1、高考数学（理）必考热点新题精选练习：高考数学（理）必考热点新题精选练习： 函数与导数（解答题） 考向考向 1 1 导数与函数的单调性、极值问题导数与函数的单调性、极值问题 1.已知函数 f(x)=x 2-3ax+a2ln x(aR). (1)求 f(x)的单调区间; (2)若对于任意的xe 2(e为自然对数的底数),f(x)0恒成立,求a的取值范围. 2.已知函数 f(x)=2aln x-ax-1(a0). (1)讨论 f(x)的单调性; (2)若 f(x)+(a+1)x+2-e0 对任意 xe,e 2恒成立,求实数 a 的取值范围(e 为 自然常数). 考向考向 2 2 导数与函数的最值导数
2、与函数的最值与范围问题与范围问题 1.设函数 f(x)=x 2-aln x. (1)讨论函数 f(x)的单调性. (2)当 a=2 时, 求函数 f(x)在上的最大值和最小值; 若存在x1,x2,xn,使得f(x1)+f(x2)+f(xn-1)f(xn)成立,求n的最 大值. 2.已知函数 f(x)=x-axln x+1(a0)在点(2,f(2)处的切线方程为 y=kx+3. (1)求 a 的值. (2)设 g(x)=,求函数 g(x)在-1,+)上的最大值. 考向考向 3 3 导数与函数的零点问题导数与函数的零点问题 1.已知函数 f(x)= ax-a+1-(其中 a 为常数且 aR) (1
3、)若函数 f(x)为减函数,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 f(x)有两个不同的零点,求实数 a 的取值范围,并说明理由. 2.已知函数 f(x)=x 3-ax2+x+4. (1)求函数 f(x)在 x=0 处的切线方程; (2)若对任意的 x(0,+),f(x)+f(-x)4ln x+8 恒成立,求 a 的取值范围; (3)当a=3时,设函数g(x)=f(x)-kx.证明:对于任意的k-x 2-4. 2.已知方程 x 3+ax2+bx+c=0(a,b,cR). (1)设 a=b=4,方程有三个不同实根,求 c 的取值范围; (2)求证:a 2-3b0 是方程有三个不同实根的必要不充分
4、条件. 答案与解析答案与解析 考向考向 1 1 导数与函数的单调性、极值问题导数与函数的单调性、极值问题 1.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+). f(x)=2x-3a+=. 当 a0 时,f(x)0 恒成立,f(x)的单调递增区间为(0,+),无单调递减区 间; 当 a0 时,由 f(x)0 解得 x(a,+), 由 f(x)0 恒成立,f(x)在(0,+)上单调递增, 所以 f(x)f(e 2)=e4-3ae2+2a20 恒成立,符合题意. 当 a0 时,由(1)知,f(x)在和(a,+)上单调递增,在上单调递 减. (i)若00 时,f(x)的单调增区间为(0,2,单调减区间为2
5、,+); 当 a0,得 x,所以函数 f(x)在上单调递增; 令 f(x)0,解得 0-1 时,h(x)=0, h(x)=,令 h(x)0,解得-10,在 x(0,1)上, 因为 h(x)= a(x 2-2x)+x-ln x, 因为-1- a+-ln=0, 所以 h(x)在区间(0,1),(1,+)上各有一个零点,故 a2 符合题意; 当 a=-1 时,因为函数 h(x)在区间(0,+)上递减,所以函数 h(x)至多一个零点, 不合题意; 当-10, 则 v(x)=4=4, 令 v(x)=0,解得 x=. 当 x(0,)时,v(x)0,所以 v(x)在(0,)上单调递增; 当 x(,+)时,v
6、(x)0. 当 x0 时,g(x)=3x 2-6x+1-k0,g(x)单调递增,g(-1)=k-10 时,令 h(x)=x 3-3x2+4,则 g(x)=h(x)+(1-k)xh(x).h (x)=3x 2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)单调递减;在(2,+)单调递增.所以g(x)h(x) h(2)=0.所以 g(x)=0 在(0,+)没有实根. 综上,对于任意的 k-x 2-4,只需证(x-1)(x2+2)ex-x2+2x-4, 设 g(x)=-x 2+2x-4=-(x-1)2-3, h(x)=(x-1)(x 2+2)ex,则 h(x)=x2ex(x+2), 令 h(x)0 得
7、x-2,令 h(x)-x2-4. 2.【解析】设 f(x)=x 3+ax2+bx+c. (1)当 a=b=4 时,方程 x 3+4x2+4x+c=0 有三个丌同实根, 等价于函数 f(x)=x 3+4x2+4x+c=0 有三个丌同零点, f(x)=3x 2+8x+4,令 f(x)=0 得 x 1=-2 或 x2=- , f(x)不 f(x)在区间(-,+)上情况如下: x (-,-2) -2 - f(x) + 0 - 0 + f(x) c c- 所以,当 c0 时且 c-0,f(x)在区间(-,x0)上单调递增; 当 x(x0,+)时,f(x)0,f(x)在区间(x0,+)上单调递增. 所以 f(x)丌可能有三个丌同零点. 综上所述,若函数 f(x)有三个丌同零点,则必有=4a 2-12b0. 故 a 2-3b0 是 f(x)有三个丌同零点的必要条件. 当 a=b=4,c=0 时,a 2-3b0,f(x)=x3+4x2+4x =x(x+2) 2只有两个丌同零点, 所以 a 2-3b0 丌是 f(x)有三个丌同零点的充分条件. 因此 a 2-3b0 是 f(x)有三个丌同零点的必要而丌充分条件. 即 a 2-3b0 是方程 x3+ax2+bx+c=0 有三个丌同实根的必要而丌充分条件.
