1、葫芦岛市普通高中葫芦岛市普通高中 20192020 学年第一学期学业质量监测考试学年第一学期学业质量监测考试 高三数学（理科）高三数学（理科） 注意事项：注意事项： 1.1.本试卷分第本试卷分第卷、第卷、第卷两部分，共卷两部分，共 6 6 页页. .满分满分 150150 分；考试时间：分；考试时间：120120 分钟分钟. . 2.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用 2 2B B铅笔涂在答题卡上铅笔涂在答题卡上. . 3.3.用铅笔把第用铅笔把第卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第卷的答案涂在答题卡
2、上，用钢笔或圆珠笔把第卷的答案写在答题纸的相应卷的答案写在答题纸的相应 位置上位置上. . 4.4.考试结束，将答题卡和答题纸一并交回考试结束，将答题卡和答题纸一并交回. . 第第卷（选择题，共卷（选择题，共 6060 分）分） 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是是符合题目要求的符合题目要求的. .） 1. |10Ax x ， 2 |60Bx xx，则AB （ ） A. 2,1) B. 2,3 C. (1,3 D. 1,3) 【答案】C 【分
3、析】 分别求出关于A、B的不等式，写出A、B的交集即可. 【详解】由 |10|1Ax xx x ， 2 |60| 23Bx xxxx ， 所以|13ABxx. 故选：C. 【点睛】本题考查了集合的交集的运算，考查不等式问题，属于基础题. 2.已知 i是虚数单位，复数 5 2i （ ） A. i2 B. i+2 C. 2 D. 2 【答案】B 【分析】 直接利用复数代数形式的运算法则化简求值 【详解】解： 5 25 222 i iii 105 2 4( 1) i i ， 故选：B 【点睛】本题主要考查复数代数形式的除法运算，属于基础题 3.在等比数列 n a中， 4 a， 6 a是方程 2 51
4、0xx 的两根，则 5 a （ ） A. 1 B. C. 5 2 D. 5 2 【答案】B 【分析】 根据等比数列中项的性质，利用根与系数的关系，即可得出正确的结论. 【详解】在等比数列 n a中，由题意知： 46 5aa ， 46 1aa， 所以 4 0a ， 6 0a ，所以 2 546 1aaa，即 5 1a . 故选：B. 【点睛】本题考查了等比中项的性质的应用问题，也考查了根与系数关系的应用问题，属于基础题. 4.设、ab均为单位向量，则“ 22abab”是“ab”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【
5、分析】 根据 22 |aa，可化简22abab为 2222 4444abababab，又、ab均为单位向量，可 得0ab，即可分析出结果. 【详解】因为、ab均为单位向量，所以 22 1,1ab，由22abab可得： 22 22abab， 即 2222 4444abababab， 所 以5 454 abab， 即0ab， 所 以ab， 因 此 “22abab”是“ab”充分必要条件，故选 C. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的性质，以及单位向量的概念，属于中档题. 5.2018 年辽宁省正式实施高考改革.新高考模式下，学生将根据自己的兴趣、爱好、学科特长和高校提供的 “选考科目要求”进行选
6、课.这样学生既能尊重自己爱好、特长做好生涯规划，又能发挥学科优势，进而在 高考中获得更好的成绩和实现自己的理想.考改实施后，学生将在高二年级将面临着312 的选课模式，其 中“3”是指语、数、外三科必学内容，“1”是指在物理和历史中选择一科学习，“2”是指在化学、生物、 地理、政治四科中任选两科学习.某校为了更好的了解学生对“1”的选课情况，学校抽取了部分学生对选课 意愿进行调查，依据调查结果制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结 论是不正确的（ ） A. 样本中的女生数量多于男生数量 B. 样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量 C. 样本中的男生
7、偏爱物理 D. 样本中的女生偏爱历史 【答案】D 分析】 根据这两幅图中的信息，即可得出结论. 【详解】由图 1 知，样本中的女生数量对于男生数量，样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿 的学生数量，样本中的男生偏爱物理，女生也偏爱物理. 故选：D. 【点睛】本题考查等高堆积条形图，考查学生对图形的认识，属于基础题. 6.函数 2 ee xx f x x 的图像大致为 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解： 2 0,()( )( ) xx ee xfxf xf x x 为奇函数，舍去 A, 1 (1)0fee 舍去
8、 D; 2 43 ()()2(2)(2) ( )2,( )0 xxxxxx eexeexxexe fxxfx xx ， 所以舍去 C；因此选 B. 点睛：有关函数图象识别问题常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数 的值域，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变化趋势；由函数的奇偶性，判断图象 的对称性；由函数的周期性，判断图象的循环往复 7.在ABC中， , ,a b c分别为, ,A B C的对边，如果, ,a b c成等差数列，30B ，ABC的面积为 3 2 ，那 么b （ ） A. 1 3 2 B. 13 C. 2 2 3 D. 23 【答案】B
9、【解析】 由余弦定理得 2222 2 cos()22cosbaccBacacacB，又面积 1 sin 2 ABC SacB 13 6 42 acac，因为abc， ，成等差数列，所以2acb，代入上式可得 22 4126 3bb， 整理得 2 42 3b ，解得13b ，故选 B 考点：余弦定理；三角形的面积公式 8.函数 2 ( )ln3f xxax在(1,)单调递增，求 a的取值范围（ ） A. 2a B. 2a C. 2a D. 2a 【答案】C 【分析】 根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可. 【详解】由题意，设 2 3g xxax，则要使 2 ( )ln3f xxax在区间1,
10、上单调递增， 则满足 1 2 10 a g ，即 2 20 a a ，解得2a . 故实数a的取值范围是2a . 故选：C. 【点睛】本题主要考查复合函数单调性的应用，结合二次函数的单调性是解决本题的关键，属于基础题. 9.若 1 1 2 ab，01c，则下列不等式不成立 的是（ ） A. loglog ab cc B. loglog ba acbc C. cc abba D. cc ab 【答案】B 【分析】 根据幂函数和对数函数的图象和性质，结合不等式的基本性质，对各选项逐一判断即可. 【详解】对于 A：当 1 1 2 ab，01c，由对数函数的单调性知，0loglog ab cc，故 A
11、正确； 对于 B：当 1 1 2 ab，01c，设函数logcyx为减函数，则loglog0 cc ab， 所以loglog0 ba cc，因 1 1 2 ab，则logbac与logabc无法比较大小，故 B不正确； 对于 C： 当 1 1 2 ab，01c， 则10c ， 由指数函数的单调性知， 11cc ba ， 将不等式 11cc ba 两边同乘ab，得 cc abba ，故 C正确； 对于 D：当 1 1 2 ab，01c，由不等式的基本性质知， cc ab，故 D 正确. 故选: B 【点睛】本题考查了幂函数和对数函数的图象和性质，不等式的基本性质，属于基础题. 10.已知角， (
12、0, )， 1 tan() 2 ， 7 2 cos 10 ，则角2 （ ） A. 9 4 B. 3 4 C. 5 4 D. 4 【答案】D 【分析】 通过，的范围求出tan，进一步求出tan，再求出tan 2，结合角的范围求出角的大小即可. 【详解】0,，由 7 2 cos 10 ，则 0, 2 ， 2 sin 10 ， 1 tan 7 ， 又 tantan1 tan() 1tantan2 ，即 1 tan 1 7 1 2 1tan 7 ， 解得 1 tan 3 ，0, 4 ， 11 tantan 23 tan 21 11 1tantan 1 23 ， 又 20,， 2 4 . 故选：D. 【
13、点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式，两角和与差的正切函数的应用，考查计算能力，注意角的 范围是解题的关键，属于基础题. 11.如图所示，已知球 O为棱长为 3正方体 1111 ABCDABC D的内切球，则平面 1 ACD截球 O 的截面面积 为（ ） A. 3 2 B. 3 C. 3 6 2 D. 3 3 【答案】A 【分析】 根据正方体和球的结构特征，判断出平面 1 ACD是正三角形，求出它的边长，再通过图求出它的内切圆的 半径，最后求出内切圆的面积. 【详解】根据题意知，平面 1 ACD是边长为3 2的正三角形，且球与以点D为公共点的三个面的切点恰为 三角形 1 ACD三边的中点，
14、故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积， 则由图得， 1 ACD内切圆的半径是 3 26 tan 262 r ， 所以截面圆的面积是 2 63 22 . 故选：A. 【点睛】本题考查了正方体和它的内接球的几何结构特征，关键是想象出截面图的形状，考查了空间想象 能力，数形结合的思想，属于基础题. 12.设函数 2 ( )() ()f xx xaxR ，当3a 时，不等式 22 (sin1)sinfkf k 对任意的 1,0k 恒成立，则的可能取值是（ ） A. 3 B. 4 3 C. 2 D. 5 6 【答案】D 【分析】 当3a 时 ， 先 利 用 导 数 求 得 函 数 f x在,1上
15、为 减 函 数 ， 再 将 不 等 式 恒 成 立 转 化 为 22 sinsin1kk 对任意的 1,0k 恒成立，进而解得sin的范围. 【详解】由 2 f xx xa ，得 3fxxaxa ，令 0fx ，得 1 3 a x ， 2 xa， 当3a 时， 3 a a，所以 f x在区间, 3 a ，, a 上单调递减， 在区间, 3 a a 上单调递增， 而当3a 时，1 3 a ，则 f x在区间,1上为减函数， 又1,0k ，sin1,1 ，则2sin1 1k ， 22 1sin1k ， 由题意，不等式 22 sin1sinfkf k 对任意的1,0k 恒成立，即转化为 2 22 1
16、1 sinsin1 24 kkk 对任意的1,0k 恒成立， 所以 2 1 sinsin1 4 恒成立，解得 13 sin 22 ，即 1 sin1 2 ， 结合选项知，的可能取值是 5 6 . 故选：D. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、三角函数与二次函数的单调性、恒成立问题的等价转化 方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题. 第第卷（选择题，共卷（选择题，共 9090 分）分） 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分，第分，第 1515 题为两空题，第一空题为两空题，第一空 2 2 分，第二分，
17、第二 空空 3 3 分分. .） 13.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为_. 【答案】 1 6 【分析】 判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可. 【详解】由题意可知该几何体是将边长为 1的正方体截一只角的三棱锥图形， 所以，该三棱锥的体积为 111 1 1 1 326 V . 故答案为： 1 6 . 【点睛】本题考查三视图求解几何体的面积与体积，考查空间想象能力以及计算能力，属于基础题. 14.周髀算经是中国最古老的天文学和数学著作，是算经十书之一，书中不仅记载了“天圆如张盖，地 方如棋局”一说，更是记载了借助“外圆内方“的钱币及用统计概率得到圆周率的近似值的方
18、法，具体 做法如下，现有“外圆内方”的钱币（如图） ，测得钱币“外圆”半径（即圆的半径）为 2cm，“内方”（即 钱币中间的正方形孔）的边长为 1cm，在圆内随机取点，若统计得到此点取“内方”之外部分的概率是 p, 则圆周率的近似值为_. 【答案】 1 4(1)p 【分析】 计算圆形钱币的面积和正方形的面积，求出对应面积比得p，进而得的值. 【详解】圆形钱币的半径为2cm，面积为 2 24S 圆 ， 正方形边长为1cm，面积为1S 正 ， 由题意，在圆内随机取点，点取“内方”之外部分的概率 1 1 4 SS p S 正圆 圆 ， 即 1 4 1p . 故答案为： 1 4 1p . 【点睛】本题
19、考查了几何概型的概率计算问题，属于基础题. 15. 25 1(3)axx的展开式中 7 x系数为 2，则 a的值为_， 5 x的系数为_. 【答案】 (1). 2 (2). 181 【分析】 把 2 5 13axx按照二项式定理展开，再根据 7 x系数为 2，即可得到a的值，进而可得 5 x的系数. 【详解】 2254 5 32 1311590270405243axxaxxxxxx， 所以展开式中含 7 x项的系数为a，则2a ， 所以 5 x的系数为1 180181 . 故答案为：2，181. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题. 16.
20、已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左，右焦点分别为 1 F， 2 F，点 P 为双曲线 C 右支上异于顶点的 一点， 12 PFF的内切圆与 x 轴切于点(2,0)，且直线2yx 经过线段 1 PF的中点且垂直于线段 1 PF，则 双曲线 C 的方程为_. 【答案】 22 1 416 xy 【分析】 设点P是双曲线右支上一点，由双曲线的定义，知 12 2PFPFa，设三角形 12 PFF的内切圆与x轴的切 点为2, 0A，B、C分别为内切圆与 1 PF、 2 PF的切点，由同一点向圆引得两条切线相等知 1212 PFPFPBBFPCCF，由此得到2a ，再利用直线2
21、yx 经过线段 1 PF的中点且垂 直于线段 1 PF，设P m n,，运用直线的斜率公式和中点在直线2yx 上，化简整理得 34 , 55 Pcc ，再 利用双曲线的定义 12 2PFPFa，得 2 5c ，进而得到双曲线方程. 【详解】点P是双曲线右支上一点，由双曲线的定义，知 12 2PFPFa，若设三角形 12 PFF的内切圆与 x轴的切点为 2,0A，B、C分别为内切圆与 1 PF、 2 PF的切点， 由同一点向圆引得两条切线相等知，且 1 2AFc， 2 2AFc 则有 12121212 2PFPFPBBFPCCFBFCFAFF Aa， 所以 222cca，即2a ， 再设P m
22、n,， 1 ,0Fc ， 2 ,0F c，则 1 PF的中点坐标为, 22 mc n ， 1 0 PF n k mc ， 由直线2yx 经过线段 1 PF的中点且垂直于线段 1 PF， 所以有2 22 nmc ， 0 21 n mc ，整理得 3 5 mc， 4 5 nc，即 34 , 55 Pcc ， 所以 1 4 5 5 PFc， 2 2 5 5 PFc，又 12 4PFPF， 所以2 5c ，在双曲线中， 222 20416bca， 故双曲线方程为 22 1 416 xy . 故答案为： 22 1 416 xy . 【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查定义法的运用，以及直线
23、的斜率公式的运用，切 线的性质，考查运算能力，属于中档题. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明解答应写出文字说明. .证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. .） 17.如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD 平面ABCD、E为PD的中 点，/ /ADBC，CDAD，2BCCD，4AD. （1）求证：/ /CE平面PAB； （2）求二面角PACE的余弦值. 【答案】 （1）证明见解析（2） 3 6 8 【分析】 （1） 取PA中点 F， 连结EF，BF， 先证四边形EFBC为平行四边形， 进而可得
24、/ /CEBF， 进而可得/ /CE 平面PAB； （2）建立空间直角坐标系，求出平面ACE和平面ACP的法向量，利用两法向量所成角的余弦值可得二 面角PACE的余弦值. 【详解】 （1）如图，取PA中点 F，连结EF，BF. 因为 E为PD中点，4AD，所以/EFAD， 1 2 2 EFAD. 又因为/ /BCAD，2BC ，所以/EFBC，EFBC， 所以四边形EFBC为平行四边形. 所以/ /CEBF. 又因为CE 平面PAB，BF 平面PAB， 所以/ /CE平面PAB. （2）取AD中点 O，连结OP，OB. 因为PAD为等边三角形，所以POOD. 又因为平面PAD 平面ABCD，平
25、面PAD平面ABCDAD， 所以PO 平面ABCD. 因为/ /ODBC，2ODBC， 所以四边形BCDO为平行四边形. 因为CDAD，所以OBOD. 如图建立空间直角坐标系Oxyz， 则0(0)2A， ，()2 0 0B ， ，()2 2 0C， ，()013E ， ，00(2 3)P ， ，. 所以(2,4,0)AC ，(0,3, 3)AE ，(0,2,2 3)AP 设平面ACE的一个法向量为 1111 ,nx y z， 则 1 1 0 0 nAE nAC 即 11 11 240 330 xy yz 令 1 2x ，则 1 ( 2,1,3) n， 显然，平面ACP的一个法向量为 2222
26、,nxy z， 则 2 2 0 0 nAP nAC 即 22 22 22 30 240 yz xy 令 2 1z ，则 2 (2 3,3,1)n ， 所以 12 12 12 6 33 6 cos, 82 24 nn n n n n . 由题知，二面角PACE为锐角， 所以二面角PACE的余弦值为 3 6 8 . 【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面 角的平面角，属于基础题. 18.已知数列 n a其前 n项和 n S满足： * 11 2(1),0 nn SnanNa . （1）求数列 n a的通项公式； （2）当1n 时， 1 1c ，当
27、2n且 * nN时，设 1 2n n n c na ，求 n c的前 n 项和 n T. 【答案】 （1） 0,1 2 ,2 (1) n n a n nn （2） 1 5(2)2n n Tn 【分析】 （1）当1n 时，得 2 1a ，当2n时，由 1nnn aSS ，得 1 1 1 n n an an ，进而利用累乘法即可得到结 论； （2）由（1）得，当2n时，(1) 2n n cn，利用错位相减法即可. 【详解】解： （1）当1n 时， 112 220aSa，得 2 1a . 当2n时， 11 (1) nnnnn aSSnana ，即 1 (1)(1) nn nana ， 因为 2 0a
28、 ，所以 1 1 1 n n an an ， 34 2231 12222 , 34(1)(1) nn n n aaaan a aaaannnnn ， 综上所述， 0,1 2 ,2 (1) n n a n nn （2）当1n 时， 1 1T . 当2n时，(1) 2n n cn, 23 122 2(1)2n n Tn 31 222(2)2(1)2 nn n Tnn 31 322(1)2 nn n Tn 32 11 2 12 3(1)25(2)2 12 n nn nn 1 5(2)2n n Tn 综上所述， 1 5(2)2n n Tn . 【点睛】本题考查 n a与 n S的关系，考查利用累乘法求
29、通项公式，考查利用错位相减法求前n项和，属于基 础题. 19.冬季历来是交通事故多发期，面临着货运高危运行、恶劣天气频发、包车客运监管漏洞和农村交通繁忙 等四个方面的挑战.全国公安交管部门要认清形势、正视问题，针对近期事故暴露出来的问题，强薄羽、补 短板、堵漏洞，进一步推动五大行动，巩固扩大五大行动成果，全力确保冬季交通安全形势稳定.据此，某 网站推出了关于交通道路安全情况的调查，通过调查年龄在15,65)的人群，数据表明，交通道路安全仍是 百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此类问题的约占 80%，现从参与调查并关注交通道路安全的人群 中随机选出 100 人，并将这 100 人按年龄分组：第
30、 1 组15,25)，第 2 组25,35)，第 3组35,45)，第 4 组 45,55)，第 5 组55,65)，得到的频率分布直方图如图所示. （1）求这 100人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一 位） ； （2）现在要从年龄较大的第 4，5 组中用分层抽样的方法抽取 8 人，再从这 8人中随机抽取 3 人进行问卷调 查，求第 4 组恰好抽到 2人的概率； （3）若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出 3人，设其中关注交通道路安全的人数为随机变量 X， 求 X 的分布列与数学期望. 【答案】 （1）平均数为41.5岁；中位数为42.1岁（
31、2） 15 28 （3）详见解析 【分析】 （1）由频率分布直方图能求出a，由此能求出这100人年龄的样本平均数和中位数； （2）第 4，5组抽取的人数分别为 6 人，2人，设第 4组中恰好抽取 2人的事件为A，利用排列组合能求出 事件A的概率； （3）从所有参与调查的人中任意选出 1人，关注交通道路安全的概率为 4 5 P ，X的所有可能取值为 0，1， 2，3， 4 3, 5 XB ，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望. 【详解】解： （1）由10 (0.0100.0150.0300.010)1a，得0.035a ， 平均数为20 0.1 30 0.1540 0.35 50
32、 0.3 60 0.141.5岁； 设中位数为 x，则10 0.010 10 0.015(35) 0.0350.5x，42.1x 岁. （2）第 4，5组抽取的人数分别为 6 人，2人. 设第 4 组中恰好抽取 2 人的事件为 A，则 21 62 3 8 15 ( ) 28 C C P A C . （3）从所有参与调查的人中任意选出 1人，关注交通道路安全的概率为 4 5 P ， X 的所有可能取值为 0，1，2，3， 3 0 3 41 (0)1 5125 P xC ， 12 1 3 4412 (1)1 55125 P xC ， 21 2 3 4448 (2)1 55125 P xC ， 3
33、3 3 464 (3) 5125 P xC ， 所以 X的分布列为： X 0 1 2 3 P 1 125 12 125 48 125 64 125 4 3, 5 XB ， 412 ()3 55 E X . 【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查二项分布的 性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题 20.椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的上顶点为A，点 3 1, 2 B 在椭圆E上， 1 F， 2 F分别为E的左右焦 点， 12 120F AF . （1）求椭圆E的方程； （2）点 M 在圆 222 xyb上，
34、且 M在第一象限，过 M作 222 xyb的切线交椭圆于C，D两点，且C， 2 F，D不共线，问： 2 CF D的周长是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由. 【答案】 （1） 2 2 1 4 x y（2）周长为定值4，详见解析 【分析】 （1）由题意得 1 2 b a ，将B点代入椭圆方程解得，即可得到椭圆方程； （2）由题意，设CD的方程为(0,0)ykxm km，由CD与圆 22 1xy相切，得 22 1mk ， 再联立直线与椭圆方程，运用弦长公式以及两点之间的距离公式分别表示出三角形的边长，进而即可得到 结论. 【详解】 （1）由 12 120F AF ，得 1 2 b a ， B
35、点 3 1, 2 代入椭圆方程得 22 13 1 44bb ， 由得 22 4,1ab，所以椭圆 E 的方程为 2 2 1 4 x y. （2）由题意，设CD的方程为(0,0)ykxm km， CD与圆 22 1xy相切， 2 | 1 1 m k ，即 22 1mk ， 由 2 2 1 4 ykxm x y 得 222 148440,0kxkmxm 设 11 ,C x y， 22 ,D xy，则 12 2 8 14 km xx k ， 2 12 2 44 14 m x x k . 2 22 121212 |114CDkxxkxxx x 2 22 2 2222 8444 314 3 14 141
36、41414 kmmkkkm k kkkk 又 2 222 22 1 2111 1 |334 4 |13 4 x CFxyxx ， 21 1 43 2 CFx， 同理 22 1 |43| 2 DFx， 2212 2 34 3 | 44 214 km CFDFxx k 22 |4CDCFDF. 即 2 CF D的周长为定值. 【点睛】本题考查椭圆方程、两点间距离公式、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力， 考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，属于中档题 21.已知函数( )ln ,f xxxkx kR. （1）求( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程；
37、（2）若不等式 2 ( )f xxx恒成立，求 k的取值范围； （3）求证：当 * nN 时，不等式 2 2 1 2 ln 41 21 n i nn i n 成立. 【答案】 （1）(1)1ykx（2）k2（3）证明见解析 【分析】 （1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义即可得到切线方程； （2）由 2 lnxxkxxx，即ln1xkx，构造函数 ln1g xxxk，求导函数研究单调性， 进而得 g x的最大值，即得k的取值范围； （3）由（2）可知：当2k 时，ln1xx恒成立，令 2 1 41 x i ，整理得： 2 11 ln 4112 2121 i ii ，将两边不等式全相加即可得
38、到结论. 【详解】 （1）函数( )yf x的定义域为(0,)， ( )1lnfxxk ，(1)1fk ， (1)fk，函数( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程为(1)(1)ykkx， 即(1)1ykx. （2）由 2 ( )f xxx，( )lnf xxxkx，则 2 lnxxkxxx，即ln1xkx， 设( )ln1g xxxk， 1 ( )1g x x ， 0,1x， 0gx ，( )g x单调递增， 1,x，( )0g x ，( )g x单调递减， 不等式 2 ( )f xxx恒成立，且0x ， ln10xxk ， max ( )(1)20g xgk即可，故k 2. （3）由（
39、2）可知：当2k 时，ln1xx恒成立， 令 2 1 41 x i ，由于 * iN ， 2 1 0 41i . 故， 22 11 ln1 4141ii ，整理得： 2 2 1 ln 411 41 i i ， 变形得： 2 1 ln 411 (21)(21) i ii ，即： 2 11 ln 4112 2121 i ii 1,2,3,in时， 11 ln311 23 ， 11 ln511 23 ， 2 111 ln 411 2 2121 n nn 两边同时相加得： 22 2 1 1122 ln 411 2212121 n i nnn in nnn ， 所以不等式在 * nN 上恒成立. 【点睛
40、】本题考查了函数的单调性、最值问题，构造函数，考查导数的应用，转化思想，考查不等式的证 明，属于难题. 请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时就写清题题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时就写清题 号号. . 22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 0 0 2 2 2 2 xxt yyt （t为参数）.以坐标原点 O 为极点，x轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，圆 C的极坐标方程为2 5sin. （1）求圆 C的直角坐标方程及直线l的斜率； （2）直线l与圆 C交于 M，N 两点，MN中点为 Q，求 Q 点轨迹
41、的直角坐标方程. 【答案】（1） 圆 C的直角坐标方程为 22 (5)5xy， 直线l的斜率为1（2） Q点的轨迹方程为50xy， 1010 , 22 x 【解析】 【分析】 （1）直接利用转换关系式，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； （2）利用中点的坐标公式化简得 21 21 2(22 5)0 yy xy xx ，进而可得50xy，再求得x的范围 即可得到结论. 【详解】 （1）由2 5sin得 22 2 50xyy， 即圆 C的直角坐标方程为 22 (5)5xy. 由直线l的参数方程可得 0 0 1 yy xx ，故直线l的斜率为 1. （2）设 11 ,M x y， 2
42、2 ,N xy，中点( , )Q x y，将 M，N代入圆方程得： 22 111 2 50xyy， 22 222 2 50xyy， -得： 12121212 2 50xxxxyyyy， 化简得 21 21 2(22 5)0 yy xy xx 因为直线 2 l的斜率为 1，所以上式可化为50xy， 代入圆的方程 22 2 50xyy，解得 10 2 x ， 所以 Q点的轨迹方程为50xy， 1010 , 22 x . 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，中点坐标公式的应用，求轨迹方程 的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题. 23.设 a，b 是正实数，求： （1）若21ab，求 22 ab最小值； （2）若 22 41ab ，求32ab的最大值. 【答案】 （1）最小值为 1 5 （2）最大值为 2 【分析】 （1）法一：由题意得 1 0 2 b，再将 22222 (12 )541abbbbb，利用二次函数求最值的方 法即可；法二：利用柯西不等式； （2）法一：利用柯西不等式；法二：利用三角换元的方法，设cosa， 1 sin 2 b，进而即可得到结 论. 【详解】 （1）法一：由
