1、 1 考前回归考前回归知识必备知识必备 *1 集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语 集 合 与 常 用 逻 辑 用 语 集 合 概念 一组对象的全体. ,xA xA。 元素特点元素特点：互异性、无序性、确定性。 关系 子集 xAxBAB。 A ； ,AB BCAC n个元素集合子集数2n。 真子集 00 ,xAxBxB xAAB 相等 ,AB BAAB 运算 交集 |,xxBxBAA且 ()()() UUU CABC AC B ()()() UUU CABC AC B () UU CC AA 并集 |,xxBxBAA或 补集 | U x xUC AxA且 常 用 逻 辑 用 语 命题 概念 能
2、够判断真假的语句。 四种 命题 原命题：若p，则q 原命题与逆命题，否命题与逆否命题互 逆；原命题与否命题、逆命题与逆否命 题互否；原命题与逆否命题、否命题与 逆命题互为逆否。互为逆否的命题等价。 逆命题：若q，则p 否命题：若p，则q 逆否命题：若q，则p 充要 条件 充分条件 pq ，p是q的充分条件 若命题p对应集合A，命题q对应集合 B， 则pq等价于AB，pq等 价于AB。 必要条件 pq ，q是p的必要条件 充要条件 pq，, p q互为充要条件 逻辑 连接词 或命题 pq，, p q有一为真即为真，, p q均为假时才为假。 类比集合的并 且命题 pq ，, p q均为真时才为真
3、，, p q有一为假即为假。 类比集合的交 非命题 p和p为一真一假两个互为对立的命题。 类比集合的补 量词 全称量词 ，含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特称命题。 存在量词 ，含存在量词的命题叫特称命题，其否定为全称命题。 *2.复数复数 复数 概念 虚数单位 规定： 2 1i ；实数可以与它进行四则运算，并且运算时原有的加、 乘运算律仍成立。 4414243 1,1,() kkkk iii iii k Z。 复数 形如( ,)abi a bR的数叫做复数，a叫做复数的实部，b叫做复数的 虚部。0b 时叫虚数、0,0ab时叫纯虚数。 复数相等 ( , , ,),abicdi a b c
4、dac bdR 共轭复数 实部相等，虚部互为相反数。即zabi，则zabi。 运算 加减法 ()()()()abicdiacbd i，( , , ,)a b c d R。 乘法 ()()()()abi cdiacbdbcad i，( , , ,)a b c d R 除法 2222 , , ,()()(0,)a b c d acbdbcda abicdii cdi cdcd R 几何 意义 复数zabi 一一对应 复平面内的点( , )Z a b 一一对应 向量OZ 向量OZ的模叫做复数的模， 22 zab 2 3.平面向量平面向量 平平 面面 向向 量量 重 要 概 念 向量 既有大小又有方向
5、的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模。 0向量 长度为0，方向任意的向量。 【0与任一非零向量共线】 平行向量 方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。 向量夹角 起点放在一点的两向量所成的角，范围是0,。, a b的夹角记为, a b。 投影 , a b，cosb叫做b在a方向上的投影。 【注意：投影是数量】 重 要 法 则 定 理 基本定理 12,e e不共线，存在唯一的实数对( , ) ，使12aee。若12,e e为, x y轴上 的单位正交向量，( , ) 就是向量a的坐标。 一般表示 坐标表示（向量坐标上下文理解） 共线条件 , a b（0b 共线存在唯一
6、实数， ab 11221221 ( ,)(,)x yxyx yx y 垂直条件 0aba b。 1122 0x yx y。 各 种 运 算 加法 运算 法则 ab的平行四边形法则、三角形法则。 1212 (,)abxxyy。 算律 abba，()()abcabc 与加法运算有同样的坐标表示。 减法 运算 法则 ab的三角形法则。 1212 (,)abxxyy 分解 MNONOM。 (,) NMNM MNxxyy。 数乘 运算 概念 a为向量，0与a方向相同， 0与a方向相反，aa。 (,)axy。 算律 aa)()(，aaa)(， baba )( 与数乘运算有同样的坐标表示。 数量 积运 算
7、概念 cos,a ba ba b 1212 a bx xy y。 主要 性质 2 a aa，a ba b。 22 axy， 2222 12121122 x xy yxyxy 算律 a bb a，()ab ca cb c， ()()()a baba b。 与上面的数量积、数乘等具有同样 的坐标表示方法。 3 *4.算法、推理与证明算法、推理与证明 算法 逻辑 结构 顺序结构 依次执行 程序框图，是一种用程序 框、流程线及文字说明来表 示算法的图形。 条件结构 根据条件是否成立有不同的流向 循环结构 按照一定条件反复执行某些步骤 基本 语句 输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。 推理
8、 与 证明 推理 合情推理 归纳推理 由部分具有某种特征推断整体具有某种特征的推理。 类比推理 由一类对象具有的特征推断与之相似对象的某种特征的推理。 演绎推理 根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理 数学 证明 直接证明 综合法 由已知导向结论的证明方法。 分析法 由结论反推已知的证明方法。 间接证明 主要是反证法，反设结论、导出矛盾的证明方法。 数学 归纳 法 数学归纳法是以自然数的归纳公理做为它的理论基础的，因此，数学归纳法的适用范 围仅限于与自然数有关的命题。分两步：首先证明当 n 取第一个值 n0（例如 n0=1） 时结论正确；然后假设当 n=k 0 (,)kNkn
9、 时结论正确，证明当 n=k+1 时结论也 正确 *5.不等式、线性规划不等式、线性规划 不等式的 性质 （1）abbcac，； 两个实数的顺序关系： 0abab 0abab 0abab （2）00abcacbcabcacbc，；，； （3）abacbc； （4）abcdacbd，； 11 ab ab 的充要条件 是0ab。 （5）00abcdacbd，； （6） * 01 nn nn abnnabab N，； 一元二次 不等式 解一元二次不等式实际上就是求出对应的一元二次方程的实数根（如果有实数根） ，再结合对 应的函数的图象确定其大于零或者小于零的区间，在含有字母参数的不等式中还要根据参数
10、 的不同取值确定方程根的大小以及函数图象的开口方向，从而确定不等式的解集 基本 不等式 2 ab ab （0,0ab） 2abab（,0a b ） ； 2 () 2 ab ab （, a bR） ； ba ab 2 ab 2 ba 2 22 ba （,0a b ） ； 22 2abab。 二元一次 不等式组 二元一次不等式0AxByC的解集是平面直角坐标系中表示0AxByC某一侧所 有点组成的平面区域。二元一次不等式组的解集是指各个不等式解集所表示的平面区域的公 共部分。 简单的 线性规划 基本 概念 约束条件 对变量, x y的制约条件。如果是, x y的一次式，则称线性约束条件 目标函数
11、求解的最优问题的表达式。如果是, x y的一次式，则称线性目标函数。 可行解 满足线性约束条件的解( , )x y叫可行解。 可行域 所有可行解组成的集合叫可行域。 最优解 使目标函数取得最大值或者最小值的可行解叫最优解。 线性规划 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或者最大值的问题。 问题 解法 不含 实际背景 第一步 画出可行域。 注意区域 边界的虚实。 第二步 根据目标函数几何意义确定最优解。 第三步 求出目标函数的最值。 含 实际背景 第一步 设置两个变量，建立约束条件和目标函数。 注意实际问题对 变量的限制。 第二步 同不含实际背景的解法步骤。 4 *6.计数原理与二项式定理计数
12、原理与二项式定理 排排 列列 组组 合合 二二 项项 式式 定定 理理 基本 原理 分类加法 计数原理 完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有 1 m种不同的方法，在第2类方案 中有 2 m种不同的方法，在第n类方案中有 n m种不同的方法那么完成这件 事共有 12n Nmmm种不同的方法 分步乘法 计数原理 完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有 1 m种不同的方法，做第2步有 2 m 种不同的方法做第n步有 n m种不同的方法.那么完成这件事共有 n mmmN 21 种不同的方法. 排列 定义 从n个不同元素中取出()m mn个元素，按照一定的次序排成一列， 叫做从从n 个不同元素
13、中取出()m mn个元素的一个排列， 所有不同排列的个数， 叫做从n 个不同元素中取出()m mn个元素的排列数，用符号 m n A表示。 排列数 公式 ! (1)(2)(1)() ()! m n n An nnnmnmmn nm ，规定0! 1 组合 定义 从n个不同元素中， 任意取出()m mn个元素并成一组叫做从n个不同元素中取 出()m mn个元素的组合，所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出 ()m mn个元素的组合数，用符号Cm n 表示。 组合数 公式 (1)(1) C ! m n n nnm m ，C m m n n m m A A 性质 mn n m n CC (nmN
14、nm且,)； 1 1 m n m n m n CCC(nmNnm且,) 二项 式定 理 定理 011 ()n nnrn rrnn nnnn abC aC abC abC b （ r n C叫做二项式系数） 通项公式 1 rn rr rn TC ab （其中0knkn NN，） 系数和 公式 1 121 r n r n r r r r r r CCCCC； nn n r nnnn CCCCC2 210 ； 13502411231 2;232. nnn nnnnnnnnnn CCCCCCCCCnCn *7.函数基本初等函数函数基本初等函数 I 的图像与性质的图像与性质 函数 概念 及其 表示 概念
15、 本质：定义域内任何一个自变量对应唯一的函数值。两函数相等只要定义域和对应法 则相同即可。 表示方法 解析式法、表格法、图象法。分段函数是一个函数，其定义域是各段定义域的并集、 值域是各段值域的并集。 性质 单调性 对定义域内一个区间I， 1212 ,x xI xx， ( )f x是增函数 12 ()()f xf x， ( )f x是减函数 12 ()()f xf x。 偶函数在定义域关 于坐标原点对称的 区间上具有相反的 单调性、 奇函数在定 义域关于坐标原点 对称的区间上具有 相同的单调性。 奇偶性 对 定 义 域 内 任 意x，( )f x是 偶 函 数 ( )()f xfx，( )f
16、x是奇函数 ()( )fxf x 。偶函数图象关于y轴对称、 奇函数图象关于坐标原点对称。 周期性 对定义域内任意x，存在非零常数T，()( )f xTf x 基本 初等 函数 指数函数 x ya 01a (,) 单调递减，0x 时1y ，0x 时01y 函数图象过 定点(0,1) 1a (,) 单调递增，0x 时01y，0x 时1y 对数函数 logayx 01a 在 (0,)单调递减，01x时0y ，1x 时0y 函 数 图 象 过 定点(1,0) 1a 在(0,)单调递增，01x时0y ，1x 时0y 幂函数 yx 0 在在(0,)单调递增，图象过坐标原点 函 数 图 象 过 定点(1,
17、1) 0 在在(0,)单调递减 5 *8. 函数与方程函数模型及其应用函数与方程函数模型及其应用 函数函数 零点零点 概念 方程( )0f x 的实数根。方程( )0f x 有实数根函数( )yf x的图象与x轴有 交点函数( )yf x有零点 存在定理 图象在 , a b上连续不断，若( ) ( )0f a f b ，则( )yf x在( , )a b内存在零点。 二分二分 法法 方法 对于在区间, a b上连续不断且 0f af b的函数 yf x，通过不断把函数 f x的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点 近似值的方法叫做二分法 步骤 第一步 确定区间,
18、a b，验证( )( )0f af b，给定精确度。 第二步 求区间, a b的中点c； 第三步 计算 f c： （1 ）若 0f c ，则c就是函 数的零点 ； （ 2）若 0f af c， 则 令bc（ 此 时 零 点 0 ,xa c） ； （ 3 ） 若 0f cf b，则令ac（此时零点 0 ,xc b） （4）判断是否达 到精确度:即若ab， 则得到零点近似值a（或b） ； 否则重复 （2） （4） 函数函数 建模建模 概念 把实际问表达的数量变化规律用函数关系刻画出来的方法叫作函数建模。 解题步骤 阅读审题 分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题。 数学建模 弄清题目中的
19、已知条件和数量关系，建立函数关系式。 解答模型 利用数学方法得出函数模型的数学结果。 解释模型 将数学问题的结果转译成实际问题作出答案。 *9. 导数及其应用导数及其应用 导导 数数 及及 其其 应应 用用 概念 与几 何意 义 概念 函数( )yf x在点 0 xx处的导数 00 0 0 ()() ()lim x f xxf x fx x 。 几何 意义 0 ()fx为 曲 线( )yf x在 点 00 (,()xf x处 的 切 线 斜 率 ， 切 线 方 程 是 000 ()()()yf xfxxx。 运算 基本 公式 0C（C为常数） ； 1 ()() nn xnxn N； (sin
20、)cos(cos )sinxxxx ，； ()()ln xxxx eeaaa，（0a ，且1a ） ； 11 (ln )(log)log aa xxe xx ，（0a ， 且1a ） 2 11 xx ； 1 (ln)x x 。 运算 法则 ( )( )( )( )f xg xfxg x； ( )( )( )( )( )( )f x g xfx g xf x g x， ( )( )Cf xCfx； 2 ( )( ) ( )( ) ( ) ( ( )0) ( )( ) f xfx g xg x f x g x g xgx ， 2 1( ) ( )( ) g x g xgx 复合函数求导法则( (
21、) ( ( ) ( )yf g xfg x g x。 研究 函数 性质 单调性 ( )0fx 的各个区间为单调递增区间；( )0fx 的区间为单调递减区间。 极值 0 ()0fx且( )fx在 0 x附近左负（正）右正（负）的 0 x为极小（大）值点。 最值 , a b上的连续函数一定存在最大值和最小值，最大值和区间端点值和区间内的极 大值中的最大者，最小值和区间端点和区间内的极小值中的最小者。 定积 分 概念 f x在区间, a b上是连续的，用分点 011iin axxxxxb 将 区 间, a b等 分 成n个 小 区 间 ， 在 每 个 小 区 间 1,ii xx 上 任 取 一 点
22、i 6 （1,2,in） ， 1 lim n b i an i ba f x dxf n 。 基本 定理 如 果 f x是, a b上 的 连 续 函 数 ， 并 且 有 Fxf x， 则 b a f x dxF bF a 性质 bb aa kf x dxkf x dx （k为常数） ； bbb x aaa f xg x dxf x dg x dx ； bcd aac f x dxf x dxf x dx 简单 应用 区间, a b上的连续的曲线( )yf x，和直线.(),0xa xb ab y所围成的曲 边梯形的面积( ) b a Sf x dx。 *10. 三角函数的图像与性质三角函数的
23、图像与性质 三三 角角 函函 数数 的的 图图 象象 与与 性性 质质 基基 本本 问问 题题 定义 任意角的终边与单位圆交于点( , )P x y时，sin,cos,tan y yx x 同角三角 函数关系 22 sin sincos1,tan cos 。 诱导公式 360,180，90,270， “奇变偶不变，符号看象限” 三三 角角 函函 数数 的的 性性 质质 与与 图图 象象 值域 周期 单调区间 奇偶性 对称中心 对称轴 sinyx （xR） 1,1 2k 增2,2 22 kk 减 3 2,2 22 kk 奇函数 (,0)k 2 x k cosyx （xR） 1,1 2k 增2,2
24、kk 减2,2kk 偶函数 (,0) 2 k xk tanyx ( 2 xk ) R k 增, 22 kk 奇函数 ,0 2 k 无 图图 象象 变变 换换 平移变换 上下平移 ( )yf x图象平移k得( )yf xk图象，0k 向上，0k 向下。 左右平移 ( )yf x图象平移得()yf x图象，0向左，0向右。 伸缩变换 x轴方向 ( )yf x图象各点把横坐标变为原来倍得 1 ()yfx 的图象。 y轴方向 ( )yf x图象各点纵坐标变为原来的A倍得( )yAf x的图象。 对称变换 中心对称 ( )yf x图象关于点( , )a b对称图象的解析式是2(2)ybfax 轴对称 (
25、 )yf x图象关于直线xa对称图象的解析式是(2)yfax。 *11. 三角恒等变换与解三角形三角恒等变换与解三角形 变换变换 公式公式 正弦 和差角公式 倍角公式 2 2tan sin2 1tan sin() sincoscossin sin22sincos 7 余弦 cos() coscossinsin 22 22 cos2cossin 2cos11 2sin 2 2 1tan cos2 1tan 2 1 cos2 sin 2 2 1 cos2 cos 2 正切 tantan tan() 1tantan 2 2tan tan2 1tan 三三 角角 恒恒 等等 变变 换换 与与 解解 三
26、三 角角 形形 正弦 定理 定理 sinsinsin abc ABC 。 射影定理： coscosabCcB coscosbaCcA coscoscaBbA 变形 2 sin,2 sin,2 sinaRA bRB cRC（R外接圆半 径） 。 类型 三角形两边和一边对角、三角形两角与一边。 余弦 定理 定理 222222222 2cos,2cos,2cosabcbcA bacacB cababC。 变形 22222 () cos1 22 bcabca A bcbc 等。 类型 两边及一角（一角为夹角时直接使用、一角为一边对角时列方程） 、三边。 面积 公式 基本 公式 111111 sinsi
27、nsin 222222 abc Sa hb hc habCbcAacB。 导出 公式 4 abc S R （R外接圆半径） ； 1 () 2 Sabc r（r内切圆半径） 。 实际 应用 基本思想 把要求解的量归入到可解三角形中。在实际问题中，往往涉及到多个三角形，只 要根据已知逐次把求解目标归入到一个可解三角形中。 常用术语 仰 角 视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。 俯 角 视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。 方 向 角 方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始 方向旋转到目标的方向线所成的角（一般是锐角，
28、如北偏西 30 ） 。 方 位 角 某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角。 *12. 等差数列等比数列等差数列等比数列 数数 列列 、 等等 差差 数数 列列 等等 比比 数数 列列 一般 数列 n a 概念 按照一定的次序排列的一列数。分有穷、无穷、增值、递减、摆动、常数数列等。 通项公式 数列 n a中的项用一个公式表示，( ) n af n 1 1 ,1, ,2. n nn S n a SSn 前n项和 12nn Saaa 简单 的递 推数 列解 法 累加法 1 ( ) nn aaf n 型 解决递推数列问题的 基本思想是“转化”， 即 转化为两类基本数列 -等差数
29、列、等比数 列求解。 累乘法 1 ( ) nn aa f n 型 转化法 1 1 1 1 (0,1,0) n nn nn nn aa apaq ppqq pp 待定 系数法 11 (0,1,0)() nnnn acad cdac a 。 比较系数得出，转化为等比数列。 等差 数列 概念 满足 1nn aad （常数） ，0d 递增、0d 递减、0d 常数数列。 通项 1 (1)() nm aandanm d mnpq aaaamnpq。 8 n a 公式 22 mnp aaamnp。 前n项 和公式 1 1 ()(1) 22 n n n aan n Snad 232 , mmmmm SSSSS
30、为等差数列。 等比 数列 n a 概念 满足 1:nn aaq （0q 的常数） ，单调性由 1 a的正负，q的范围确定。 通项 公式 1 1 nn m nm aa qa q mnpq a aa amnpq， 2 2 mnp a aamnp 前n项 和公式 11 1 (1) ,1, 11 ,1. n n n aa qaq q Sqq na q 公比不等于1时， 232 , mmmmm SSSSS成等比数列。 *13. 数列求和及其数列的简单应用数列求和及其数列的简单应用 数数 列列 求求 和和 及及 数数 列列 的的 简简 单单 应应 用用 常 用 求 和 公 式 等差数列 1 1 ()(1)
31、 22 n n n aan n Snad ，特别 (1) 1 23 2 n n n 。 等比数列 11 1 (1) ,1, 11 ,1. n n n aa qaq q Sqq na q ，特别 21 1 22221 nn 。 自然数 平方和 2222 (21)(1)(21) 123(1 2) 36 nn nn nn 。 自然数 立方和 2 3332 (1) 12(12) 2 n n nn 。 常 用 求 和 方 法 公式法 如22 ,3n nn an a。 常用裂项方法常用裂项方法： 11 11 () ()n nkk nnk ； 2 1111 1211nnn ； 2 1111 412 2121
32、nnn ； 1 111 (1) 2(1)22 nnn n n nnn 。 分组法 如22n n an，( 1)2 n n an 。 裂项法 如 111 (1)1 n a n nnn 。 错位 相减法 如(21) 2n n an。 倒序 相加法 如 01kn nnnn CCkCC。 数 列 模 型 等差数列 基本特征是均匀增加或者减少。 等比数列 基本特征是指数增长，常见的是增产率问题、存款复利问题。 一个简单 递推数列 基本特征是指数增长的同时又均匀减少。如年收入增长率为20%，每年年底要拿 出a（常数）作为下年度的开销，即数列 n a满足 1 1.2 nn aaa 。 注：表中注：表中, n
33、 k均为正整数均为正整数 *14.空间几何体（其中空间几何体（其中r为半径、为半径、h为高、为高、l为母线等）为母线等） 空空 间间 几几 何何 体体 三 视 图 正视图 光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图。 正视图与侧视图高平齐； 侧视图与俯视图宽相等； 俯视图与正视图长对正。 侧视图 光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图。 俯视图 光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。 直 观 图 画法 使用斜二测画法画出空间几何体的底、再画出空间几何体的其它部分。 面积 关系 水平放置的平面图形的面积为S，使用斜二测画法画出的直观图的面积为S，则 2 2 SS。 9 表 面 积 和
34、体 积 表面积 体积 棱柱 2SSS 侧全底 表 面 积 即 空 间 几 何 体 暴 露 在 外 的 所 有 面 的 面 积 之和。 VSh 底高 1 3 VS h 锥 SS 1 ( ) 3 VSS SS h 台 0S VS h 柱 棱锥 SSS 侧全底 1 3 VSh 底高 棱台 SSSS 侧全上底下底 1 ( ) 3 VSS SS h 圆柱 2 22Srrh 全 2 Vr h 圆锥 2 Srrl 全 2 1 3 Vr h 圆台 22 ( )Srrr lrl 全 22 1 ( ) 3 Vrr rrh 球 2 4SR 球 3 4 3 VR 球 *15.空间点、直线、平面位置关系（大写字母表点、
35、小写字母表直线、希腊字母空间点、直线、平面位置关系（大写字母表点、小写字母表直线、希腊字母 表平面）表平面） ： 空 间 点 、 直 线 、 平 面 的 位 置 关 系 空 间 点 、 直 线 、 平 面 的 位 置 关 系 基 本 公 理 公理 1 ,Al Bl ABl 。 用途 判断直线在平面内。 公理 2 , ,A B C不共线, ,A B C确定平面。 确定平面。 确定两平面的交线。 公理 3 ,PPlPl 两直线平行。 公理 4 ac，bcab 位 置 关 系 线线 共面和异面。共面为相交和平行。不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。 点线面 ,Al Bl；,AB。 线面 ,.
36、llA l 。分别对应线面无公共点、一个公共点、无数个公共点。 面面 ，l。分别对应两平面无公共点、两平面有无数个公共点。 平 行 关 系 判定定理 性质定理 线面 , /aba ba 线线平行线面平行 a，a，bab 线面平行线线平行 面面 , / /, / ababP ab 线面平行面面平行 /,/abab 面面平行线线平行 垂 直 关 系 线面 , , mnmnP a am an 线线垂直线面垂直 a a b b 线线垂直线线平行 面面 ,ll 线面垂直面面垂直 ,l aala 面面垂直线面垂直 空 间 角 定义 特殊情况 范围 线线角 把两异面直线平移到相交时两相交直线 所成的角。 两
37、直线平行时角为0 0, 2 所成角为90时称两直 线垂直 线面角 平面的一条斜线与其在该平面内射影所 成角。 线面平行或线在平面内 时线面角为0 0, 2 线面垂直时线面角为 90 二面角 在二面角的棱上一定向两个半平面内作两个半平面重合时为 0, 10 垂直棱的垂线，这两条射线所成角。 0 两个半平面成为一个平 面时为180 当二面角为90时称两 个平面垂直 空 间 距 离 点面距 从平面外一点作平面的垂线，该点与垂足之间的距离。 线面距和面面距 转化为点面距。 线面距 直线与平面平行时，直线上任一点到平面的距离。 面面距 两个平面与平面平行时， 一个平面内任一点到另一个平面的距离。 *16
38、. 空间向量与立体几何空间向量与立体几何 空 间 向 量 与 立 体 几 何 空 间 向 量 重要 概念 共面向量 一组向量在一个平面内或者通过平移能够在同一个平面内。 空间基底 空间任何三个不共面的向量, ,a b c都可做空间的一个基底。 基本 定理 共线定理 , a b（0b 共线存在唯一实数，ab。 共面定理 p与, a b、 （, a b不共线）共面存在实数对, x y，使pxayb 基本定理 , ,a b c不共面， 空间任意向量p存在唯一的( , , )x y z， 使pxaybzc。 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 线面 标志 方向向量 所在直线与已知直线l平行或者重合
39、的非零向量a叫做直线l的方向向量。 法向量 所在直线与已知平面垂直的非零向量n叫做平面的法向量。 位置 关系 线线平行 方向向量共线。 线面平行 判定定理；直线的方向向量与平面的法向量垂直；使用共面向量定理。 面面平行 判定定理；两个平面的法向量平行。 线线垂直 两直线的方向向量垂直。 线面垂直 判定定理；直线的方向向量与平面的法向量平行。 面面垂直 判定定理；两个平面的法向量垂直。 空间 角 线线角 两直线方向向量为, a b， coscos, a b。 线面角 直线的方向向量为a，平面的法向量为n，sincos, a n。 二面角 两平面的法向量分别为1n和2n，则 12 coscos,n
40、 n。 空间 距离 点线距 直线的方向向量为a，直线上任一点为N，点M到 直线a的距离sin,dMNMN a。 两平行线距离 转化 为点线距。 点面距 平面的法向量为n，平面内任一点为N，点M 到平面的距离cos, MN n dMNMN n n 。 线面距、 面面距转化 为点面距。 * 17.直线与圆的方程直线与圆的方程 直直 线线 与与 圆圆 的的 方方 程程 直 线 与 方 程 概念 倾斜角 x轴正向与直线向上的方向所成的角，直线与x轴平行或重合时倾斜角为0 斜率 倾斜角为， 斜率 21 21 tan yy k xx （ 12 xx） ， 1122 ( ,),(,)x yxy在直线上。 直
41、线 方程 点斜式 00 ()yyk xx 在y轴截距为b时ykxb。 两点式 11 2121 yyxx yyxx 1212 (,)xxyy 在, x y轴截距分别为, a b时1 b y a x 。 一般式 0CByAx（0 22 BA） ，0B 时斜率 A k B ，纵截距 C B 。 11 位置 关系 平行 当不重合的两条直线 1 l和 2 l的斜率存在时， 2121/ kkll；如果不重合直 线 1 l和 2 l的斜率都不存在，那么它们都与x轴垂直，则 1 l/ 2 l 垂直 当两条直线 1 l和 2 l的斜率存在时， 12 ll 12 1k k ；若两条直线 12 ,l l中的 一条斜
42、率不存在，则另一条斜率为0时，它们垂直 交点 两直线的交点就是由两直线方程组组成的方程组的解为坐标的点。 距离 公式 点点距 111222 ( ,),(,)P x yP xy两点之间的距离 22 122121 ()()PPxxyy。 点线距 点),( 00 yxP到直线0:CByAxl的距离 22 00 BA CByAx d 。 线线距 0: 11 CByAxl到0: 22 CByAxl距离 22 21 BA CC d 圆 与 方 程 圆 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹。定点叫做圆心、定长叫做半径。 标准 方程 圆心坐标( , )a b，半径r， 方程 222 ()()xaybr。
43、 标准方程展开可得一般方程、一般方程配方 可得标准方程。一般方程中圆心坐标为 ) 2 , 2 ( ED ，半径 2 4 22 FED 。 一般 方程 0 22 FEyDxyx ( 其中04 22 FED) 相交 相切 相离 直线 与圆 代数法 方程组有两组解 方程组有一组解 方程组无解 几何法 dr dr dr 圆与 圆 代数法 方程组有两解 方程组有一组解 方程组无解 几何法 1212 rrdrr 12 drr或 12 drr 12 drr或 12 drr 【注：标准d根据上下文理解为圆心到直线的距离与两圆的圆心距】 18.圆锥曲线的定义、方程与性质圆锥曲线的定义、方程与性质 圆 锥 曲 线 的 定 义 、 方 程 与 性 质 定义 标准方程 几何性质 范围 顶点 焦点 对称性 离心率 椭 圆 平面内与两个定点 1 F， 2 F的距离之和等于常数 2a（大于 12 2FFc） 的点的轨迹叫做椭圆 【 222 bac，ab】
