1、准北市 2020 届高三第一次模拟考试 数学（理科）试题 注意事项： 1.本试卷分第卷（选择題）和第卷（非选择题）两部分，满分 150 分.考试时间为 120 分钟. 2.本试卷分试题卷和答题卷，全部答案应填在答题卷相应的空格内，做在本试题上的无效. 3.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡相应的位置. 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，在每小题所给的四个选项中只有一项符合题意） 1.已知集合1,2,3A， |(1)(2)0,BxxxxZ，则AB（ ） A.1 B.0,1 C.0,1,2,3 D. 1,0,1,2,3 2.已知复数 13 2
2、2 i，i为虚数单位，则 2 的实部为（ ） A.1 B. 1 2 C. 3 2 D. 1 2 3.已知锐角满足 3 sin 23 ，则tan2（ ） A.2 B.2 2 C.2 2 D.2 4.国庆 70 周年庆典磅礴而又欢快的场景，仍历历在目.已知庆典中某省的游行花车需要用到某类花卉，而该 类花卉有甲、 乙两个品种， 花车的设计团队对这两个品种进行了检测.现从两个品种中各抽测了 10 株的高度， 得到如下茎叶图.下列描述正确的是（ ） A.甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，且甲品种比乙品种长的整齐 B.甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，但乙品种比甲品种长的整齐 C.乙品种的平均高度
3、大于甲品种的平均高度，且乙品种比甲品种长的整齐 D.乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，但甲品种比乙品种长的整齐 5.已知圆 222 :(0)C xyrr直线1:2x ，则“13r ”是“C上恰有两个不同的点到l的离为 1”的 （ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 6. 若 函 数 1 ()(1) x fxkaa （0a 且1a ） 在R上 既 是 奇 函 数 又 是 减 函 数 ， 则 函 数 ( )log () a f xxk的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7.已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点为
4、(4,0)F，点(0, 3)Q，P为双曲线左支上的动点，且 PQF周长的最小值为 16，则双曲线的离心率为（ ） A.2 B. 4 3 C. 3 2 D. 5 2 8.已知 5 1 log3 2 a ， 5 2log2b ， 7 log 3c ，则（ ） A.acb B.abc C.cab D.cba 9.关于函数 22 ( )cossin1f xxx，下列说法正确的是（ ） A.函数( )f x以为周期且在() 2 k xkZ 处取得最大值 B.函数( )f x以 2 为周期且在区间, 4 2 单调递增 C.函数( )f x是偶函数且在区间, 4 2 单调递减 D.将( )f x的图像向右平
5、移 1 个单位得到( ) |cos(21)| 1g xx 10.函数 ( ) ( )g xyf x在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到ln( ) ln( )yg xf x，然后 两边同时求导得 ( ) ( )ln( )( ) ( ) yfx g xf xg x yf x ， 于是 ( ) ( ) ( )( )ln( )( ) ( ) g x fx yf xg xf xg x f x ， 用 此法探求 1 1 (1)(0) x yxx 的递减区间为（ ） A.(0, ) e B.(0,1)e C.(1,)e D.( ,)e 11.淮北市第一次模拟考试理科共考语文、数学、英语、物理化学
6、、生物六科，安排在某两日的四个半天考 完，每个半天考一科或两科.若语文、数学、物理三科中任何两科不能排在同一个半天，则此次考试不同安 排方案的种数有（同一半天如果有两科考试不计顺序） A.648 B.1728 C.864 D.324 12.已知等差数列 n a满足 22 59 10aa，则 12345 aaaaa的最大值为（ ） A.5 5 B.20 C.25 D.100 第卷 二、填空题（本题共 4 小题每小题 5 分，共 20 分） 13.在边长为 2 的正ABC中，D为BC中点，则AB AD_. 14.从抛物线 2 4yx图象上一点A作抛物线准线的垂线，垂足为B，且| 5AB ，设F为抛
7、物线的焦点， 则ABF的面积为_. 15.设函数 2019,0 ( ) 2020,0 x ex f x x ，则满足 2 3( 2 )fxfx的x取值范围是_. 16.已知直线m与球O有且只有一个公共点 ，从直线m出发的两个半平面、截球O所得两个截面圆的 半径分别为 1 和 2，二面角m的平面角为120，则球O的表面积等于_. 三、解答题（本大题共 6 小题共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分 10 分）已知ABC的面积为S，且AB ACS. （）求 22 sincos5sin2 22 AA A的值； （）若角, ,A B C成等差数列，| 4CBCA求A
8、BC的面积S. 18. （本小题满分 12 分） 在直角梯形ABCD（如图 1） ，90ABC ，/ /BCAD，8AD ，4ABBC， M为线段AD中点.将ABC沿AC折起，使平面ABC 平面ACD，得到几何体BACD（如图 2）. （）求证：CD 平面ABC； （）求AB与平面BCM所成角的正弦值. 19.（本小题满分 12 分）已知数列 n a的前n项和 2 n Snn，等比数列 n b的公比(1)q q ，且 345 28bbb， 4 2b 是 3 b和 5 b的等差中项. （）求 n a和 n b的通项公式； （）令 2 1 1 nn n cb a ， n c的前n项和记为 n T，
9、若2 n Tm对一切 * nN成立，求实数m的最大值. 20.（本小题满分 12 分）有着“中国碳谷”之称的安徽省淮北市，名优特产众多，其中“塔山石榴”因其青皮软 籽、籽粒饱满、晶莹剔透、汁多味甘而享誉天下。现调查表明，石榴的甜度与海拔、日照时长、昼夜温差 有着极强的相关性，分别用abc、 、表示石榴甜度与海拔、日照时长、温差的相关程度，并对它们进行量 化：0 表示一般，1 表示良，2 表示优，再用综合指标abc的值评定石榴的等级，若4则为一级； 若23剟则为二级；若01剟则为三级.f近年来，周边各地市也开始发展石榴的种植，为了了解目前石 榴在周边地市的种植情况，研究人员从不同地市随机抽取了
10、12 个石榴种植园，得到如下结果： 种植园编号 A B C D E F ( , , )a b c (1,0,0) (2,2,1) (0,1,1) (2,0,2) (1,1,1) (1,1,2) 种植园编号 G H I J K L ( , , )a b c (2,2,2) (0,0,1) (2,2,1) (0,2,1) (1,2,0) (0,0,2) （k）若有石榴种植园 120 个，估计等级为一级的石榴种植园的数量； （）在所取样本的二级和三级石榴种植园中任取 2 个，表示取到三级石榴种植园的数量，求随机变量 的分布列及数学期望. 21.（本小题满分 12 分）已知椭圆 22 22 :1(0)
11、 xy ab ab 过点(1,1)M离心率为 2 2 . （）求的方程； （）如图，若菱形ABCD内接于椭圆，求菱形ABCD面积的最小值. 22.（本小题满分 12 分）已知函数( )sinln(1)f xxax，aR，( )fx 是( )f x的导函数. （）若2a ，求( )f x在0x 处的切线方程； （）若( )f x在, 4 2 可上单调递增，求a的取值范围； （）求证：当 2 01 2 a 时( )fx 在区间1, 2 内存在唯一极大值点. 2020 淮北第一次模拟理科数学参考解答及评分标准 说明： 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，或受篇幅
12、限制、或考 虑问题还不够周全，遇多种解法时，一般提供最能体现试题考查意图的最常规和最典型的解法。如果考生 的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视 影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应酌情给分数；如果后继部分的解答有较严 重的错误，就不再给分. 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数。选择题和填空题不给中间分. 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D B D C
13、A B A B C A C 二、填空题 13.3 14.10 15.(,31,) 本题写集合或不等式均可得分 16. 112 3 三、解答题 17.解： （1）设ABC中A BC、 、的对边分别为abc、 、， AB ACS及 1 sin 2 SbcAtan2A， 2 5 sin 5 A ， 5 cos 5 A . 2 分 22 sincos5sin2cos2 5sincos5 22 AA AAAA 5 分 （2）2BAC，ABC， 3 B 从而有 2 515 sinsin()sincoscossin 10 CABABAB |4CBCAc 由正弦定理 sinsin cb CB 得8 1512
14、5b 8 分 所以 1 sin32 348 2 SbcA 10 分 18.解： （）由题设可知4 2AC ，4 2CD ，8AD 222 ADCDACCDAC 又平面ABC 平面ACD，平面ABC平面ACDAC CD 面ABC. 5 分 （）法一、等体积法 取AC的中点O连接OB，由题设可知ABC为等腰直角三角形，所以OB 面ACM B ACMA BCM VV 且 116 2 33 B ACMACM VSBO 而4 3 BCM S A到面BCM的距离 4 6 3 h ， 所以 6 sin 3 h AB . 12 分 法二、向量法 取AC的中点O连接OB，由题设可知ABC为等腰直角三角形，所以O
15、B 面ACM，连接OM，因为 MO、分别为AB和AC的中点，所以/ /OMCD，由（1）可知OMAC，故以OMOCOB、所在 直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则(0, 2 2,0)A，(0,0,2 2)B，(0,2 2,0)C，(2 2,0,0)M (0, 2 2,2 2)CB (2 2, 2 2,0)CM (0, 2 2, 2 2)BA 面BCM的一个法向量(1,1,1)n 8 分 |6 sin 3| BA n BA n 12 分 本题方法较多以上仅为参考 19.解:（1）1n 时， 11 2aS， 当2n 时 1 2 nnn aSSn 也符合上式， 所以 * 1 22
16、 n aan nN， 3 分 又 345 28bbb和 435 22bbb，得 4 8b ，2q 或 1 2 q 。 1q 2q . 1 2n n b ， * nN 6 分 没有注明n取值范围的扣 1 分。 （2） 11 22 11111 22 1412 2121 nn nn n cb annn 11 2 422 n n T n 9 分 而 n T随着n的增大而增大，所以 1 8 22 3 n TT 8 故有m最大值为 8 3 。 12 分 20 解： （1）计算 12 个石榴种植园的综合指标，可得下表 编号 A B C D E F G H I J K L 综合指标 1 5 2 4 3 4 6
17、 1 5 3 3 2 由上表可知等级为一级的有 5 个， 所以等级为一等的频率为 5 12 ， 所以 120 个石榴种植园中一级种植园约有 50 个； 6 分 （2）由题意可以取 0、1、2， 其中 02 25 2 7 10 (0) 21 C C p C ， 11 25 2 7 10 (1) 21 C C p C ， 20 25 2 7 1 (2) 21 C C p C 9 分 的分布列为 0 1 2 P 10 21 10 21 1 21 故 101014 ( )012 2121217 E 12 分 21.解： （1）由题意得 22 11 1 2 2 ab c a 又 222 abc 解得 2
18、 3a ， 2 3 2 b 。 所以的方程为 22 1 3 3 2 xy 5 分 （2）当OA与x轴或y轴重合时，可求菱形ABCD的面积为 1 2 363 2 2 ； 6 分 当OA为(0)ykx k时，BD为 1 yx k ，由 22 2 1 33 xy ykx 得 22 1230kx， 所以由弦长公式得 2 2 22 121 |12 3 1212 k ACk kk ， 同理可得 2 2 1 | 2 3 2 k BD k 8 分 所以菱形ABCD的面积为 2 2 22 1 1 | 6 2221 k SAC BD kk 2 42 2 2 111 66(0) 4 241042 410 k k k
19、k k k 10 分 2 2 4 41018k k 4S ，当且仅当1k 时取等号。 43 2ABCD菱形面积的最小值为 4. （说明：本题也可三角换元法或求导法求最小值） 12 分 22.解： （1） 2 ( )cos 1 fxx x ， (0)1f ，又(0)0f ( )f x在0x 处的切线方程为0yx； 4 分 （2）( )cos0 1 a fxx x (1)cosaxx 令( )(1)cosh xxx，, 4 2 x ，则( )cos(1)sinh xxxx 2 cos 2 x ， 22 (1)sin1 242 xx ，( )0h x ， ( )h x在, 4 2 上单调递减，( )
20、0 2 h xh ，0a 8 分 （2）( )cos 1 a fxx x 令( )cos 1 a g xx x ，1, 2 x 2 ( )sin (1) a g xx x ， 显得( )g x 在1, 2 上单调递减，而 2 01 2 a 得 2 10 2 1 2 a g ， 取 0 1 2 a x ，则 0002 sin4sin30 11 2 a gxxx a 故存在1, 2 m 使( )0g m （证明有根的取点方法有很多种） 即( )g x在( 1,)xm 上单调递增，在, 2 xm 上单调递减 也即m为( )g x的极大值点 所以当 2 01 2 a 时，( )fx 在区间1, 2 内存在唯一极大值点. 12 分
