1、总纲目录总纲目录应用一数形结合思想在解决方程的根或函数零点问题中的应用应用二数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用应用三数形结合思想在向量中的应用应用四数形结合思想在解析几何中的应用应用一数形结合思想在解决方程的根或函数零点问题中的应用例例1(2019天津文,8,5分)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=-x+a(aR)恰有两个互异的实数解,则a的取值范围为(D)A.B.C.1D.12,01,1,1.xxxx145 9,4 45 9,4 45 9,4 45 9,4 4答案答案D解析解析画出函数y=f(x)的图象,如图.方程f(x)=-x+a的解的个数,即为函数y=f(x)的图象与直线
2、l:y=-x+a的公共点的个数.1414当直线l经过点A时,有2=-1+a,a=;当直线l经过点B时,有1=-1+a,a=.由图可知,a时,函数y=f(x)的图象与l恰有两个交点.另外,当直线l与曲线y=,x1相切时,恰有两个公共点,此时a0.149414545 9,4 41x联立得得=-x+a,即x2-ax+1=0,由=a2-41=0,得a=1(舍去负根).综上,a1.故选D.1,1-,4yxyxa1x1414145 9,4 4方法指导方法指导利用数形结合思想探究方程解的问题的关注点：(1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数,使问题转化为讨论两图象的交点问题。但用此法讨论方程的解
3、一定要注意图象的准确性、全面性,否则会得到错解.(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键。数形结合应以快和准为原则,不要刻意去用数形结合.1.已知函数f(x)=函数g(x)是周期为2的偶函数,且当x0,1时,g(x)=2x-1,则函数y=f(x)-g(x)的零点个数是(B)A.5B.6C.7D.8251(-),0,2log,0,x x xx x答案答案B在同一平面直角坐标系中作出y=f(x)和y=g(x)的图象如图所示,由图象可知当x0时,两图象有4个交点,当x0时,两图象有2个交点,所以函数y=f(x)-g(x)一共有6个零点.2.(2019非凡联盟调研,7)设a,b,c分别是方程x
4、+3=lox,=lox,=x+3的实数根,则有(D)A.abcB.cbaC.bacD.cab13g13x13g13x答案答案D先分别作出函数y=,y=lox,y=x+3的图象,再观察图象间的交点的横坐标即可得解,由图知cab,故选D.13x13g例例2(1)已知已知f(x)是定义在是定义在(3,3)上的奇函数，当上的奇函数，当0 x3时，时，f(x)的图象如图所示，那么不等式的图象如图所示，那么不等式f(x)cosx0的解的解集是集是()应用二数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用例例2(2)(2019辽宁五校协作体二模,12)已知函数f(x)=其中m-1,对于任意x1R且x10,均存在唯
5、一实数x2,使得f(x2)=f(x1),且x1x2,若|f(x)|=f(m)有4个不相等的实数根,则a的取值范围是()A.(0,1)B.(-1,0)C.(-2,-1)(-1,0)D.(-2,-1)e-1,0,0,xmxaxb x(2)答案答案D解析解析当a=0时,显然不符合题意;当a0时,函数y=ex+m-1(x0)和函数y=ax+b(x0)都是定义域内的单调函数,且函数y=ex+m-1(x0)的值域为m,+),则由题意得函数y=ax+b(x0)的值域为(m,+),所以则函数f(x)=其值域为m,+),|f(x)|的大致图象如图所示,由函数图象易得要使方程|f(x)|=f(m)有4个不相等的实
6、数根,则即,0,bmae-1,0,0,xmxaxm x()0,()-,f mf mm0,-,ammammm因为m-1,所以-2a0.AB AC 1,0t由=+可知P(1,4),那么=,=(-1,t-4),故=(-1,t-4)=-4t+17-2+17=13,当且仅当=4t,即t=时等号成立,故选A.AP|ABAB 4|ACAC PB 1-1,-4tPC PB PC 1-1,-4t1t14tt1t12应用四数形结合思想在解析几何中的应用例例4(1)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m0).若圆C上存在点P,使得APB=90,则m的最大值为.(1)答案答案6
7、解析解析根据题意画出示意图,如图所示,则圆心C的坐标为(3,4),半径r=1,且|AB|=2m,连接OP,因为APB=90,所以|OP|=|AB|=m.要求m的最大值,即求圆C上的点P到原点O的最大距离.12因为|OC|=5,所以|OP|max=|OC|+r=6,即m的最大值为6.2234例4.(2)已知抛物线x2=8y,F是其焦点,点A(-2,4),在此抛物线上求一点P,使APF的周长最小,此时点P的坐标为.(2)答案1-2,2解析解析因为(-2)20,b0)的左焦点为F,直线4x-3y+20=0过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P,O为原点,|OP|=|OF|,则双曲线C的离心率为(A)
8、A.5B.C.D.22xa22yb55354答案答案A根据直线4x-3y+20=0与x轴的交点F的坐标为(-5,0),可知半焦距c=5.设双曲线C的右焦点为F2,连接PF2,根据|OF2|=|OF|且|OP|=|OF|可得,PFF2为直角三角形.如图,过点O作OA垂直于直线4x-3y+20=0,垂足为A,则易知OA为PFF2的中位线.又原点O到直线4x-3y+20=0的距离d=4,所以|PF2|=2d=8,|PF|=6,故结合双曲线的定义可知|PF2|-|PF|=2a=2,所以a=1,2222|-|FFPF故e=5.故选A.ca2.已知P是直线l:3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆x2
9、+y2-2x-2y+1=0的两条切线,A,B是切点,C是圆心,则四边形PACB面积的最小值为.答案答案22解析解析从运动的观点看问题,当动点P沿直线3x+4y+8=0向左上方或右下方无穷远处运动时,直角三角形PAC的面积SPAC=|PA|AC|=|PA|越来越大,从而S四边形PACB也越来越大;当点P从左上、右下两个方向向中间运动时,S四边形PACB变小.显然,当点P到达一个最特殊的位置,即CP垂直于直线l时,S四边形PACB应有唯一的最小值,易知C(1,1),此时|PC|=3,121222|3 14 1 8|34 从而|PA|=2.所以(S四边形PACB)min=2|PA|AC|=2.22|-|PCAC2122 数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合.应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征.规律总结数形结合的思想方法数形结合的思想方法Thankyouforwatching!
