1、高考数学（理）必考热点新题精选练习：高考数学（理）必考热点新题精选练习： 坐标系与参数方程 1.已知在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为(为参 数),以 x 轴的非负半轴为极轴,原点 O 为极点建立极坐标系,两种坐标系中取相 同的长度单位,若直线= 和=(R)分别与曲线 C 相交于 A,B 两点(A,B 两点异于坐标原点). (1)求曲线 C 的普通方程与 A,B 两点的极坐标. (2)求直线 AB 的极坐标方程及ABO 的面积. 2.在直角坐标系 xOy 中,直线l 的参数方程为(t 为参数),曲线C1的参 数方程为(为参数),以该直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的 非负
2、半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为=2cos -2sin . (1)分别求曲线 C1的极坐标方程和曲线 C2的直角坐标方程; (2)设直线 l 交曲线 C1于 O,A 两点,交曲线 C2于 O,B 两点,求|AB|的长. 3.已知曲线 C 的参数方程为 (为参数),设直线 l 的极坐标方程 为 4cos +3sin -8=0. (1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程,并指出其曲线是什么曲线. (2)设直线 l 与 x 轴的交点为 P,Q 为曲线 C 上一动点,求 PQ 的最大值. 4.在极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为cos =4,曲线 C 的极坐标方程为 =2cos +2s
3、in ,以极点为坐标原点 O,极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系, 射线 l:y=kx(x0,0k1)与曲线 C 交于 O,M 两点. (1)写出直线 l 的直角坐标方程以及曲线 C 的参数方程. (2)若射线 l与直线 l 交于点 N,求的取值范围. 5.在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲 线 C1:cos =3,曲线 C2:=4cos . (1)求 C1与 C2交点的极坐标. (2)设点 Q 在 C2上,=,求动点 P 的极坐标方程. 6.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为(t 为参数),它 与曲线 C:(y-2) 2-x2=
4、1 交于 A,B 两点. (1)求|AB|的长. (2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中,设点 P 的极坐标为 ,求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离. 答案与解析答案与解析 1.【解析】(1)因为曲线 C 的参数方程为(为参数), 所以消去参数得曲线 C 的普通方程为 x 2+y2-2y=0, 因为 x=cos ,y=sin , 代入曲线 C 可得 C 的极坐标方程:=2sin . 将直线= ,=代入 C 的极坐标方程可知:1=,2=1, 故 A,B 两点的极坐标为 A,B. (2)由 x=cos ,y=sin 得:A,B,根据两点式可知直线 AB 的方程为:y=x
5、+1, 所以 AB 的极坐标方程为sin=. 由题意知ABO 为直角三角形,且|OA|=,|OB|=1, 故 SABO= =. 2.【解析】解法一:(1)曲线 C1:(为参数)可化为直角坐标方 程:(x-2) 2+y2=4, 即 x 2+y2-4x=0,可得2-4cos =0, 所以曲线 C1的极坐标方程为:=4cos . 曲线 C2:=2cos -2sin ,即 2=2 cos -2sin , 则 C2的直角坐标方程为:(x-) 2+(y+1)2=4. (2)直线 l 的直角坐标方程为 y=-x, 所以 l 的极坐标方程为=(R). 联立,得A=-2, 联立,得B=-4, |AB|=|A-B
6、|=4-2. 解法二:(1)同解法一 (2)直线 l 的直角坐标方程为 y=-x, 联立,解得 A(3,-), 联立,解得 B(2,-2), 所以|AB|=4-2. 3.【解析】(1)因为曲线 C 的参数方程为(为参数),所以 由得 y-1=sin , 所以式平方+式平方得:x 2+(y-1)2=1, 所以曲线 C 的普通方程为:x 2+(y-1)2=1,曲线 C 是以坐标(0,1)为圆心,半径 r=1 的圆; (2)因为直线 l 的极坐标方程为 4cos +3sin -8=0 且cos =x, sin =y,所以 4x+3y-8=0, 所以直线 l 的方程为 4x+3y-8=0, 当直线 l
7、:4x+3y-8=0 与 x 轴的交点为 P, 即当 y=0 时,x=2, 所以 P 点坐标为(2,0), 所以曲线 C 的圆心(0,1)到点 P(2,0)的距离为=, 因为 Q 为曲线 C 上一动点,且曲线 C 的半径为 1, 所以 PQ 的最大值为+1. 4.【解析】(1)因为直线 l 的极坐标方程为cos=4, 所以直线 l 的直角坐标方程为 x=4, 因为曲线 C 的极坐标方程为=2cos +2sin , 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x 2+y2-2x-2y=0,即(x-1)2+(y-1)2=2. 所以曲线 C 的参数方程为,(为参数). (2)设 M(1,),N(2,),则1=2
8、cos +2sin ,2=, 所以= = (sin 2+cos 2)+ = +sin+ , 所以 sin+ , 所以的取值范围是. 5.【解析】(1)联立cos =, 因为 0 ,= ,=2, 所以所求交点的极坐标为. (2)设 P(,),Q(0,0)且0=4cos 0,0, 由已知=, 又=-, 所以= (-),得=,得 所以 =4cos ,所以点 P 的极坐标方程为=10cos ,. 6.【解析】(1)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得 7t 2+60t-125=0, 设 A,B 对应的参数分别为 t1,t2,则 t1+t2=-,t1t2=-. 所以|AB|=|t1-t2|=. (2)由 P 的极坐标为,可得 xP=2cos =-2,yP=2sin =2. 所以点 P 在平面直角坐标系下的坐标为(-2,2), 根据中点坐标的性质可得 AB 中点 M 对应的参数为=-. 所以由 t 的几何意义可得点 P 到 M 的距离为|PM|=.
