1、1 二重积分的计算二重积分的计算一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分 三、无界区域上的反常二重积分三、无界区域上的反常二重积分 2 在直角坐标系下用平行于坐在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为故二重积分可写为xyo则则一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分3（1）如果积分区域为：）如果积分区域为：X型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy .),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf X型型区域的特点区域的特点：穿
2、过区域且平行于穿过区域且平行于y y轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.4（2）如果积分区域为：）如果积分区域为：Y型型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf Y型型区域的特点区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x x轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.51.当当D既不是既不是X-型区域也不是型区域也不是Y-型区域时型区域时,将将D分分成几部分，使每部分是成几部分，使每部分是X-型区域或是型区域或是Y-型区域型区域.2.当当D既是
3、既是X-型区域也是型区域也是Y-型区域时型区域时,可以可以用两个公式进行计算用两个公式进行计算.yx0yx0cdabD6例例 计算计算dDxy 其中其中D是由直线是由直线y=1,x=2及及y=x所围成的闭区域所围成的闭区域.解法解法1 1：先先y后后x 211dd dxDxyxy yx 2211d2xyxx 2342211d2284xxxxx xyx012y=xy=1x=289 7解法解法2 2：先先x后后y221dd dyDxyxy xy 2221d2yxyy 23422112d28yyyyy yx012y=xx=2 y89 8选取积分次序选取积分次序,不仅要看区域的特点不仅要看区域的特点,
4、而且要看而且要看被积函数被积函数的特点的特点，凡遇如下形式积分凡遇如下形式积分:一定要放在后面积分一定要放在后面积分.,dsinxxx,dsin2xx,dcos2xx,d2xex ,d2xex,lnd xx,dxexy 等等等等9解解23d d,.xDex y Dyxyx 是是第第一一象象限限中中由由直直线线和和围围成成区区域域例例 计算计算),1,1(,)0,0(3 xyxy3xy (1,1)2d dxDex y 22130()dxxxex ex 2310dxxxyex .121 e2310ddxxxxey10解解积分区域如图积分区域如图例例 改变积分改变积分 1100d(,)dxxf x
5、yy 的次序的次序.11例例交换积分次序：交换积分次序：axxaxayyxfx22202d),(d)0(a解解xyOaa2aa2原式原式=xyxfd),(ydxyxfd),(yd xyxfd),(yd12例例 交换积分次序：交换积分次序：解解 积分区域积分区域:xxxyyxfxyyxfx20212010d),(dd),(d2原式原式=10dy xyxfd),(xyO1213例例 求两个底圆半径为求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程分且这两个圆柱面的方程分别为别为 及及222Ryx .222Rzx 解解 d D332R 313168RVV d),(1 DyxfV求所围成的求所围成的立体的体积
6、立体的体积.xoyzoxyRyxRd22 xd14解解曲面围成的立体如图曲面围成的立体如图.,yxz ,xyz ,1 yx,0 x.0 y例例 求由下列曲面所围成的立体体积，求由下列曲面所围成的立体体积，15,10 yx1100d()dxxxyxyy 1301(1)(1)d2xxxx.247 所所围围立立体体在在xoy面面上上的的投投影影是是1 yxxoy2216例例.10,10:)(,|2 yxdxyI为为其中其中计算积分计算积分 解解oxy112xy )(1)(2 I12()dyx 22()dxy 101154 .3011 17二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（
7、在积分中要正确选择在积分中要正确选择积分次序积分次序）小结小结21()()(,)dd(,)d.bxaxDf x yxf x yy 21()()(,)dd(,)d.dycyDf x yyf x yx Y型型X型型（1）化二重积分为二次积分；）化二重积分为二次积分；（2）交换积分次序；）交换积分次序；题型题型181130(1)d1dyyxx 练习题练习题sin(2)d d,.Dyx y Dyx yxy 由由所所围围闭闭区区域域1210/21/2d(,)dd(,)dxxxIxf x yyxf x yy（3 3）交换积分次序）交换积分次序19直角坐标系与极坐标系的变换关系直角坐标系与极坐标系的变换关系
8、sincosryrx两坐标系下积分区域两坐标系下积分区域 形状不变，因此有形状不变，因此有D.)sin,cos(),(DDrdrdrrfdyxf二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分20.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(化为极坐标二次积分的几种情形化为极坐标二次积分的几种情形（1 1）区域特征如图）区域特征如图,).()(21 r21,).()(21 r.)sin,cos()()(21 rdrrrfd Drdrdrrf )sin,cos(AoD)(2r)(1r（2 2）区域特征如图）区域特征如图22A
9、oD)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd,).(0 r Drdrdrrf )sin,cos(（3 3）区域特征如图）区域特征如图23 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积.Drdrd ).(0 rDoA)(r,2 0（4 4）区域特征如图）区域特征如图24解解在极坐标系下在极坐标系下 sincosryrx所所以以圆圆方方程程为为 1 r,直直线线方方程程为为 cossin1 r,Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd25解解在极坐标系下在极坐标系下D：ar
10、0，20.dxdyeDyx 22 arrdred0202).1(2ae 26解解|),(2221RyxyxD 2|),(2222RyxyxD 0,0 yx0,0|),(RyRxyxS 显显然然有有 21DSD ,022 yxe 122Dyxdxdye Syxdxdye22.222 Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR227又又 SyxdxdyeI22 RyRxdyedxe0022;)(202 Rxdxe 1I 122Dyxdxdye Rrrdred0022);1(42Re 同理同理 2I 222Dyxdxdye);1(422Re 28当当 R时时,41 I,42 I故故当当 R时时,4 I
11、即即 20)(2dxex4,所求广义积分所求广义积分 02dxex2.,21III );1(4)()1(4222220RRxRedxee 29解解32 61 sin4 r sin2 rdxdyyxD)(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 yyx422 yyx222 03 yx03 xy30解解 Ddxdyyxyx2222)sin(2120sinrdrrrd431基本解法基本解法：先在有界区域内积分，然后令有先在有界区域内积分，然后令有界区域趋于原无界区域时取极限求解界区域趋于原无界区域时取极限求解.解解 先考虑圆域先考虑圆域|),(222RyxyxD DyxdRI )1()(22三、无界区域上的反常二重积分三、无界区域上的反常二重积分32 2002)1(Rdrrrd 1)1(1112 R当当1 时时 1)(lim RIR 则则 1 I 当当1 时时 )(limRIR 则则原原积积分分发发散散 33练练 习习 题题34
