1、2020 届高三六校联盟第三次联考试题届高三六校联盟第三次联考试题 文科数学文科数学 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分. 1已知集合 A1，2，3，Bx|（x+1） （x2）0，xZ，则 AB 等于（ ） A1 B1，2 C0，1，2，3 D1，0，1，2，3 2若复数 z 满足 z（1+i）2i（i 为虚数单位） ，则|z|（ ） A1 B2 C2 D3 3已知向量 =（1，m） ， =（3，2） ，且（ + ） ，则 m（ ） A8 B6 C6 D8 4AQI 是表示空气质量的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，当
2、AQI 指数值不大 于 100 时称空气质量为“优良”如图是某地 4 月 1 日到 12 日 AQI 指数值的统计数据，图 中点 A 表示 4 月 1 日的 AQI 指数值为 201，则下列叙述不正确的是（ ） A这 12 天中有 6 天空气质量为“优良” B这 12 天中空气质量最好的是 4 月 9 日 C这 12 天的 AQI 指数值的中位数是 90 D从 4 日到 9 日，空气质量越来越好 5已知直线 11：x+（m+1）y+m0，l2：mx+2y+10，则 11l2“的一个必要不充分条件是 （ ） Am2 Bm1 Cm2 或 m1 Dm2 或 m1 6已知 a0，b0，并且1 ， 1
3、2， 1 成等差数列，则 a+9b 的最小值为（ ） A16 B9 C5 D4 7宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松 日自半，竹日自倍，松竹何日而长等如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 a， b 分别为 5，2，则输出的 n（ ） A5 B4 C3 D2 8若将函数 f（x）sin2x+cos2x 的图象向左平移 （0）个单位，所得的图象关于 y 轴 对称，则 的最小值是（ ） A 4 B3 8 C 8 D5 8 9在正四棱锥 SABCD 中，E，M，N 分别是 BC，CD，SC 的中点，动点 P 在线段 MN 上 运动时，下列四个结论，不一定成立
4、的为（ ） EPAC；EPBD；EP平面 SBD；EP平面 SAC A B C D 10已知函数 f（x）= 1 1，则 yf（x）的图象大致为（ ） A B C D 11设 F 为双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的右焦点，过 F 且斜率为 的直线 1 与双 曲线 C 的两条渐近线分别交于 A， B 两点， 且| |2| |， 则双曲线 C 的离心率为 （ ） A2 B23 3 C3或 2 D23 3 或 2 12已知求 O 的表面积为 64，A，B，C 在球面上，且线段 AB 的长为 42，记 AB 的中点 为 D，若 OD 与平面 ABC 的所成角为 60 ，则三棱锥 OA
5、BC 外接球的体积为（ ） A2563 27 B5123 27 C2566 27 D5126 27 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13曲线 f（x）= 2 在点（1，2）处的切线方程为 14在数列an中，a13，an+1an+ 1 (+1)，则通项公式 an 15如图，ABC 上，D 是 BC 上的点，且 ACCD，2AC= 3AD，AB2AD，则 sinB 等 于 16 设函数 f （x） = 1 2x 29lnx 在区间a1， a+1上单调递减， 则实数 a 的取值范围是 三、解答题： 共三、解答题： 共 70 分分.解
6、答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.第第 17 至至 21 题为必考题，题为必考题， 每位考生都必须作答每位考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17等比数列an中，已知 a12，a416 （1）求数列an的通项公式； （2）若 a3，a5分别为等差数列bn的第 3 项和第 5 项，试求数列bn的通项公式及前 n 项和 Sn 18等腰直角三角形 ABC中，BAC90 ，D 为 AC 的中点，正方形 BCC1B1与三角形 ABC 所在的平面互相垂直 （
7、1）求证：AB1平面 DBC1； （2）若 AB2，求点 D 到平面 ABC1的距离 19某校学生营养餐由 A 和 B 两家配餐公司配送学校为了解学生对这两家配餐公司的满 意度，采用问卷的形式，随机抽取了 40 名学生对两家公司分别评分根据收集的 80 份 问卷的评分，得到如图 A 公司满意度评分的频率分布直方图和如表 B 公司满意度评分的 频数分布表： 满意度 评分分组 频数 50，60） 2 60，70） 8 70，80） 14 80，90） 14 90，100 2 （）根据 A 公司的频率分布直方图，估计该公司满意度评分的中位数； （）从满意度高于 90 分的问卷中随机抽取两份，求这两份
8、问卷都是给 A 公司评分的概 率； （）请从统计角度，对 A、B 两家公司做出评价 20已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1（ab0）的右焦点为 F（1，0） ，短轴长为 2，过定点 P（0， 2）的直线 l 交椭圆 C 于不同的两点 A、B（点 B 在点 A、P 之间） （1）求椭圆 C 的方程； （2）若 = ，求实数 的取值范围； （3）若射线 BO 交椭圆 C 于点 M（O 为原点） ，求ABM 面积的最大值 21已知函数 f（x）px 2lnx （）若函数 f（x）在其定义域内为单调函数，求 p 的取值范围； （）设函数 g（x）= 2 ，若在1，e上至少存在一点 x0，使得 f（
9、x0）g（x0）成立， 求实数 p 的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第如果多做，则按所做的第- 题计分题计分. 22 选修 4-4： 坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中， 直线 l 的参数方程为 = 1 2 2 = 4 2 2 （t 为参数） ，再以原点为极点，以 x 正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有 相同的长度单位，在该极坐标系中圆 C 的方程为 4sin （1）求圆 C 的直角坐标方程； （2）设圆 C 与直线 l 将于点 A、B，若点 M 的坐标为（1，
10、4） ，求|MA|+|MB|的值 23选修 4-5：不等式选讲 若 a，b，cR+，且满足 a+b+c2 （1）求 abc 的最大值； （2）求1 + 1 + 1 的最小值 答案答案 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分. 1C 2C 3D 4C 5C 6A 7B 8C 9D 10A 11D 12D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 xy30 14 4 1 15 6 6 16根据题意，函数() = 1 2 2 9，其导数 f（x）x 9 = 29 ， （x0）
11、若 f（x）= 29 0，解可得 0x3，即 f（x）的递减区间为（0，3； 若函数 f（x）在a1，a+1上单调递减，则有 10 + 1 3， 解可得：1a2， 即 a 的取值范围为（1，2； 三、解答题： 共三、解答题： 共 70 分分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.第第 17 至至 21 题为必考题，题为必考题， 每位考生都必须作答每位考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （1）设an的公比为 q，由已知得 162q3，解得 q2
12、， an2n （2）由（1）得 a38，a532，则 b38，b532 设bn的公差为 d，则1 + 2 = 8 1+ 4 = 32，解得 1= 16 = 12 从而 bn16+12（n1）12n28， 所以数列bn的前 n 项和 Sn= (16+1228) 2 =6n222n 18 （1）证明：连结 B1C，设 B1CBC1O，连结 OD，如图， O 是 B1C 的中点，D 为 AC 的中点，ODAB1， OD面 BDC1，AB1面 BDC1， AB1平面 DBC1 （2）解：等腰直角三角形 ABC 中，BAC90 ， BAAC，BACC1，BA平面 ACC1，BAAC1， 设点 D 到平面
13、 ABC1的距离为 h， 由;1= 1;，代入可得： 1 3 23 = 1 3 1 2 2 1 22， 解得点 D 到平面 ABC1的距离为 6 3 19 （）设 A 公司调查的 40 份问卷的中位数为 x， 则有 0.015 10+0.025 10+0.03 （x70）0.5 解得：x73.3 所以，估计该公司满意度得分的中位数为 73.3 （）满意度高于 9（0 分）的问卷共有 6 份，其中 4 份评价 A 公司， 设为 a1，a2，a3，a4，2 份评价 B 公司，设为 b1，b2 从这 6 份问卷中随机取 2 份，所有可能的结果有： （a1，a2） ， （a1，a3） ， （a1，a4
14、） ， （a1，b1） ， （a1，b2） ， （a2，a3） ， （a2，a4） ， （a2，b1） ， （a2，b2） ， （a3，a4） ， （a3，b1） ， （a3，b2） ， （a4，b1） ， （a4，b2） ， （b1，b2） ，共有 15 种 其中 2 份问卷都评价 A 公司的有以下 6 种： （a1，a2） ， （a1，a3） ， （a1，a4） ， （a2，a3） ， （a2，a4） ， （a3，a4） 设两份问卷均是评价 A 公司为事件 C，则有() = 6 15 = 2 5（9 分） （）由所给两个公司的调查满意度得分知： A 公司得分的中位数低于 B 公司得分的中位
15、数，A 公司得分集中在70，80）这组， 而 B 公司得分集中在70，80）和80，90）两个组， A 公司得分的平均数数低于 B 公司得分的平均数，A 公司得分比较分散， 而 B 公司得分相对集中，即 A 公司得分的方差高于 B 公司得分的方差（13 分） 20 （1）由题得 c1，b1，所以 a21+12，则椭圆 C 的方程为： 2 2 + 2= 1； （2） 当直线 l 斜率不存在时， 其方程为 x0， 此时 A （0， 1） ， B （0， 1） ， 所以 = （0， 1） ， =（0，3） ，因为 = ，则 = 1 3； 当直线 l 斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykx+2（k0
16、） ，A（x1，y1 ） ，B（x2，y2 ） ， 则 =（x1，y12） ， =（x2，y22） ，由 = ，得2 = 1 2 2 = (1 2)，整理 得 + 1 = (1+2)2 12 2， 联立 = + 2 2 2 + 2= 1，得 x 2+2（kx+2）22，即（1+2k2）x2+8kx+60， 64k224（1+2k2）0，解得 k2 3 2， 且 x1+x2= 8 1+22，x1x2= 6 1+22，代入（1）中得 + 1 = 32 3(2+ 1 2) 2， 因为 k2 3 2，所以 2 + 1 10 3 ，解得1 3 3， 又因为 B 在 A、P 之间，所以1 3 1， 综上：
17、 1 3 ，1)； （3）由椭圆对称性可知 BOMO，SABM2SAOB，设 O 到直线 l 的距离为 d， 则 SAOB= 1 2 = 1 2 1 + 2|x2x1| 2 1+2 =|x2x1|= (1 2)2 412= 16 224 (1+22)2 = 1 (1+2 2)2 16224 = 1 1 8 (1+22) 2 223 = 1 1 8 (223)2+1628 223 = 1 1 82 23+16 223+8 1 1 8 216+8 = 2 2 ，当且仅当 2k2 3= 16 223（k 23 2）时取“”， 所以ABM 面积的最大值2AOB 面积的最大值= 2，即= 2 21 （1
18、）f（x）p+ 2 2 = 22+ 2 ， 令 h（x）px22x+p，要使 f（x）在其定义域（0，+）内是单调函数，只需 h（x）在 （0，+）内， 满足：h（x）0 或 h（x）0 恒成立， 当且仅当 p（x2+1）2x 时，h（x）0，p（x2+1）2x 时，h（x）0， 因为 x2+10，所以当且仅当 p 2 2+1时，h（x）0，p 2 2+1时，h（x）0， 因为在（0，+）内有 0 2 2+1 = 2 2+1 = 2 +1 1，当且仅当 x= 1 即 x1 时取等号， 所以当 p1 时，h（x）0，f（x）0，此时 f（x）在（0，+）单调递增， 当 p0 时，h（x）0，f（
19、x）0，此时 f（x）在（0，+）单调递减， 综上，p 的取值范围为 p1 或 p0 （2）因为 g（x）= 2 在1，e上是减函数， 所以 xe 时，g（x）min2；x1 时，g（x）max2e，即 g（x）2，2e， 当 p0 时，由（1）知 f（x）在1，e上递减，所以 f（x）maxf（1）02，不合题 意， 当 0p1 时，由 x1，ex 1 0， 由（1）知当 p1 时，f（x）在1，e上单调递增， 所以 f（x）p（x 1 ）2lnxx 1 2lnxe 1 2lnee 1 22，不合题意， 当 p1 时，（x）f（x）g（x） ，x1，e， 由题意可得，只需 x1，e时，（x）
20、max0，即可， 由（1）知 f（x）在1，e上是增函数，f（1）02， 又 g（x）在1，e上是增函数，则 （x）maxf（x）maxg（x）min，x1，e， 而 f（x）maxf（e）p（e 1 ）2lne，g（x）min2， 只需 （x）maxp（e 1 ）2lne20，解得 p 4 21， 综上 p 的取值范围是（ 4 2;1，+） 22 （1）圆 C 的方程为 4sin， 24sin， 圆 C 的直角坐标方程为 x2+y24y0 即 x2+（y2）24 （2）将直线 l 的参数方程代入圆的方程，整理，得 t232t+10， 184140，设 t1，t2为方程的两个实根， 则 t1+t232，t1t21，t1，t2均为正数， 又直线 l 过 M（1，4） ， 由 t 的几何意义得： |MA|+|MB|t1|+|t2|t1+t232 23a，b，cR+，且满足 a+b+c2 （1）abc (+ 3 )3= 8 27，当且仅当 abc 时取等号， 故 abc 的最大值 8 27； （2）1 + 1 + 1 = 1 2 (: + : + : ) = 1 2（3+ + + + + + ） 1 2（3+2+2+2）= 9 2， 当且仅当 abc 时取等号 1 + 1 + 1 的最小值 9 2
