1、规范答题强化课（六）高考大题概率与统计类型一类型一 有关统计、统计案例的计算问题有关统计、统计案例的计算问题【真题示范真题示范】(12(12分分)(2017)(2017全国卷全国卷)海水养殖场进行某水产品的海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了收获时各随机抽取了100100个网箱个网箱,测量各箱水产品的产量测量各箱水产品的产量(单位单位:kg),:kg),其频率其频率分布直方图如图所示分布直方图如图所示:(1)(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立设两种养殖方法的箱产量相互独立,记记A A表示事件表示事件“旧养殖法的箱产量低于旧养殖法
2、的箱产量低于50 kg,50 kg,新养殖法的箱产量不新养殖法的箱产量不低于低于50kg”,50kg”,估计估计A A的概率的概率；(2)(2)填写下面列联表填写下面列联表，并根据列联表判断是否有并根据列联表判断是否有99%99%的把握认为箱产量与养殖方法有关的把握认为箱产量与养殖方法有关:箱产量箱产量50 kg50 kg箱产量箱产量50 kg50 kg旧养殖法旧养殖法新养殖法新养殖法(3)(3)根据箱产量的频率分布直方图根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量求新养殖法箱产量的的中位数的估计值中位数的估计值 (精确到精确到0.01).0.01).附附:P(KP(K2 2kk0 0)0.0
3、500.0500.0100.0100.0010.001k k0 03.8413.8416.6356.63510.82810.82822n adbcKabcdacbd【联想解题联想解题】看到估计看到估计A A的概率的概率,想到利用公式想到利用公式P(A)=P(B)P(C)P(A)=P(B)P(C)求概求概率率,并明确概率等于相应小长方形面积和并明确概率等于相应小长方形面积和.看到填写列联表看到填写列联表,想到根据公式想到根据公式K K2 2=计算计算K K2 2值值,K,K2 2值越大值越大,说明说明“两两个变量有关系个变量有关系”的可能性越大的可能性越大.2n adbcabcdacbd，看到中
4、位数的估计值看到中位数的估计值,想到根据中位数的定义想到根据中位数的定义,中位中位数在直方图中左、右两侧的频率都是数在直方图中左、右两侧的频率都是0.5,0.5,由此列式求由此列式求解解.【标准答案标准答案】规范答题规范答题 分步得分分步得分(1)(1)记记B B表示事件表示事件“旧养殖法的箱产量低于旧养殖法的箱产量低于50 kg50 kg”,C,C表示事件表示事件“新养殖法的箱产量不低于新养殖法的箱产量不低于50 kg50 kg”.由题意知由题意知P(A)=P(B)P(C),P(A)=P(B)P(C),1 1分分 得分点得分点旧养殖法的箱产量低于旧养殖法的箱产量低于50 kg50 kg的频率
5、为的频率为(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)5=0.62,5=0.62,故故P(B)P(B)的估计值为的估计值为0.62.0.62.2 2分分 得分点得分点新养殖法的箱产量不低于新养殖法的箱产量不低于50 kg50 kg的频率为的频率为(0.068+0.046+0.010+0.008)(0.068+0.046+0.010+0.008)5=0.66,5=0.66,故故P(C)P(C)的估计值为的估计值为0.66.0.66.3 3分分 得分点得分点因此因此,事件事件A A的概率估计值为的概率估计值为0.620
6、.620.66=0.4092.0.66=0.4092.4 4分分 得分点得分点(2)(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表根据箱产量的频率分布直方图得列联表6 6分分 得分点得分点箱产量箱产量50 kg6.635,15.7056.635,故有故有99%99%的把握认为箱产量与养殖的把握认为箱产量与养殖方法有关方法有关.8 8分分 得分点得分点2200(62 6634 38)100 100 96 104(3)(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量箱产量低于低于50 kg50 kg的直方图面积为的直方图面积为(0.004+0.020+0.044)(
7、0.004+0.020+0.044)5=0.340.5,5=0.340.5,5=0.680.5,1010分分 得分点得分点故新养殖法箱产量的中位数的估计值为故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50+50+52.35(kg).52.35(kg).1212分分 得分点得分点 【评分细则评分细则】正确写出公式正确写出公式P(A)=P(B)P(C)P(A)=P(B)P(C)得得1 1分分.计算出计算出P(B)P(B)得得1 1分分.计算出计算出P(C)P(C)得得1 1分分.正确得出结果得正确得出结果得1 1分分,计算结果错误不得分计算结果错误不得分.填写列联表全部正确得填写列联表全部正确得2 2分分,
8、错误一个不得分错误一个不得分.计算出计算出K K2 2结果正确得结果正确得1 1分分,只写出公式不得分只写出公式不得分.得出结论正确得得出结论正确得1 1分分.计算出箱产量低于计算出箱产量低于50 kg50 kg的直方图面积为的直方图面积为0.340.34得得1 1分分.计算出箱产量低于计算出箱产量低于55 kg55 kg的直方图面积为的直方图面积为0.680.68得得1 1分分.计算出本题最终结论得计算出本题最终结论得2 2分分.【名师点评名师点评】1.1.核心素养核心素养:频率分布直方图及独立性检验是高考命题的重点频率分布直方图及独立性检验是高考命题的重点,在每在每年的高考试题都以不同的命
9、题背景进行命制年的高考试题都以不同的命题背景进行命制.此类问题此类问题主要考查考生的分析问题和解决实际问题的能力主要考查考生的分析问题和解决实际问题的能力,同时同时考查考查“数据分析数据分析”的数学核心素养的数学核心素养.2.2.解题引领解题引领:(1)(1)在频率分布直方图中在频率分布直方图中,平均数的估计值等于频率分平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和横坐标之和;中位数的估计值中位数的估计值,应使中位数左右两边的应使中位数左右两边的直方图面积相等直方图面积相等;最高小长方形的中点所对应的数据值最高小长
10、方形的中点所对应的数据值即为这组数据的众数即为这组数据的众数.(2)(2)独立性检验仅限于独立性检验仅限于2 22 2的列联表的列联表,收集数据是解题收集数据是解题的关键的关键,在利用统计变量在利用统计变量K K2 2进行独立性检验时进行独立性检验时,应该注应该注意数值的准确代入和正确计算意数值的准确代入和正确计算.类型二类型二 概率与统计、离散型随机变量及其分布列的概率与统计、离散型随机变量及其分布列的综合问题综合问题【真题示范真题示范】(12(12分分)(2017)(2017全国卷全国卷)某超市计划按某超市计划按月订购一种酸奶月订购一种酸奶,每天进货量相同每天进货量相同,进货成本每瓶进货成
11、本每瓶4 4元元,售价每瓶售价每瓶6 6元元,未售出的酸奶降价处理未售出的酸奶降价处理,以每瓶以每瓶2 2元的价元的价格当天全部处理完格当天全部处理完.根据往年销售经验根据往年销售经验,每天需求量与每天需求量与当天最高气温当天最高气温(单位单位:):)有关有关.如果最高气温不低于如果最高气温不低于25,25,需求量为需求量为500500瓶瓶;如果最高气温位于区间如果最高气温位于区间20,25),20,25),需求需求量为量为300300瓶瓶;如果最高气温低于如果最高气温低于20,20,需求量为需求量为200200瓶瓶.为了为了确定六月份的订购计划确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最
12、统计了前三年六月份各天的最高气温数据高气温数据,得下面的频数分布表得下面的频数分布表:最高气最高气温温10,15)10,15)15,20)15,20)20,25)20,25)25,30)25,30)30,35)30,35)35,40)35,40)天数天数2 21616363625257 74 4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率间的概率.(1)(1)求六月份这种酸奶一天的需求量求六月份这种酸奶一天的需求量X(X(单位：瓶单位：瓶)的的分分布列布列.(2)(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(Y
13、(单位：元单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量当六月份这种酸奶一天的进货量n(n(单位：瓶单位：瓶)为多少时，为多少时，Y Y的的数学期望达到最大值？数学期望达到最大值？【联想解题联想解题】看到需求量看到需求量X X的分布列的分布列,想到依据题目中的信息确定想到依据题目中的信息确定X X的取值的取值.看到求进货量看到求进货量n n使使Y Y的数学期望达到最大值的数学期望达到最大值,想到利用想到利用期望公式期望公式,列出关于进货量列出关于进货量n n的函数关系式的函数关系式,由函数的单由函数的单调性求解调性求解.【标准答案标准答案】规范答题规范答题 分步得分分步得分(1)(1)由题意知由题意
14、知,X,X的所有可能取值为的所有可能取值为200,300,500,200,300,500,1 1分分 得分点得分点由表格数据知由表格数据知P(X=200)=0.2,P(X=300)=0.4,P(X=200)=0.2,P(X=300)=0.4,P(X=500)=0.4.P(X=500)=0.4.4 4分分 得分点得分点2 16903690257490因此因此X X的分布列为的分布列为6 6分分 得分点得分点X X200200300300500500P P0.20.20.40.40.40.4(2)(2)由题意知由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为这种酸奶一天的需求量至多为500,500,至少为至少
15、为200,200,因此只需考虑因此只需考虑 200n500,200n500,当当300n500300n500时时,若最高气温不低于若最高气温不低于25,25,则则Y=6n-4n=2n,Y=6n-4n=2n,若最高气温位于区间若最高气温位于区间20,25),20,25),则则Y=6Y=6300+2(n-300)-4n=1 200-2n;300+2(n-300)-4n=1 200-2n;若最高气温低于若最高气温低于20,20,则则Y=6Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n;200+2(n-200)-4n=800-2n;7 7分分 得分点得分点因此因此E(Y)=2nE(Y)=2n0.4
16、+(1 200-2n)0.4+(1 200-2n)0.4+0.4+(800-2n)(800-2n)0.2=640-0.4n.0.2=640-0.4n.8 8分分 得分点得分点当当200n300200n300时时,若最高气温不低于若最高气温不低于20,20,则则Y=6n-4n=2n;Y=6n-4n=2n;若最高气温低于若最高气温低于20,20,则则Y=6Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n;200+2(n-200)-4n=800-2n;9 9分分 得分点得分点因此因此E(Y)=2nE(Y)=2n(0.4+0.4)+(800-2n)(0.4+0.4)+(800-2n)0.20.2=1
17、60+1.2n,=160+1.2n,1010分分 得分点得分点所以所以n=300n=300时时,Y,Y的数学期望达到最大值的数学期望达到最大值,最大值为最大值为520520元元.1212分分 得分点得分点 【评分细则评分细则】正确写出正确写出X X所有可能取值得所有可能取值得1 1分分.求出随机变量对应的概率值求出随机变量对应的概率值,每个每个1 1分分.写出随机变量的分布列得写出随机变量的分布列得2 2分分.正确写出在正确写出在300n500300n500时的各关系式得时的各关系式得1 1分分.正确写出在正确写出在300n500300n500时时E(Y)=640-0.4nE(Y)=640-0
18、.4n得得1 1分分.正确写出在正确写出在200n300200n300时的各关系式得时的各关系式得1 1分分.正确写出在正确写出在200n300200n300时时E(Y)=160+1.2nE(Y)=160+1.2n得得1 1分分.得出得出n=300n=300时时,Y,Y的数学期望达到最大值的数学期望达到最大值,并求出最大并求出最大值得值得2 2分分.【名师点评名师点评】1.1.核心素养核心素养:(1)(1)与统计相结合考查概率及离散型随机变量分布列的与统计相结合考查概率及离散型随机变量分布列的求法求法.(2)(2)以现实生活为背景以现实生活为背景,考查概率、相互独立事件、互考查概率、相互独立事
19、件、互斥事件、离散型随机变量的分布列与期望值等斥事件、离散型随机变量的分布列与期望值等.2.2.解题引领解题引领:(1)(1)写全得分步骤写全得分步骤:对于解题过程中是得分点的步骤对于解题过程中是得分点的步骤,有有则给分则给分,无则没分无则没分,所以对于得分点步骤一定要写全所以对于得分点步骤一定要写全.如如第第(1)(1)问中问中,写出写出X X所有可能取值得分所有可能取值得分,第第(2)(2)问中分当问中分当300n500300n500时和时和200n300200n300时进行分析才能得满分时进行分析才能得满分.(2)(2)写明得分关键写明得分关键:对于解题过程中的关键点对于解题过程中的关键点,有则给分有则给分,无则没分无则没分,所以在答题时一定要写清得分关键点所以在答题时一定要写清得分关键点,如第如第(1)(1)问应写出求分布列的求解过程问应写出求分布列的求解过程,第第(2)(2)问应写出不同问应写出不同范围内范围内Y Y的数学期望的数学期望.
