1、 复数复数知识点总结知识点总结 1、复数的概念 形如( ,)abi a bR的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足 2 1i ，a叫做复数的 实部，b叫做复数的虚部. (1)纯虚数：对于复数zabi，当00ab且时，叫做纯虚数. (2)两个复数相等：,()abi cdi abcdR、 、 、相等的充要条件是=acb d 且. (3)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，横轴为实轴，竖轴除去原点 为虚轴. (4)复数的模：复数zabi可以用复平面内的点Z( , )a b表示，向量OZ的模叫做复数 zabi的模，表示为： 22 | |zabiab （5）共轭复数：两个复数的实部相等，虚
2、部互为相反数时，这两个复数叫做共轭复数. 2、复数的四则运算 （1）加减运算：()()()()abicdiacbd i； （2）乘法运算：() ()()()abicdiacbdadbc i； （3）除法运算： 2222 ()() ()()(0) acbdbcad abicdii cdi cdcd ； （4）i的幂运算： 4 1 n i， 41n ii ， 42 1 n i ， 43n ii .()nZ （5） 22 |zzzz 3、 规律方法总结 （1）对于复数( ,)zabi a bR必须强调, a b均为实数，方可得出实部为a，虚部为b （2）复数( ,)zabi a bR是由它们的实部和
3、虚部唯一确定的，两个复数相等的充要 条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法对于一个复数( ,)zabi a bR，既要从 整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识 （3）对于两个复数，若不全是实数，则不能比较大小，在复数集里一般没有大小之分， 但却有相等与不等之分. （4）数系扩充后，数的概念由实数集扩充到复数集，实数集中的一些运算性质、概念、 关系就不一定适用了，如绝对值的性质、绝对值的定义、偶次方非负等 1、基本概念计算类 例 1若,43,2 21 iziaz且 2 1 z z 为纯虚数，则实数 a 的值为_ 解：因为， 2 1 z z 25 )4
4、6(83 25 8463 )43)(43( )43)(2( 43 2iaaiaia ii iia i ia ， 又 2 1 z z 为纯虚数，所以，3a80，且 64a0。 3 8 a 2、复数方程问题 例 2证明：在复数范围内，方程 i i ziz 2 55 )1 (| 2 （i 为虚数单位）无解 证明：原方程化简为,31)1 ()1 (|iziziz设 zxyi(x、yR)，代入上述方程 得 322 1 .3122 22 22 yx yx iyixiyx 整理得05128 2 xx . 016方程无实数解，所以原方程在复数范围内无解。 3、综合类 例 3设 z 是虚数， z z 1 是实数
5、，且12 （1） 求|z|的值及 z 的实部的取值范围； （2） 设 z z M 1 1 ，求证：M 为纯虚数； （3） 求 2 M的最小值。 解： （1）设 zabi（a，b0,bR） ,)()( 1 2222 i ba b b ba a a bia bia 因为，是实数，0b 所以，1 22 ba，即|z|1， 因为2a，10， 所以 2 M2231， 当 a1 1 1 a ，即 a0 时上式取等号， 所以， 2 M的最小值是 1。 4、创新类 例 4对于任意两个复数Ryyxxiyxziyxz 2121222111 ,(,)定义运算“”为 1 z 2 z 2121 yyxx， 设非零复数
6、21, 在复平面内对应的点分别为 21,P P,点 O 为坐标原 点，若 1 2 0，则在 21OP P中， 21OP P的大小为_. 解法一： （解析法）设)0,(, 21222111 aaibaiba，故得点),( 111 baP， ),( 222 baP，且 2121 bbaa0，即1 2 2 1 1 a b a b 从而有 21 21 OPOP kk1 2 2 1 1 a b a b 故 21 OPOP ,也即 0 21 90 OPP 解法二： （用复数的模）同法一的假设，知 2 1 2 1 2 1 2 1 |baOP 2 2 2 2 2 2 2 2 |baOP 2 2121 2 21 2 21 |)()( |ibbaaPP 2 1 2 1 ba 2 2 2 2 ba 2（ 2121 bbaa） 2 1 2 1 ba 2 2 2 2 ba 20 2 1 2 1 ba 2 2 2 2 ba 2 1| |OP 2 2 |OP 由勾股定理的逆定理知 0 21 90 OPP 解法三： （用向量数量积的知识）同法一的假设，知),(),( 222111 baOPbaOP，则有 0cos 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 21 baba bbaa OPOP 故 0 21 90 OPP
