1、上页 下页 返回 退出 一、高斯公式二、通量与散度 高斯公式 通量与散度上页 下页 返回 退出 一、高斯公式定理1 设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成 函数P(x y z)、Q(x y z)、R(x y z)在上具有一阶连续偏导数 则有 这里是的整个边界的外侧 cos、cos、cos是在点(x y z)处的法向量的方向余弦RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(或dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()(上页 下页 返回 退出 解：例1利用高斯公式计算曲面积分 dxdyzdzdxydydzx222其中为平面x0 y0 z0 xa ya za所围成的立体的表面的外侧。由高
2、斯公式 原式 dvzyxdvzRyQxP)(2)(aaaadzdyxdxxdv0400366(这里用了对称性)上页 下页 返回 退出 设1为zh(x2y2h2)的上侧 为与1所围成的空间闭区域 则 解 dvzyxdSzyx)(2)coscoscos(1222421h 例 2 计算曲面积分dSzyx)coscoscos(222 其中 为锥面x2y2z2介于平面z0及zh(h0)之间的部分的下侧 cos、cos、cos是上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦 dvzyxdSzyx)(2)coscoscos(1222421h因此4442222121)coscoscos(hhhdSzyxdvzyxdS
3、zyx)(2)coscoscos(1222421h4442222121)coscoscos(hhhdSzyx4442222121)coscoscos(hhhdSzyx 而 422222111)coscoscos(hdShdSzdSzyx422222111)coscoscos(hdShdSzdSzyx422222111)coscoscos(hdShdSzdSzyx422222111)coscoscos(hdShdSzdSzyx 上页 下页 返回 退出 说明:例3 设函数u(x,y,z)和v(x,y,z)在闭区域上具有一阶及二阶连续偏导数 是的整个边界曲面 n是的外法线方向 证明dxdydzzvz
4、uyvyuxvxudSnvuvdxdydzu)(符号222zyx称为拉普拉斯算子 222222zvyvxvv 上页 下页 返回 退出 设与n同向的单位向量为(cos cos cos)则 证 将上式右端第二个积分移至左端便得所要证明的等式 例3 设函数u(x,y,z)和v(x,y,z)在闭区域上具有一阶及二阶连续偏导数 是的整个边界曲面 n是的外法线方向 证明dxdydzzvzuyvyuxvxudSnvuvdxdydzu)(dSzvyvxvudSnvu)coscoscos(dSzvuyvuxvucos)(cos)(cos)(dxdydzzvuzyvuyxvux)()()(dxdydzzvzuyv
5、yuxvxuvdxdydzu)(上页 下页 返回 退出 二、通量与散度高斯公式的物理意义 高斯公式 其中vnvnPcosQcosRcos 可以简写成 公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域的流体的总质量 左端可解释为分布在内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量 dSvdvzRyQxPn)(dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()(上页 下页 返回 退出 提示:其左端表示内源头在单位时间单位体积内所产生的流体质量的平均值 提示:其左端表示流体在点M的源头强度单位时间单位体积分内所产生的流体质量 称为v在点M的散度 散度 由积分中值定理得 设的体积为V 由高斯公式得 令缩向一点M(x
6、y z)得 dSvVzRyQxPn1|)(),(dSvVdvzRyQxPVn1)(1 dSvVzRyQxPnM1lim 上页 下页 返回 退出 散度 设某向量场由A(x y z)P(x y z)iQ(x y z)jR(x y z)k 给出 其中P Q R具有一阶连续偏导数 则称为向量场A的散度记作divA 即zRyQxPzRyQxPAdiv 上页 下页 返回 退出 通量 向量场A(x y z)P(x y z)iQ(x y z)jR(x y z)k的散度:设是场内的一片有向曲面 n是上点(x y z)处的单位法向量 则称 为向量场A通过曲面向着指定侧的通量(或流量)散度 dSnA zRyQxPAdiv 上页 下页 返回 退出 通量 向量场A(x y z)P(x y z)iQ(x y z)jR(x y z)k的散度:向量场A通过曲面向着指定侧的通量(或流量):散度 高斯公式的另一形式 zRyQxPAdiv dSdvnAAdiv 或dSAdvnAdiv dSnA 上页 下页 返回 退出 小结ndivAdvA dS3、应用的条件4、物理意义2、高斯公式的实质1、高斯公式()PQRdvPdydzQdzdxRdxdyxyz
