1、3.7 3.7 函数的极值函数的极值教材教材 人教版人教版 全日制普通高级中学教科书全日制普通高级中学教科书数学第三册（选修数学第三册（选修II）本节课的地位和作用本节课的地位和作用 本节课是导数应用中的第二节（第一节是本节课是导数应用中的第二节（第一节是利用导数知识判断函数的单调性），学生利用导数知识判断函数的单调性），学生们已经了解了导数的一些用途，思想中已们已经了解了导数的一些用途，思想中已有了一点有了一点运用导数的基本思想去分析和解运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的意识，决实际问题的意识，本节课将继续加强这本节课将继续加强这方面的意识和能力的培养方面的意识和能力的培养利用导数知利
2、用导数知识求可导函数的极值识求可导函数的极值.其后还有利用导数求其后还有利用导数求函数的最值问题，因此本节课还要起到承函数的最值问题，因此本节课还要起到承上启下的作用上启下的作用.1.1.教学目标教学目标（1 1）知识技能目标：）知识技能目标：v掌握掌握函数极值的概念，会从几何图形直观理解函数的极值与函数极值的概念，会从几何图形直观理解函数的极值与导数的关系，增强学生的数形结合意识导数的关系，增强学生的数形结合意识,提高思维水平提高思维水平；v掌握求可导函数的极值的一般方法；掌握求可导函数的极值的一般方法；v了解了解可可导导函函数数极值极值点点x0与与f(x0)=0 0的的逻辑关逻辑关系系；v
3、提高学生运用导数的基本思想去分析和解决问题的能力提高学生运用导数的基本思想去分析和解决问题的能力.（2 2）过程与方法目标：）过程与方法目标：v培养学生观察培养学生观察 分析分析 探究探究 归纳得出数学概念和规律归纳得出数学概念和规律的学习能力的学习能力.(3(3）情感与态度目标：）情感与态度目标：v培养学生层层深入、一丝不苟研究事物的科学精神；培养学生层层深入、一丝不苟研究事物的科学精神；v体会数学中的局部与整体的辨证关系体会数学中的局部与整体的辨证关系.2 2教学重点和难点教学重点和难点v重点：掌握求重点：掌握求可导可导函数的极值的一函数的极值的一般方法般方法.v难点：难点：x0为函数极值
4、点与为函数极值点与f (x0)0 0 的逻辑关系的逻辑关系.3 3教学方法与教学手段教学方法与教学手段 v师生互动探究式教学，遵循师生互动探究式教学，遵循“教师为主导、学生为教师为主导、学生为主体主体”的原则，结合高中学生的求知心理和已有的的原则，结合高中学生的求知心理和已有的认知水平开展教学由于学生对极限和导数的知识认知水平开展教学由于学生对极限和导数的知识学习还谈不上深入细致（大学里还将继续学习），学习还谈不上深入细致（大学里还将继续学习），因此本节课的教学中更重视的因此本节课的教学中更重视的是从感性认识到理性是从感性认识到理性认识的探索过程，而略轻严格的理论证明认识的探索过程，而略轻严格
5、的理论证明过程，教过程，教师的主导作用和学生的主体作用必须得到的充分发师的主导作用和学生的主体作用必须得到的充分发挥挥.v利用多媒体辅助教学利用多媒体辅助教学.电脑演示动画图形，直观形电脑演示动画图形，直观形 象，便于学生观察象，便于学生观察.幻灯片打出重要结论，清楚明幻灯片打出重要结论，清楚明 了，节约时间，提高课堂效率了，节约时间，提高课堂效率.4.4.教学过程教学过程请观察请观察:函数极值的定义函数极值的定义 一般地，设函数一般地，设函数f(x)在点在点x0附近有定义附近有定义，v如果对如果对x0附近的所有的点附近的所有的点,都都有有f(x)f(x0)，我们就，我们就说说f(x0)是函数
6、是函数f(x)的一个极大值的一个极大值,记作记作y极大值极大值=f(x0)；v如果如果对对x0附近的所有的点附近的所有的点,都有都有f(x)f(x0)，我们就，我们就说说f(x0)是函数是函数f(x)的一个极小值，记作的一个极小值，记作y极小值极小值=f(x0).v极大值与极小值同称为极值极大值与极小值同称为极值.v强调强调：极值是某一点极值是某一点附近附近的小区间而言的，是函数的小区间而言的，是函数的局部性质，在整个定义区间内可能有多个极大值的局部性质，在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；和极小值；极大值与极小值没有必然关系，极大值极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小可能
7、比极小值还小.判断判断f(x0)是极大值或是极小值的方法是极大值或是极小值的方法(1)(1)如果如果在在x0附近的左侧附近的左侧f(x0)0,0,右侧右侧f(x0)0,0,那那么么,f(x0)是极大值；是极大值；(左正右负为极大左正右负为极大)(2)(2)如果如果在在x0附近的左侧附近的左侧f(x0)0,0,右侧右侧f(x0)0,0,那那么么,f(x0)是极小值是极小值.(右正左负为极小右正左负为极小)再观察再观察v强调强调:要想知道要想知道 x0是极大值点还是极小值点就是极大值点还是极小值点就必须判断必须判断 f(x0)=0=0左右侧导数的符号左右侧导数的符号.的的极极值值求求函函44313
8、xxf(x)数解解:f(x)=x2-4,由由f(x)=0解得解得 x1=2,=2,x2=-2.=-2.当当x变化时变化时,f(x)、f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：x f(x)f(x)当当x=2=2时时,y极小值极小值=28/328/3；当当x=-2-2时时,y极大值极大值=-=-4/34/3.应用应用1 1(-,-2)(-,-2)-2-2(-2,2)(-2,2)2 2(2,+)(2,+)+0 00 0-+极大值极大值28/3极小值极小值-4/3归纳归纳 求可导函数的极值的步骤求可导函数的极值的步骤:求导数求导数 f(x)；求方程求方程 f(x)=0=0的根；的根；检查检查 f(x
9、)在方程根左右的值的符号，如果在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么左正右负，那么f(x)在这个根处取极大值；如在这个根处取极大值；如果左负右正，那么果左负右正，那么f(x)在这个根处取极小值在这个根处取极小值.练一练练一练 P P130130(1)(1)y极小值极小值=f(7/2)=-25/4(7/2)=-25/4；(2)(2)y极大值极大值=f(-5/4)=-25/8(-5/4)=-25/8；(3)(3)y极大值极大值=f(-3)=54,(-3)=54,y极小值极小值=f(3)=-54(3)=-54；(4)(4)y极大值极大值=f(1)=2,(1)=2,y极小值极小值=f(-1)=-2
10、.(-1)=-2.思考：思考：(1)(2)(1)(2)问中的极值是该函数的最问中的极值是该函数的最值吗？值吗？v探索探索:x=0=0是否为函数是否为函数f(x)=x3 3的极值点的极值点?x yOf(x)x3v若寻找若寻找函数函数极值点极值点,可否只可否只由由f(x)=0 0求得即可求得即可?f(x)=3=3x2 2 当当f(x)=0=0时，时，x=0=0，而，而x=0=0不是不是该函该函数的极值点数的极值点.f(x0)=0 =0 x0 是可导函数是可导函数f(x)的极值点的极值点 应用应用2 2 求求 y=（x2 2-1)-1)3 3+1+1 的极值的极值解解:y =6 6x(x2 2-1)
11、-1)2 2=6=6x(x-1)-1)2 2(x+1)+1)2 2 由由y =0=0解得解得 x1 1=-1,=-1,x2 2=0,=0,x3 3=1.=1.当当x 变化时变化时,y 的符号如图的符号如图:当当x=0=0时时,y极小值极小值=0 0.x0左右侧导数异号左右侧导数异号 x0 是函数是函数f(x)的极值点的极值点 f(x0)=0=0 xy y-0 0-0 0+0 0+无极值无极值极小值极小值0无极值无极值(-,-1)(-,-1)-1-10 0(0,1)(0,1)1 1(1,+)(1,+)(-1,0)(-1,0)小结小结 可导函数的极值与导数的关系可导函数的极值与导数的关系v函数的极
12、值是就函数在某一点函数的极值是就函数在某一点附近附近的小区的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大极小值大.v点是极值点的点是极值点的充分不必要条件充分不必要条件是在这点两是在这点两侧的导数异号侧的导数异号.点是极值点的点是极值点的必要不充分必要不充分条件条件是在这点的导数为是在这点的导数为0.0.研究研究 求函数求函数f(x)=的极值的极值.v导函数导函数f(x0)不存在的点也可能是极值点不存在的点也可能是极值点 .322)2(xx 解解:f(x)的定义域为的定义域为R，且且
13、 f(x)=可知可知x=1=1时时f(x)=0;=0;而而x=0=0和和x=2=2时时,f(x)不存在不存在.3)2(3)1(4xxx由图可知函数由图可知函数f(x)有极小值有极小值f(0)=0,=0,f(2)=0,=0,有极大值有极大值f(1)=1.=1.作业作业 P P130 130 习题习题3.73.7 v选作选作 已知已知f(x)=a=ax 3 3+b+bx 2 2+a+ax(a0)(a0)在在x=1=1处取得极值处取得极值,且且f(1)(1)=-1.(1)1.(1)求求a a、b b、c c的值；的值；(2)(2)判断判断x=1=1时函数取极大值还是极小值时函数取极大值还是极小值,并
14、说明理由并说明理由.v 极极值值和和最最值值的区别与的区别与联系联系v （局部与整体）（局部与整体）小心翼翼珍藏着，和母亲在一起的美好时光。母亲身体一直不好，最后的几年光景几乎 长大后，才发现生活不像我们想象的那样的简单，我们时刻面临着不同的选择，学习、工作、家庭我们总是小心翼翼，在每一条路上，我们总是想追求最好的，努力付出过后，结局如何，只有我们自己慢慢去体会。当我们渐渐步入社会，为了生活，我们不得不努力工作，严格遵守公司的规章制度，不敢有一丝懈怠，甚至为了一份微薄的薪水，我们几乎耗尽了所有的时间和精力去做好，不是在上班，就是在去上班的路上，几乎没有自己所谓的自由时间，我想在当今社会，应该有
15、很大一部分人是这样，没有时间交际，也没有时间旅游，更没有时间去陪伴家人或许这就是所谓的生活的选择，到最后只能自己在心里安慰自己：有失有得，只是这个得真是我们自己所想要的吗？人，活着其实很累，在公司，上有可能需要讨好领导，下还需要和同事打好关系，回家需要处理好家庭的关系，交际需要维护好朋友自己的友谊，一不小心就有可能会各种质疑的话语，让我们心里、身体上背负着更重的压力。也许经常有这样的场景，喧嚣的闹市，聚会上，热闹非凡，尽情的喝着酒，各种嘈杂，殊不知在心里巴不得这聚会早点结束就好，想着明天还要早起上班，想着家里的妻儿还在幽幽的盼着，而你自己也根本就不喜欢这样的场合，偶尔还可以，时间长了，你已经不
16、知该怎样去选择。年纪越大，时间越来越少，身体越来越没以前那么能抗，而自己明白的事情却越来越迷茫，入夜时分，站在这个城市的中央，越来越觉得生活的选择已经不由的我们自己来做主，只剩下了莫名的伤感。时光在飞逝，父母容颜渐渐沧桑，望着父母佝偻的背影，心里一阵阵莫名的心酸。年轻时不努力拼搏，老了就自己受苦，这是现在年轻人经常激励自己的话，为了所谓的以后，我们牺牲了自己最美好的年华，却没有谁知道以后的样子又会是如何，也许这就是所谓的选择。我们每个人都有很多在选择，学业、事业、爱情我们都有各种各样的选择，可以说生活中我们时刻面临着选择，选择不一样，结局也会不一样，只是你的选择是否真正发自内心还是出自于生活的
17、无奈，已经无人理会。人生路需要走很久，我们总会遇到各种各样的人，各种各样的事，正如我们工作平台选择不一样，起点也会不一样，领导选择不一样，或许你的结局也会不一样，我们不能选择自己的出生，所以不要怨天尤人，更不要去指责，生活对谁都一样，选择永远在你手中，跟着心走，或许你就能找到一个真正的自己。大自然给予了我们很多美好的东西，只是我们自己却不知道去好好珍惜，只有当我们在失去后或者犯错了，我们才会去说后悔没有珍惜，希望能给一次机会重新来过，只是这样的重来真的还能重来吗？我们谁都不能去肯定，路，自己选择，自己走下去，也许有人给你使绊，也许有人会拉你一把，但终归还是需要自己去选择，自己亲自去走。人生经历
18、太多，失败了、跌倒了，可以站起来继续走，如果走错了，可以选择正确的路，但我们如果放弃了，就有可能一直停留在那，多年以后，或许你已经被遗忘。风景在路上，我们需要去寻找，才能找到真正的自己，谁都有无奈，谁都有生活的压力，只是你们的选择不一样，当你走上自己的路，或许你会觉得轻松，或许你会觉得很难，但那终归是属于自己的路，因为生活，始终在你手中。是在医院渡过，然而和母亲在一起的毎一刻都是温暖美好的。四年前，母亲还是离开了这个世界，离开了我。生命就是如此脆弱，逝去和別离，陈旧的情绪某年某月的那一刻如水泻闸。水在流，云在走，聚散终有时，不贪恋一生，有你的这一程就是幸运。那是地久天长的在我的血液中渗透，永远
19、在我的心中，在我的生命里。时光就是这么不经用，很快自己做了母亲，我才深深的知道，这样的爱，不带任何附加条件，不因万物毁灭而更改。只想守护血浓于水的旧时光，即便峥嵘岁月将容颜划伤，相信一切都是最好的安排。那时的时光无限温柔，当清水载着陈旧的往事，站在时光这头，看时光那头，一切变得分明。执笔书写，旧时光的春去秋来，欢喜也好，忧伤也好，时间窖藏，流光曼卷里所有的宠爱，疼惜，活色生香的脑海存在。回忆的老墙，偶尔依靠，黄花总开不败，所有囤积下来的风声雨声，天晴天阴，都是慈悲。时光不管走多远，不管有多老旧，含着眼泪，伴着迷茫，读了一页又一页，一直都在，轻轻一碰，就让内心温软。旧的时光被揉进了岁月的折皱里，
20、藏在心灵的沟壑，直至韶华已远，才知道走过的路不能回头，错过的已不可挽留，与岁月反复交手，沧桑中变得更加坚强。是的，折枝的命运阻挡不了。人世一生，不堪论，年华将晚易失去，听几首歌，描几次眉，便老去。无论天空怎样阴霾，总会有几缕阳光，总会有几丝暗香，温暖着身心，滋养着心灵。就让旧年花落深掩岁月，把心事写就在素笺，红尘一梦云烟过，把眉间清愁交付给流年散去的烟山寒色，当冰雪消融，自然春暖花开，拈一朵花浅笑嫣然。听这位老友，絮絮叨叨地讲述老旧的故事，试图找回曾经的踪迹，却渐渐明白了流年，懂得了时光。过去的沟沟坎坎，风风雨雨，也装饰了我的梦，也算是一段好词，一幅美卷，我愿意去追忆一些旧的时光，有清风，有流
21、云，有朝露晚霞，我确定明亮的东西始终在。静静感念，不着一言，百转千回后心灵又被唤醒，于一寸笑意中悄然绽放。唯用一枝瘦笔，剪一段旧时光，剪掉喧嚣尘世的纷纷扰扰，剪掉终日的忙忙碌碌。情也好，事也罢，细品红尘，文字相随，把寻常的日子，过得如春光般明媚。光阴珍贵，指尖徘徊的时光唯有珍惜，朝圣的路上做一个谦卑的信徒，听雨落，嗅花香，心上植花田，蝴蝶自会来，心深处自有广阔的天地。旧时光难忘，好的坏的一一纳藏，不辜负每一寸光阴，自会花香满径，盈暗香满袖。每个人都有自己的精神家园，而对于记忆中的几户人家，我更有着刻骨铭心的情感。上个世纪六七十年代，在陕西的某城市的郊区一个大院子里住了四家人。一家人姓赵四十岁左
22、右，是一个食堂的采购员；姓李的一家人是个老离休干部，也是一个军人。曾经在解放战争时期受过伤，当时他的腿上留有敌人手榴弹炸的弹片在里头呢；东面的一家姓石，是一个搞电子的工程师；西面一家姓吴，老吴是一个中学教师。老李一般在家休息，负伤的地方经常疼痛难忍。家里有老婆姓元，大儿子当时工作了，还有两个孩子在读书。老石呢，由于是个工程师专门修理无线电的，厂里人的电器坏了一般都让老石修理，所以一下班吃完饭他就忙着给别人修理电器。老赵由于是个采购员，一天就是给食堂买粮食和各种蔬菜。老吴是个教师一般都是上课，但是还有两个寒暑假期。老吴的家里人口最多，五个儿子一个女儿，加上老两口，一共八口人。物质缺乏的年代，大家
23、过得都是差不多的日子，这四家就属老干部老李条件最好，一般买东西都是要用粮票、布票、肉票。要是没有这些票证的话，就算你有钱出去也会饿死的。老干部的待遇好一点，经常用不了那些票证，于是老李就常常把用不完的票证分给了这些邻居。那个年代的钱特别的顶用，一斤大米一毛三分八；一斤鱼两角钱；一斤牛肉熟的才五角钱；一个大肉包子五分钱；一只烧鸡两元钱；小米一斤一角钱；一个卤猪蹄子两毛钱一个；一盒火柴两分钱；一斤面粉两毛五。全国啥地方都是统一的价格，住的房子都是单位给分的，房子也都不交水电费的。一点也不像现在一会一个价钱。那个时候老干部一般一个月一百多元钱，一般的干部工人多数就是一个月五六十元到七八十元不等。这几
24、家人特别的和睦，就像一家人一样，谁家有事大家都会过去帮忙。一九七六年唐山大地震的时候，老吴在唐山的老家也遭受了灾害，屋子倒了，人也砸伤了，老吴赶紧请假和他爱人一起回去处理老家的事情去了。老李对老吴说，“你放心的回老家吧！你的孩子我帮你看。”当时老吴的老大才十四岁，还有一个刚刚才上学的七岁的小女儿。老吴走后每一天孩子起床都是老李叫他们起床，洗脸，吃饭上学，都是老李管的。孩子们放学就在老李家里学习，写作业，吃饭。每到星期天老石钓来鱼做熟以后，就端到老李家让老吴的孩子打牙祭。老赵的孩子学习好，只要有时间就去老吴家帮助他的孩子辅导功课。就这样两个多月很快过去了，老吴两口子回来了，他们看到家里面收拾的整
25、整齐齐的。孩子们也长胖了，也爱学习了。他当面给老李鞠了一躬表示十分的感激，还给老石的孩子带了一些当地的土特产，给老赵的孩子买了几件衣服。老干部老李当时家里有一部电话机，这个电话机就成了几家人共同使用的了。那个时候打个电话一般不太容易，当时电话机是个除了单位有一部以外，根本很少有个人电话的。老石在休息的时候喜欢出去钓鱼，他这个人喜欢钓鱼，就是不太喜欢吃鱼。钓的鱼一部分留下给自家孩子吃一些，大部分的鱼都分给邻居吃了。老李特别喜欢吃鱼，老石就经常把钓的鱼给他吃。老赵是个食堂的采购员，经常可以买到别人还没有吃到的反季节蔬菜，大家经常让他给代买一点便宜的蔬菜，或者便宜的鸡蛋，或者便宜的肉和其他调味品。当
26、时一般的人家里都没有电视机，最多有个半导体收音机就是很好的了。大多数人下班吃完饭没有事就是喜欢串串门，一起都聊的是过去的事情，以及现在的工作和家常事。串门是特别普遍的现象。现在这个年代在一起住了好久也不知道邻居是干啥的，或者姓啥叫啥，哪里的人都不知道。就是住在隔壁的也就是看见了打个招呼点个头，各自开门关门就走开了，与那个时候的邻里关系没法相比。老吴是个老师，也是一个戏迷，爱听京剧，也是一个爱下象棋的。老吴一有空就和老李下棋玩，于是他们有了深厚的情谊。他们几家人的孩子相处得也是特别的好，一般放了学就在一起学习玩耍。在那个时候，人们心里都是充满着英雄主义和共产主义的理想，就是跟着毛主席共产党好好的
27、为人民服务。小孩玩的游戏，多是是刀枪、打仗的游戏，还有电影里看见的剧情。他们拿着玩具枪，还有木头做的宝剑，或者花五角钱可以买一根长杆木头大刀。他们拿着这些玩具就分出两个队伍。你这个队伍藏起来，他们埋伏起来之前还要伪装好，他们一般都是藏在山坡底下或者是草多的地方。有的头上还要带上细树枝编的帽子或者是柳树条编的头箍，他们就趴在草丛里一般很难被另外一群小伙伴发现的。那个队伍就到处找他们，这个游戏叫做抓特务，或者叫做打伏击抓俘虏。他们一有时间，或者一放寒暑假，一群孩子就喜欢玩这个游戏，特别好玩。那一两个月就是孩子们的天下了，非常热闹。除此之外就是滚铁环、碰膝盖游戏。女孩子喜欢跳皮筋、跳格子、跳绳、打沙
28、包、唱歌，也喜欢玩抓特务游戏。到了七十年代初，老李家里就买了国产第一批黑白电视机，一到晚上，他们那个院子里几乎所有的人下了班，吃完饭，就到老李家里看电视去了。当时只可以收看两个频道，一个是陕西电视台，一个是中央电视台。一般演的除了新闻就是纪录片，再就是运动会的直播，或者是实况录像。当时一般人根本没有见过电视剧，就是那一台十六英寸的电视机，一直见证了整个的七十年代。老吴也有的时候去老李家里看京戏，他一边看着京戏一边嘴里还不停地哼哼着京戏。一天嘴里哼着京戏特别愉悦和快乐，就是这样又过了几年。他们的孩子都出去有的工作了，有的到了外地上学去了。一年就是过年放假回来一个月，或者暑假才能回来看看。有的时候
29、家里有了什么急事，他们才会请假来几天看看。到了改革开放的八十年代，老李的儿子在外地混得很好，有了一定的实力，就把一家人都接走了，到了廊坊买了大房子。刚开始老李住在大房子里还可以，可是过了没有多久就不喜欢说话了，一天也没有精神一样，总感觉生活没有一点意思。老石呢，也是退了休一天没有人说话了，就整天出去钓鱼，钓鱼自己又很少吃。但是新搬来的年轻人他就是看不惯，基本很少和这些年轻人来往。那些年轻人一点不安静，休息时不是喝酒划拳，就是唱卡拉OK，一折腾就是半夜。老石也不好说他们什么。有一年他的孩子也把老石接到了外地，呆了半年多，老石实在难受就回来了。老赵的两个孩子都在上海打工也不回来了，他就在上海给他的
30、孩子带孩子了。二零零五年，他们因为特别想当年的老邻居，他们的孩子就帮他们联系这些当年的老邻居，没有几个月他们联系好了，在当年的国庆节，他们终于在故地汉中见面了。一见面感觉彼此还是和当年一样的亲切，他们这几家人好好在西安玩了一周，然后就各自回家了，临走的时候他们还照了一张大合影，当做彼此的留念。又过了一年，老李去世了；老吴突然得了心脏病；老赵得了糖尿病。这两位老邻居知道他们自己的情况后，就在西安的郊区买了一块地，要求孩子们在他们死后就都埋在这里。二零一零年，老吴也走了，儿子小吴就把老吴的骨灰埋在了那里。现在老石、老赵还健在，他们常说，“我们以后也要团聚在那里，永远不会再分离！”这句话深深震撼着我，也许这就是我们现在这个时代所缺失的宝贵财富吧！
