1、 南京南京 2019-2020 学年第一学期学年第一学期 12 月高三十校联合调研月高三十校联合调研 数学数学 一、填空题一、填空题：本大题共本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分分. 1.已知集合1,2A，1,2,3B ，则集合AB _. 2.若复数 2 1 i z i （i 是虚数单位）则 z 的实部为_. 3.根据如图所示的伪代码，则输出 Z 的值为_. 4.某校高一、高二、高三年级的学生人数比为3:3:2，为调查该校学生每天用于课外阅读的时间，现按照 分层抽样的方法取若干人，若抽取的高一年级人数为 45 人，则抽取的样本容量为_. 5.函数 2 ln1
2、4yxx的定义域为_. 6.甲、乙两人依次从标有数字 1，2，3 的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字 3 的 卡片的概率为_. 7.在平面直角坐标亲xOy中，若双曲线 22 22 1 xy ab （0a ，0b ）的离心率为 3 2 ，则该双曲线的渐近 线方程为_. 8.已知函数 sin 2 3 f xx ，若函数yx（0 2 ）是偶函数，则_. 9.已知数列 n a是首项为 1， 公差为正数的等差数列， 其前 n 项和为 n S， 若 2 a， 6 a， 22 a成等比数列， 则 10 S _. 10.某种圆柱形的如罐的容积为128个立方单位，当它的底面半径和高的比值为
3、_.时，可使得所用材 料最省. 11.在平面直角坐标系xOy中，已知直线 l：30xym，点3,0A，动点 P 满足 22 27POPA. 若 P 点到直线 l 的距离恒小于 8，则实数 m 的取值范围_. 12.如图，在ABC中，3AB ，2AC ，2BDDC，E 为AC的中点，AD与BE交于点 F，G 为 EF的中点.AG CF_. 13.已知0a ，0b ，且 31 126ab ab ，则 3 ab ab 的最大值为_. 14.已知偶函数 fx满足44fxfx，且当0,4x时 x x f x e ，关于 x 的不等式 2 0fxaf x在区间400,400上有且仅有 400 个整数解，则
4、实数 a 的取值范围_. 二二、解答题解答题：本大题共本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分分. 15.（本小题满分 14 分） 已知分别为ABC三个内角 A、B、C 的对边，且 3 tan 4 A （1）若 6 5 a ，2b ，求边 c 的长； （2）若 10 sin 10 AB，求tanB的值 16.（本小题满分 14 分） 如图， 在斜三棱柱 111 ABCABC中， 已知ABC为正三角形， D， E分别是AC， 1 CC的中点， 平面 11 AAC C 平面ABC， 11 AEAC. （1）求证：DE平面 11 ABC； （2）求证： 1 AE 平面BDE. 17.（本小题满分
5、 14 分） 如图，已知椭圆 22 22 1 xy ab （0ab）的焦点到相应准线的距离为 3，离心率为 1 2 ，过右焦点 F 作两 条互相垂直的弦AB、CD，设AB，CD的中点分别为 M、N. （1）求椭圆的标准方程； （2）若弦AB，CD的斜率均存在，且OMF和ONF的面积分别为 1 S， 2 S，试求当 12 S S最大时的方 程. 18.（本小题满分 16 分） 如图，某湿地公园的鸟瞰图是一个直角梯形，其中：ABCD，ABBC，75DAB，AD长 1 千 米，AB长2千米，公园内有一个形状是扇形的天然湖泊DAE，扇形DAE以AD长为半径，弧DE为 湖岸，其余部分为滩地，B，D 点是
6、公园的进出口.公园管理方计划在进出口之间建造一条观光步行道：线段 BQ线段QP弧PD， 其中 Q 在线段BC上 （异于线段端点） ，QP与弧DE相切于 P 点 （异于弧端点 根据市场行情BQ，OP段的建造费用是每千米 10 万元，湖岸段弧PD的建造费用是每千米 2021 3 万 元（步行道的宽度不计），设PAE为弧度观光步行道的建造费用为w万元. （1）求步行道的建造费用w关于的函数关系式，并求其走义域； （2）当为何值时，步行道的建造费用最低？ 19.（本小题满分 16 分） 已知函数 32 32f xxxx， g xtx，tR. （1）求函数 x fxe x x 的单调增区间； （2）令
7、h xf xg x，且函数 h x有三个彼此不相等的零点 0，m，n，其中mn. 若 1 2 mn，求函数 h x在 xm处的切线方程； （2）若对,xm n ， 16h xt恒成立，求实数 t 的去取值范围. 20.（本小题满分 16 分） 已知等差数列 n a的前 n 项和 n S， 且满足 2 3a ， 24 20SS， 数列 n b是首项为 2， 公比为 q （0q ） 的等比数列. （1）求数列 n a的通项公式； （2）设正整数 k，t，r 成等差数列，且ktr ，若 11krrk ababab，求实数 q 的最大值； （3）若数列 n c满足 ,21 ,2 k n k a nk
8、c b nk ，kN ，其前 n 项和为 n T，当3q 时，是否存在正整数 m， 使得 2 21 m m T T 恰好是数列 n c中的项？若存在，求岀 m 的值；若不存在，说明理由. 21.【选做题】在【选做题】在 A、B、C 三小题中只能选做三小题中只能选做 2 题，每小题题，每小题 10 分，共计分，共计 20 分分.请在请在答卷卡指定区域内答卷卡指定区域内 作答作答. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换 已知点2,2P，在矩阵 2 1 a M b 对应的变换作用下变为点4,6Q. （1）求 a
9、和 b 的值； （2）若直线 l 在 M 对应的变换作用下变为直线20xy，求直线 l 的方程. B.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中， 已知直线 l 的参数方程为 1 , 2 3 2, 2 xt yt （t 为参数） ， 在以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程是 4 2sin 4 . （1）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 C 相交于两点 A，B，求线段AB的长. C.选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 设函数 22f xx
10、x， 若不等式242ababa fx对任意 a，bR， 且0a恒成立， 求实数 x 的取值范围. 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分分.请在请在答卷卡指定区域内答卷卡指定区域内 作答作答.解答应写出文字说明、解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. 22.（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 C： 2 2ypx（0p ）的焦点 F 在直线10xy 上，平行于 x 轴的两条直线 1 l， 2 l分别交抛物线 C 于 A，B 两点，交该抛物线的准线于 D，E 两点. （1）求抛物线 C
11、 的方程； （2）若 F 在线段AB上，P 是DE的中点，证明：APEF. 23.（本小题满分 10 分） 甲、乙两人用一颗均匀的骰子（一种正方体玩具，六个面分别标有数字 1，2，3，4，5，6）做抛掷游戏， 并制定如下规则：若掷出的点数不大于 4，则由原掷骰子的人继续掷，否则，轮到对方掷.已知甲先掷 （1）若共抛掷 4 次，求甲抛掷次数的概率分布和数学期望； （2）求第 n 次（2n，nN ）由乙抛掷的概率. 20192020 学年第一学期学年第一学期 12 月高三联合调研月高三联合调研 数学参考答案数学参考答案 注意事项：注意事项： 1.本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题第 14 题
12、） 、解答题（第 15 题第 20 题）两部分.本试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟. 2.答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上.试题的答案写在答题卡 上对应题目的答案空格内.考试 结束后，交回答题卡. 一、填空题一、填空题 1.1,1,2,3 2.1 3.10 4.120 5.1,2 6. 1 3 7. 5 2 yx 8. 5 12 9.145 10. 1 2 11.【答案】9,3 解析：设,P x y P E D B A F O y x 2 222 237xyxy 即 2 2 325xy记为圆 C P 到直线 l 的距离恒小于 8 则 C 到直线 l 的距高恒小于 3
13、 3 3 2 m 93m 老师说：常见的 15 种隐圆，同学们要熟悉。隐圆是江苏的特色，是代数与几何的交汇. 12.【答案】 3 4 解析：设 21 33 AFxADxABAC 2 32 xx ABAC F，E，B 三点共线 则1AFmABm AE 1 2 m mABAC 2 3 1 32 x m xm 解得 3 4 x 11 24 AFABAC 1113 2448 AGAFAEABAC 13 24 CFCAAFABAC 1 1313 2 2424 AG CFABACABAC 221 19 2 416 ABAC 1 193 34 2 4164 老师说：向量难题的八大法宝，同学们要熟悉. 13.
14、【答案】 1 9 解析：令 31 t ab 12abbt 2 12ab tbtt 2 31 12abbtt ab 2 36 312 ab btt ba 2 276tt 2 6270tt 930tt 9t 11 13 39 ab ab ba 老师说：此不等式迂回曲折耐人回味，锤子老师共总结了 15 种不等式通法在后续的网课中会和同学们详细 讲解不等式作为 C 级考点，往往会和其他模块结合，使题目难度倍增就本题而言，我们断言最值必然在条 件取等号的时候取到按照这个思路去做的话，问题的难度会减小很多，同学们可以加以尝试 14.【答案】 31 22 3e, e 解析：44f xfx 则 8f xfxf
15、 x f x 周期为 8 在400,400上有100个周期 2 0fxaf x在400,400上有且仅有 400 个整数解 2 0fxaf x在0,8有且仅有 4 个整数解 04x时 1 1 2 0 x x f x e ，2x fx在0,2，2,4 其中 2 2f e ，作出 fx在0,4图像 又44f xfx，则 fx关于4x 看得到 fx在4,8图像 如图 1 1f e 3 31ff e e 2 0fxaf x有 4 个整数解 而 f xa 有 4 个整数解 则 13 a ee e 31 a e ee 老师说：函数填空题难题要注意和挖掘常见的性质此外考察了嵌套函数零点问题这样的套路题，不仅
16、要做 对，还要注意解题的速度和效率. 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分分.请在请在答题卡指定区域内答题卡指定区域内 作答，解答时应写出文字说明、证明过作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤程或演算步骤. 15.（本小题满分 14 分） 解： （1）在ABC中，由 3 tan 4 A可知0, 2 A 由 22 sin3 cos4 sincos1 A A AA 解得 3 sin 5 4 cos 5 A A 由余弦定理， 222 2cosabcbcA得 2 22 64 22 2 55 cc ，即 2 1664 0 525 cc 解得 8 5 c
17、（2）由0, 2 A 且0,B，得, 2 AB 又 10 sin0 10 AB，则0, 2 AB ，则cos0AB 所以 2 3 10 cos1 sin 10 ABAB 所以 sin1 tan cos3 AB AB AB 所以 31 tantan1 43 tantan 3 1 1tantan3 1 4 3 AAB BAAB AAB 注： （2）中无角的范围扣 1 分。 16.（本小题满分 14 分） 证明： （1）D，E 分别是AC， 1 CC的中点 1 DEAC DE 平面 11 ABC， 1 AC 平面 11 ABC DE平面 11 ABC （2）ABC为正三角形，且 D 是AC的中点 B
18、DAC 平面 11 AAC C 平面ABC，且平面 11 AAC C 平面ABCAC BD 平面ABC BD平面 11 AAC C 1 AE 平面 11 AAC C 1 BDAE 11 AEAC且 1 DEAC 1 AEDE DE，BD 平面BDE且DEBDD 1 AE 平面BDE 17.（本小题满分 14 分） 解： （1）由题意： 2 3 a c c ， 1 2 c e a ，则2a ，1c ，3b ， 所以椭圆的方程为 22 1 43 xy . （2）法（一） ：1,0F，因为AB，CD斜率均存在， 设直线AB方程为：1xmy（0m ） ， 11 ,A x y， 22 ,B xy 由 2
19、2 1, 3412, xmy xy 得 22 34690mymy， 所以 12 2 6 34 m yy m ， 12 2 9 34 y y m ， 故 12 2 3 234 M yym y m ， 将上式中的 m 换成 1 m ，则同理可得 2 3 43 N m y m . 所以 1 2 31 22 34 M m SOFy m ， 2 2 31 22 34 N m Sy m ， 2 12 42 2 2 991 14 4 122512 1225 m S S mm m m ， 因为 2 2 1 2m m ，当且仅当 2 2 1 m m 即1m 时取等号， 即1m 时 12 S S最大， 此时直线A
20、B的方程为10xy . 法（二） ：1,0F，因为AB，CD斜率均存在， 设直线AB方程为：1yk x（0k ） ， 11 ,A x y， 22 ,B xy， 1212 ,1 22 xxxx Mk ， 由 22 1 , 3412, yk x xy 得 2222 3484120kxk xk， 所以 2 12 2 8 34 k xx k ， 2 12 2 412 34 k x x k 故 2 22 43 , 3434 kk M kk ， 将上式中的 k 换成 1 k ，则同理可得 22 43 , 34 34 k N kk ， 所以 1 2 31 22 34 M k SOFy k ， 2 2 31
21、22 34 N k SOFy k 2 12 42 2 2 991 14 4 122512 1225 k S S kk k k ， 因为 2 2 1 2k k ，当且仅当 2 2 1 k k 即1k 时取等号， 即1k 时 12 S S最大， 此时直线AB的方程为10xy 或10xy . 18.（本小题满分 16 分） 解析： （1）建系如图，cos ,sinP， 2,0B，直线PQ：cossin1xy， 12cos 2, sin Q ， 所以 12cos sin BQ ， 2cos sin PQ ， 弧PD长 5 12 ， 所以 2021 12cos2cos5 10 sinsin312 w ，
22、 化简得 1 cos2 5 1021 sin3 12 w ， 定义域： 5 , 4 12 . （2）令 1 cos2 5 sin3 12 f ， 求导得 2 1 cos2 sin3 f ， 令 2 1 cos2 0 sin3 f ， cos1（舍去） ， 1 cos 2 ， 3 ， , 4 3 3 5 , 3 12 f 0 f 极小值 所以当 3 时， f最小，即 w 最小. 答：当 3 时，步行道的建造费用最低. 注：1.求PQ的长的方法较多，请酌情给分； 2.（1）中定义域求错，在（2）中不影响答案者，整体扣 2 分. 19.（本小题满分 16 分） 解： （1） 2 32 x yf xx
23、xxe 所以 2 1 x yxxe 令0y 得到 15 2 x 或 15 2 x 所以 yf xx的单调增区间是 15 , 2 ， 15 , 2 . （2）由方程 0h x ，得 m，n 是方程 2 320xxt的两实根，故3mn，2mnt，且由 判别式得 1 4 t . 若 1 2 mn，得1m，2n ，故22mnt ，得0t 。 因此 11 h ，故函数 h x在1x 处的切线方程为1yx 若对任意的,xm n，都有 16h xt成立，所以 max16h xt.因为3mn，mn，所以 3 0 2 mn或0mn. 当 3 0 2 mn时，对,xm n有 max0h x，所以016t，解得16
24、t .又因为20mnt ，得 2t ，则有 1 2 4 t ； 当0mn时， 2 362h xxxt，则存在 h x的极大值点 1 ,0xm，且 2 11 362txx. 由题意得 32 1111 3216h xxxt xt，将 2 11 362txx代入得 32 111 3370xxx进而得到 3 1 18x ，得 1 10x .又因为 2 11 362txx，得211t . 综上可知 t 的取值范围是 1 2 4 t 或211t . 20.（本小题满分 16 分） 解：（1）等差数列中， 2 3a ， 24 20SS， 1 11 3 24620 ad ada 解得 1 1a ，2d ，21
25、 n an. （2）正整数 k，t，r 成等差数列，且ktr ，若 kttrrk ababab， 111 212212212 trk kqtqrq ， 11tr tkqq ， 11rk rtqq 又tkrt 1111trrk qqqq 整理可得2 tkr qqq. 210 r kt k qq . 又tkrt，2rktk ， 令tkn，则 2 210 nn qq ， 1 2 n q 或 1. 又1q ， 1 2 n q . n 为奇数，10q ， 1 1 2 n q 为递减数列 当1n 时，q 取最大值 1 2 . （3）由题意得 2 2 2 1 3 1 21 31 21 3 m m m mm
26、Tm 2112 212 31 2 331 mmm mmm TTcmm . 2 2 2 1212 21 21 31 33 3131 m m mm m m Tm Tmm 若 2 21 m m T T 恰好是数列 n c中的项只能为 1 c， 2 c， 3 c， 第一类：若 2 1 21 1 m m T c T ，则 1 30 m ，所以 m 无解； 第二类：若 2 21 21 2 m m T cb T ，则 12 310 m m . 由题意1m不符合题意，2m 符合题意. 当3m时，令 12 31 m f mm ， 则 1 3ln32 m fmm ， 设 1 3ln32 m g mm ，则 2 1
27、 3ln320 m g m ， 即 fm 为增函数，故 30fmf ， f m为增函数. 故 310f mf ， 当3m时， 12 310 m m 无解， 即2m 是方程唯一解. 第三类：若 2 32 21 3 m m T ca T ，则 2 1m ，即1m 综上所述，1m或2m . 21.【选做题】在【选做题】在 A、B、C 三小题中只能选做三小题中只能选做 2 题，每小题题，每小题 10 分，共计分，共计 20 分分.请在请在答卷卡指定区域内答卷卡指定区域内 作答作答. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与
28、变换 解： （1） 224 126 a b ， 424 226 a b 解得 0 2 a b ， 0a ；2b. （2）由（1）知 20 21 M ， M T ： 202 212 xxx yyxy ， 设直线 l 上任意一点 00 ,P xy经矩阵 M 变换为,P x y， 则 0 00 2 2 xx yxy . 20xy， 000 22 20xxy即 00 30xy， 直线 l 的方程为30xy. B.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 解： （1）由题意可得直线 l：320y， 由4 2sin 4 ，得 2 4 cos4 sin，即 22 44xyxy， 所以曲线 C：
29、22 228xy. （2）由（1）知圆 C 半径2 2r ，又 2 322 3 2 d ， 所以 22 22 832 5ABrd. C.选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 解： 2422425ababababa 又0a ，0a，由题意，得 5 aa f x 5f x ，可得 5 2 x 或 5 2 x x 的取值范围是 5 2 x 或 5 2 x 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分分.请在请在答卷卡指定区域内答卷卡指定区域内 作答作答.解答应写出文字说明、解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. 22
30、.（本小题满分 10 分） 解： （1）抛物线 C 的焦点 D 坐标为,0 2 p ，且该点在直线10xy 上， 所以10 2 p ，解得2p 故所求抛物线 C 的方程为 2 4yx （2）解法一： 由点 F 在线段AB上， 可设直线 1 l， 2 l的方程分别为ya和yb且0a ，0b ，ab. 则 2 , 4 a Aa ， 2 , 4 b Bb ，1,Da，1,Eb P 是DE的中点，1, 2 ab P 直线AB的方程为 2 22 4 44 baa yax ba 即40xab yab 又点1,0F在线段AB上，4ab 22 4 2 2 4 1 42 AP ab aa a k aaa 4 2
31、 22 EFAP b a kk a 由于AP，EF不重合，所以APEF 解法二： 设 11 ,A x y， 22 ,B xy，则 12 1, 2 yy P 当直线AB的斜率为 0 时，不符合题意，故可设直线AB的方程为1xmy 联立直线AB和抛物线 C 的方程 2 1 4 xmy yx 得 2 440ymy 又 1 y， 2 y为该方程两根，所以 12 4yym， 12 4y y 112 12 11 1 2 121 AP yyy yy k xx 2 2 EF y k 2 11 121 1221 121 1111 4 1 44 0 21111 APEF yy yyy yyyxyy x kk xx
32、xx EFAP kk 由于AP，EF不重合，所以APEF 备注：利用抛物线定义从几何角度得出EFDF，利用APAF，PDPF得出APDE，进而得出 APEF酌情给分. 23.（本小题满分 10 分） 解： （1）由已知，掷出的点数不大于 4 的概率为 2 3 ，大于 4 的概率为 1 3 抛掷 4 次，设甲抛掷次数为，的可能取值为 1，2，3，4 1 2 24 1 3 3 327 P， 2 1 21 1 11 2 17 2 3 3 33 3 33 3 327 P， 2 2 12 1 11 1 28 3 3 3 33 3 33 3 327 P， 2 2 28 4 3 3 327 P， 1 2 3
33、 4 P 4 27 7 27 8 27 8 27 则 478874 1234 2727272727 E （2）设第 n 次（2n，nN ）由乙抛掷的概率为 n P 第 n 次（2n，nN ）由乙抛掷这个事件包含第1n次由乙抛掷，第 n 次仍由乙抛掷和第1n次由甲 抛掷，第 n 次由乙抛掷这两个互斥的事件， 所以， 111 2111 1 3333 nnnn PPPP （3n） 所以， 1 111 232 nn PP （3n） ，又 2 1 3 P ，所以， 2 11 26 P 所以，当2n，nN 时， 1 2 n P 为等比数列， 则 2 111 263 n n P ，所以， 2 111 263 n n P 答：第 n 次（2n，nN ）由乙抛掷的概率 2 111 263 n n P .
