1、高考数学（理）必考热点新题精选练习：高考数学（理）必考热点新题精选练习： 复数与推理复数与推理 1.欧拉公式:e ix=cos x+isin x(i 为虚数单位),由瑞士数学家欧拉发明,它建立了 三角函数与指数函数的关系,根据欧拉公式,= ( ) A.1 B.-1 C.i D.-i 2.记复数 z 的共轭复数为 ,若 (1-i)=2i(i 为虚数单位),则|z|= ( ) A. B.1 C.2 D.2 3.复数 z=在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.设复数 z 满足=1,z 在复平面内对应的点为(x,y),则 ( ) A.(x+1) 2+
2、y2=1 B.(x-1) 2+y2=1 C.x 2+(y-1)2=1 D.x 2+(y+1)2=1 5.已知复数(a+2i)(1+i)的实部为 0,其中 i 为虚数单位,则实数 a 的值是 _. 6.有三张卡片,分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲 看了乙的卡片后说: “我与乙的卡片上相同的数字不是 2” ,乙看了丙的卡片后说: “我与丙的卡片上相同的数字不是 1” ,丙说:“我的卡片上的数字之和不是 5”, 则甲的卡片上的数字是_. 7.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时,甲说:我去过的城市 比乙多,但没去过 B 城市;乙说:我
3、没去过 C 城市;丙说:我们三人去过同一个城 市. 由此可判断乙去过的城市为_. 8.在复平面内,复数 z=a+bi(aR,bR)对应向量(O 为坐标原点),设|=r, 以射线 Ox 为始边,OZ 为终边旋转的角为,则 z=r(cos +isin ),法国数学 家棣莫弗发现棣莫弗定理:z1=r1(cos 1+isin 1),z2=r2(cos 2+isin 2), 则 z1z2=r1r2cos(1+2)+isin(1+2),由棣莫弗定理导出了复数乘方公 式:r(cos +isin ) n=rn(cos n+isin n),则 =_. 9.我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有:“割之弥细,所失
4、弥少,割之 又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转 化过程.比如在表达式 1+中“”即代表无数次重复,但原式却是个定值, 它可以通过方程 1+ =x 求得 x=.类比上述过程,则 =_. 答案与解析答案与解析 1.B 由 e ix=cos x+isin x,得 =i 2=-1. 2.A 由 (1-i)=2i,可得 =-1+i, 所以 z=-1-i,则|z|=. 3.D 由题可得 z= - , 则 z=在复平面内对应的点为,位于第四象限. 4.C z=x+yi,z-i=x+(y-1)i,=1,则 x 2+(y-1)2=1. 5.【解析】(a+2i)(1+i)=a
5、+ai+2i+2i 2=a-2+(a+2)i,令 a-2=0,解得 a=2. 答案:2 6.【解析】先从丙说的可得丙拿的是 1 和 2,或 1 和 3,再由乙说的可得乙拿的是 2 和 3,最后从甲说的可得甲拿的是 1 和 3. 答案:1 和 3 7.【解析】因为丙说:三人同去过同一个城市,甲说没去过 B 城市,乙说:我没去 过 C 城市 所以三人同去过同一个城市应为A,所以乙至少去过A,若乙再去城市B,甲去过的 城市至多两个,不可能比乙多,所以可判断乙去过的城市为 A. 答案:A 8.【解析】由题意得复数 z= +i 可化为 z=cos +isin ,所以= =cos+isin= -i. 答案: -i 9.【解析】令=m(m0), 则两边平方得,则 3+2=m 2, 即 3+2m=m 2,解得 m=3 或 m=-1(舍去). 答案:3
