1、第三讲 定积分应用习题课定积分应用习题课定积分应用习题课一、内容小结二、题型练习定积分应用习题课定积分应用习题课一、内容小结二、题型练习几何应用几何应用物理应用物理应用l平面图形的面积平面图形的面积l体积体积l平面曲线的弧长平面曲线的弧长l变力沿直线作功变力沿直线作功l水压力水压力l引力引力元素法元素法掌握元素法掌握元素法记住某些公式记住某些公式定积分应用习题课定积分应用习题课一、内容小结二、题型练习定积分应用习题课定积分应用习题课一、内容小结二、题型练习二、题型练习二、题型练习（一）面积（二）体积（三）弧长（四）物理应用二、题型练习二、题型练习（一）面积（二）体积（三）弧长（四）物理应用u例
2、例1求由曲线求由曲线y=(x2-1)(x-2)与与x轴轴所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积xoyu例例2 求抛物线求抛物线y=-x2+4x-3及其在点及其在点(0,-3)和和(3,0)处的切线所围图形的面积处的切线所围图形的面积oxy边界曲线为直角坐标方程边界曲线为直角坐标方程u例例3 在曲线在曲线y=e-x上找一点上找一点,平面图形的面积最大平面图形的面积最大,并求出该面积并求出该面积.使过该点的切线与坐标轴所围成的使过该点的切线与坐标轴所围成的xoyu补补1 求抛物线求抛物线21xy在在(0,1)内的一条切线内的一条切线,使它与使它与两坐标轴和抛物线所围图形的两坐标轴和抛物线所围
3、图形的面积最小面积最小.11MBAyx边界曲线为直角坐标方程边界曲线为直角坐标方程u例例4 求由摆线求由摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱的一拱(0t0)及及x轴所围图形绕直线轴所围图形绕直线x=t.)(2)(tftV x)(xfxoytxxdu例例11 设抛物线设抛物线 y=ax2+bx+c通过点通过点(0,0)，且当，且当0 x1时，时，y0.确定确定a,b,c的值的值,使抛物线与直线使抛物线与直线x=1,y=0所围所围图形的面积等于图形的面积等于4/9,且使该图形绕且使该图形绕x轴旋转而成的立体轴旋转而成的立体体积最小体积最小二、题型练习二、题型练习（一）面积（二）
4、体积（三）弧长（四）物理应用二、题型练习二、题型练习（一）面积（二）体积（三）弧长（四）物理应用u例例12求图中阴影部分的求图中阴影部分的 面积及边界长面积及边界长 2yx 032 yxyxo13u例例13 求曲线求曲线 2cos dxyt t 的弧长的弧长 u例例14 设曲线方程为设曲线方程为 11cosd1sin2dttuxuutuyuu 求曲线的弧长求曲线的弧长 二、题型练习二、题型练习（一）面积（二）体积（三）弧长（四）物理应用二、题型练习二、题型练习（一）面积（二）体积（三）弧长（四）物理应用H分析分析建立坐标系如图建立坐标系如图.对应对应d,xxx 上球的薄片提到水面上的功元素上球
5、的薄片提到水面上的功元素 1dWxy d2 提出水面后的功元素提出水面后的功元素2dW)(dg2xRxy xxRxRd)(g22 xxRHxRd)(g)(220 ),(yxxyxo半径为半径为R,密度为密度为 的球沉入深为的球沉入深为H(H 2R)的水池底的水池底,水的密度水的密度需做多少功需做多少功?,0 现将其从水池中取出现将其从水池中取出,g)(0 )(xRH u例例15变力沿直线作功变力沿直线作功选取坐标系如图选取坐标系如图.设斜边长为设斜边长为l,coscotlxy loyxy其方程为其方程为取多大时取多大时,薄板所受的压力薄板所受的压力P最大最大.斜边为定长的直角三角形薄板斜边为定
6、长的直角三角形薄板,垂直放置于水中垂直放置于水中并使一直角边与水面相齐并使一直角边与水面相齐,问斜边与水面交成的锐角问斜边与水面交成的锐角xxxdu例例16分析分析积分区间积分区间:sin,0 l压力元素压力元素:xygxPdd xlxxgd)coscot(2 水压力水压力xyoAB积分变量积分变量:cosdd FFxsyxxyxGd)(222221 sxGd sindd FFy),(yxsd设星形线设星形线taytax33sin,cos 上每一点处线密度的上每一点处线密度的大小等于该点到原点距离的立方大小等于该点到原点距离的立方,在点在点O处有一单位质点处有一单位质点,求星形线在第一象限的弧
7、段对这质点的引力求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.u例例17分析分析t积分区间积分区间:2,0 2222d)(d23yxsyxGF syxGd)(2122 tttGadsincos342 syGd tttGadsincos342 引力引力人有了知识，就会具备各种分析能力，人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说古人说“书中自有黄金屋。书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进鼓舞我们前进。
