1、 第 1 页 共 7 页 8. .2. .1 直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率教学设计教学设计 课题课题 8. .2. .1 直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率 课时课时 1 课时 授课对象授课对象 机电技术应用专业 2012 级 2 班 49 人 授课类型授课类型 新授课 教材使用教材使用 高等教育出版社数学（基础模块） （下册） 主编：李广全 李尚志 教材分析教材分析 本节课选自高等教育出版社出版的数学（基础模块） 下册第八章第二节第一课时直线的 倾斜角与斜率.直线的倾斜角和斜率，分别从几何和代数的角度刻画了直线的倾斜程度，两者的 联系桥梁是正切函数值，是解析几何的重要概念之一，也是
2、研究直线方程及其位置关系等思维的起 点.因此，本节起到“开启全章、承前启后”的作用.同时，本节课内容在机械工程等方面有着广泛 应用，对于机电技术与应用专业的学生而言，直线倾斜程度的准确判断还能帮助他们提升自己的专 业水平. 学情分析学情分析 本节课的授课对象是职二机电（2）班的“3+2”机电技术与应用专业的学生，为清一色的 49 位男生.学生已经掌握了锐角三角函数和特殊角的三角函数值知识， 初步具备解析几何的基本思想， 同时学生求知欲和表现欲比较强，有问题会马上提问，喜欢解答问题，动手操作能力强，具备一定 的观察事物的能力，但不善于总结归纳. 教材处理教材处理 针对学生的实际情况，我对教材进行
3、了适当的处理：通过探究，以老师引导学生归纳为主线帮 助学生知识建构；同时结合越野车爬坡设置两个例题，让学生利用所学知识解决问题，降低了知识 点的难度，使学生更加轻松的掌握和运用. 教学目标教学目标 一、知识目标： 1. 知道倾斜角范围，能利用直线倾斜角求出斜率并判断范围 2. 会利用过直线上两点的斜率公式求直线斜率，并能初步运用 二、能力目标： 1. 学会观察比较、分析综合、抽象概括等思维能力 2. 理解和掌握数形结合、分类讨论等数学思想方法 三、情感目标： 1. 感知生活中的数学，懂得学好数学的意义 2. 通过小组交流讨论和合作展示，体验数学学习的成功与快乐 重点难点重点难点 教学重点教学重
4、点 教学难点教学难点 实现关键实现关键 1. 直线倾斜角及斜率的概念 2. 过直线上两点的斜率公式 过直线上两点的斜率公式推导 用生活实例和已学知识， 结合动 画演示，帮助学生理解相关概 念，实现知识迁移 教法教法 情境教学法、问题驱动法、动态演示法、学案 导学法 学法学法 探究学习、自主学习、小组合作 教学过程及内容教学过程及内容 教学环节教学环节 教学内容教学内容 师生互动师生互动 设计意图设计意图 一、一、 创创 设设 情情 境境 （4 4 分）分） 观看越野车爬坡比赛视频 学生：观看视频并在老 师的引导下发表感想. 通过观看刺激 的比赛视频， 让 学生感知数学 来源于生活， 又 高于生
5、活， 体验 数学学习乐趣 的同时理性思 考在数学中如 何描述直线物 第 2 页 共 7 页 问：在数学中，我们是如何描述直线的倾斜程度? 教师：让学生观看越野 车爬坡比赛视频，介绍 坡面相对于地面的倾 斜程度对越野车马力 的要求，从而引入课 题. 体的倾斜程度. 二、二、 新新 课课 讲讲 解解 （1616 分）分） 1.1.直线的倾斜角：直线的倾斜角： 倾斜角定义倾斜角定义：在平面直角坐标系内，直线 l 向上的方向 与 x 轴的正方向所成的最小正角. 规定：规定：当直线和 x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角 为 0 探究探究 1 1：直线的倾斜角范围是多少？：直线的倾斜角范围是多少？ 通过
6、旋转过点 P 的所有直线动态演示： 按倾斜角由小到大分类，过一点P的直线可以分为四 类，请写出每类直线的倾斜角大小或范围： 倾斜角的范围是：倾斜角的范围是：0 ,180 ) 2 2、直线斜率的概念：、直线斜率的概念： 倾斜角(90 ) 的正切值叫做直线l的斜率， 用 小写字母k表示： 教师：直接给出直线倾 斜角的定义，借助电脑 动画演示倾斜角的形 成过程 教师:演示几何画板并 引导学生观察倾斜角。 学生：说出倾斜角的范 围： 教师：给出第二种描述 直线倾斜程度的方法： 直线的斜率. 借助多媒体， 帮 助学生正确理 解直线倾斜角 的概念 通过几何画板 动画展示， 让学 生直观自然地 得出倾斜角的
7、 范围 1800 y xO y xO l l x y Ox y O 第 3 页 共 7 页 tan(90 )k 探究探究 2 2：直线倾斜角与斜率之间的关系：直线倾斜角与斜率之间的关系 抢答题：抢答题：说出下列倾斜角所对应的斜率 挑战大脑：挑战大脑： （小组抢答） 1.是否每条直线都有倾斜角？ 答： 是 2.是否每条直线都有斜率？ 答： 否 （当直线的倾斜角为 90 度时，斜率不存在.） 结论：所有的直线都有倾斜角，但并非所有直线都有斜 率。 3 3、过直线上两点的斜率公式、过直线上两点的斜率公式 探究探究 3 3：在没有量角器的情况下，已知直线两点坐标：在没有量角器的情况下，已知直线两点坐标
8、 1122 ( ,)(,)A x yB xy、，如何求直线，如何求直线ABAB的斜率的斜率 k？ （提示：作辅助线构造直角三角形，利用正切的定义求 出斜率） 解：由图得倾斜角为锐角，则 21 21 |BC| |AC| tantankC xx AB yy 教师：演示几何画板， 并引导学生观察直线 倾斜角与斜率之间的 变化关系。 学生：说出不同范围的 倾斜角对应的斜率特 点。 抢答题是小组为单位 抢答，每小组代表最多 只能抢答两小题. 挑战大脑也是是小组 为单位抢答，每小组代 表最多只能抢答一小 题。 教师：作出辅助线构造 直角三角形，引导学生 利用正切的定义求出 斜率，教师要及时给以 指导，甚至
9、在必要时和 小组一起合作、进行分 析，帮助学生推导出斜 率公式。 让学生通过几 何画板动画观 察， 理解直线倾 斜角与斜率之 间的密切关系， 同时从中学会 观察比较、 抽象 概括等思维能 力， 理解和掌握 数形结合、 分类 讨论等数学思 想 让学生再次熟 悉特殊角的正 切值， 为后续的 斜率计算打下 基础。 引导学生进一 步通过倾斜角 与斜率之间的 关系， 引导学生 提炼出结论。 第 4 页 共 7 页 tanktan |BC| |AC| 21 12 yy xx 21 21 yy xx 1212 21 21 xxyy yy k xx 因此，当 为锐角和钝角时，即，时， 这时直线的斜率都可以表示
10、为： 特殊情况特殊情况 1 1： 12 ()yy 21 12 2121 0 0 yy yyk xxxx 当时，斜率 特殊情况特殊情况 2 2： 12 ()xx 2121 12 21 ,. 0 yyyy xxkk xx 当时，斜率不存在 归纳：归纳： 学生：在教师的引导观 察两种特殊情况的直 线，并归纳对应的直线 斜率 师生交流，共同归纳知 识. 通过探究 3，再 次培养学生观 察比较、 抽象概 括等思维能力， 进一步理解和 掌握数形结合、 分类讨论等数 学思想. 通过师生共同 归纳， 可以让学 生再次认识， 整 体构建知识框 架. 第 5 页 共 7 页 三、典型例题三、典型例题 例例 1 1
11、 现利用量角器测得坡面和地面的夹角为现利用量角器测得坡面和地面的夹角为45 ，求，求 坡面的斜率是多少？（把坡面和地面看成直线）坡面的斜率是多少？（把坡面和地面看成直线） =45 =tan451k 依题意，坡面对应直线的倾斜角， 根据直线斜率的概念可求坡面的斜率为： 解: 例例 2 2 把坡面和地面看成直线，且以地面为把坡面和地面看成直线，且以地面为 x x 轴，垂直轴，垂直 地面为地面为 y y 轴构造直线坐标系， 并确定了坡面对应的直线轴构造直线坐标系， 并确定了坡面对应的直线 上的两点坐标上的两点坐标 A A （1,01,0） B B （3,13,1） ， 求坡面的斜率是多少？） ， 求
12、坡面的斜率是多少？ 1 01 = 3 12 k 依题意，根据过直线上两点的斜率公式， 可求坡面的斜率为： 解: 学生：分析并表述解题 思路. 教师：板书学生解题的 表述，必要时加以引 导，教师只起一个引导 者的角色. 通过例 1 和例 2，将知识与生 活实例结合， 能 突破难点,数形 结合地展示问 题， 使学生吸收 消化本节课的 重点内容. 三、三、 学学 以以 致致 用用 （1616 分）分） 学以致用学以致用 （小组合作完成）（小组合作完成） （一）基础题（一）基础题 1根据下列条件，分别求出直线的斜率： （1）倾斜角为 60 解：tan603k （2）直线垂直于 y 轴 解：直线垂直于
13、y 轴 0 即tan00k （3）过两点 M(1，2)、N(3，2) 解： 22 0 3( 1) MN k （4）过两点 A(3，2)、B(1，0)； 解： 0221 1 342 MN k 教师：根据斜率的概念 和斜率公式，都可求出 斜率，引导学生根据不 同的已知条件适当选 用. 学生：通过小组合作学 习完成基础题和提高 题，由组长作成果展示 并抽出五个小组代表 讲解. 教师：及时点评，适当 鼓励. 通过小组合作 和展示讲解题 目， 加深学生对 概念、 斜率公式 的理解和掌握， 让学生学会小 组合作学习， 学 会展示自己， 能 增强自信心和 锻炼交际能力。 第 6 页 共 7 页 2 （不定项
14、选择）下列哪些说法正确（AC、） A 任何一条直线都有倾斜角 B 任何一条直线都有斜率 C 如果两直线的倾斜角相等， 那么斜率一定相等或都不 存在 D 如果直线的斜率不存在，那么倾斜角也一定不存在 （二）提高题（二）提高题 1 直线过 P(2， 1)、 Q(0， 3)两点， 求：（1） 斜率 PQ k ； （2）倾斜角 解： （1）依题意得， 0( 2)2 1 3 12 PQ k ； （2）依题意得，1tan PQ k 0 ,180 ) 45 2已知过两点 A(3，m)、B(m，1)的直线的斜率为3， 求 m 的值. 解：依题意得， 1 3 3 AB m k m 4m 四、四、 总总 结结 评
15、评 价价 （3 3 分）分） 总结总结 1直线的倾斜角 在平面直角坐标系内，x 轴正方向和直线 l 向上的方 向所成的最小正角 倾斜角的范围： 2. 直线的斜率 注意两点： （1）任何一条直线都有倾斜角，但斜率不一定存在； （2）斜率不存在倾斜角为 90 评价评价 教师引导学生对本节 课进行小结，并提醒学 生注意两点 学生： 填写自评、 互评， 互评由同桌填写. 重现知识， 有助 于学生进一步 巩固新知识。 学生增强自信， 学会正确评价 五、五、 作作 业业 布布 置置 Part 1 必做题：必做题： 1、判断满足下列条件的直线的斜率是否存在，若存在， 求出结果。 （1）倾斜角为 30 全部学
16、生完成必做题 和实践调查部分学生 完成选做题与思考题 通过必做题、 选 做题和思考题， 加深学生对新 知识的理解， 巩 固新知识。 作业 1800 ）；（）（ 90 tan 1k）（）（ 21 12 12 2xx xx yy k 第 7 页 共 7 页 （1 1 分）分） （2）直线垂直于 x 轴 （3）过两点 M(3，4)、N(3，1) （4）过两点 A(1，1)、B(3，2) 2、已知直线 l 的斜率为2，且直线 l 通过点（1,2）和 点（t,t+2）,求 t 值. 选做题：选做题： 已知直线通过点 A(2，1)、B(4，1)，求直线的斜率和 倾斜角. 思考题：思考题： 经过直线上两点
17、112212 ( ,), (,)()A x yB xyxx，且的斜 率公式是 21 21 yy k xx ，若改变AB、两点坐标的计算顺 序，公式成立吗？ Part 2 实践调查：用发现的眼睛寻找与倾斜有关的生活实例实践调查：用发现的眼睛寻找与倾斜有关的生活实例. 分层， 使不同层 次的学生都可 以获得成功的 喜悦。 板书设计板书设计 投影屏幕 1直线的倾斜角 例题和解答 2求直线的斜率的两种方法 教学反思教学反思: : 这是一节启发探究式的课程。通过生活实例引入课题，结合对教材、学情的分析，因“材”施教因“材”施教，立足教材，选 材贴近学生生活，能引起共鸣； 以学生的探究思维活动为主线设计教
18、学过程，有“的”放矢有“的”放矢地确定教学目标，结合“动手实践、自主探索、 合作交流” 的学习方法展开教学， 设置流程合理， 符合学生的思维发展顺序， 能够引导学生层层深入的探究问题， 基本达成教学目标。 教学方法行之有“效”行之有“效” ，渗透解析几何的思想，注重数形结合、分类讨论、类比的思想方法。注重了学法的 指导，让学生学会了学习。通过生活实例让学生认识到数学来源于生活，学会运用数学知识解决问题 在授课过程中，教师要善于掌握每个教学活动环节的时间，要懂得灵活取舍；在课堂组织学生分组学习中， 需注意学生个性差异，力求组员强弱搭配，组间能力均衡，题目的难度梯度层次分明。实现教学方法和效果的精精 益求“精”益求“精” 。
