区的体积相同，为倒格
9、子原胞的体积 每个能带的量子态数目：每个能带的量子态数目：2N（计入自旋）计入自旋）三维晶格中，不同方向上能量断开的取值不同，使三维晶格中，不同方向上能量断开的取值不同，使 得不同的能带发生重叠得不同的能带发生重叠 不同的布里渊区对应不同的能带不同的布里渊区对应不同的能带 第一布里渊区在第一布里渊区在k方向上能量最高点方向上能量最高点A，k方向上方向上 能量最高点能量最高点C二维正方格子二维正方格子 C点的能量比第二布里渊区点的能量比第二布里渊区B点高点高 第一布里渊区和第二布里渊区第一布里渊区和第二布里渊区 能带的重叠能带的重叠用简约波矢用简约波矢 表示能量和波函数表示能量和波函数kmkkG
10、)(kEn)(rkn能量和波函数能量和波函数 必须同时指明它们属于哪一个能带必须同时指明它们属于哪一个能带22200()2nnnkkk GVkE kVmEE001()1()mnniGriG rik rnnknkk GVreeeEEV20/29 3.几种晶格的布里渊区几种晶格的布里渊区 1)简单立方格子简单立方格子 第一布里渊区为原点和第一布里渊区为原点和6个近邻格点的垂直平分面个近邻格点的垂直平分面 围成的立方体围成的立方体kaaj aai aa321,kabjabiab2,2,2321倒格子基矢倒格子基矢正格子基矢正格子基矢 简单立方格子简单立方格子 第一布里渊区第一布里渊区 2)体心立方格
11、子体心立方格子 正格子基矢正格子基矢123(),(),()222aaaaijkaijkaijk)(21kjab)(22kiab)(23jiab 倒格子基矢倒格子基矢a4 边长边长 的面心立方格子的面心立方格子 第一布里渊区为原点和第一布里渊区为原点和12个近邻格点连线的垂直个近邻格点连线的垂直 平分面围成的正十二面体平分面围成的正十二面体 第一布里渊区第一布里渊区原点和原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体体心立方格子第一布里渊区各点的标记体心立方格子第一布里渊区各点的标记25/293)面心立方格子面心立方格子123(),(),()222
12、aaaajkakiaij)(21kjiab)(22kjiab)(23kjiab 正格子基矢正格子基矢 倒格子基矢倒格子基矢a4 边长边长 的体心立方格子的体心立方格子 第一布里渊区为原点和第一布里渊区为原点和8个近个近邻格点连线的垂直平分面围成的正邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体，和沿立方轴的八面体，和沿立方轴的6个次近邻个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角，形成的的六个角，形成的14面体面体 第一布里渊区第一布里渊区 八个面是正六边形八个面是正六边形 六个面是正四边形六个面是正四边形 第一布里渊区为十第一布里渊区为十四面体四面体 布里渊区中某些对称布里渊区中某些对称点和若干对称轴上的点能点和若干对称轴上的点能量较为容易计算，这些点量较为容易计算，这些点的标记符号的标记符号布里渊区原点布里渊区原点000六方面的中心六方面的中心(,)Laaa 四方面的中心四方面的中心2(,0,0)Xa 计为计为 轴轴 方向方向X)100(计为计为 轴轴 方向方向L)111(将零级近似下的波矢将零级近似下的波矢k移入简约布里渊区，能量移入简约布里渊区，能量变化的图像，图中定性画变化的图像，图中定性画出了沿出了沿 轴的结果轴的结果29/29
