1、第第2 2章关系数据库系统章关系数据库系统12.32.3关系代数2.3.12.3.1传统的集合运算传统的集合运算 2.3.22.3.2专门的关系运算专门的关系运算第第2 2章关系数据库系统章关系数据库系统22.3.1传统的集合运算1.1.并（并（unionunion）设关系设关系R R和关系和关系S S具有相同的关系模式，具有相同的关系模式，R R和和S S的并是由属的并是由属于于R R或属于或属于S S的元组构成的集合，记为的元组构成的集合，记为R RS S。形式定义如下：。形式定义如下：R RS=S=t|tt|tR Rt tS tS t是元组变量，是元组变量，R R和和S S的元数相同的元
2、数相同2.2.差（差（differencedifference）设关系设关系R R和关系和关系S S具有相同的关系模式，具有相同的关系模式，R R和和S S的差的差是由属于是由属于R R但不属于但不属于S S的元组构成的集合，记为的元组构成的集合，记为R RS S。形式定义如下：。形式定义如下：R RS=t|tS=t|tR Rt S Rt S R和和S S的元数相同的元数相同3.3.交（交（intersectionintersection）设关系设关系R R和关系和关系S S具有相同的关系模式，关系具有相同的关系模式，关系R R和和S S的交是由属于的交是由属于R R又属于又属于S S的元组构
3、成的集合，记为的元组构成的集合，记为R RS S。形式定义如下：。形式定义如下：R RS=t|tS=t|tR Rt tS RS R和和S S的元数相同关系的交可以用差的元数相同关系的交可以用差来表示，即来表示，即R RS=RS=R(R(RS)S)。4.4.广义笛卡尔积（广义笛卡尔积（extended cartesian productextended cartesian product）设关系设关系R R和和S S分别为分别为m m目（属性数）和目（属性数）和n n目，目，R R和和S S的广义笛卡尔积是一个（的广义笛卡尔积是一个（m+nm+n）列的元组的集）列的元组的集合。元组的前合。元组的
4、前m m列是列是R R的一个元组，后的一个元组，后n n列是关系列是关系S S的一个元组。记为的一个元组。记为R RS S。形式定义如下：形式定义如下：R RS=tS=tr rt ts s|t|tr rR Rt ts sS S 若若R R有有m m个元组，个元组，S S有有n n个个元组，则元组，则R RS S有有m mn n个元组。个元组。第第2 2章关系数据库系统章关系数据库系统32.3.2专门的关系运算专门的关系运算包括选择、投影、连接、除等。为了叙述上的方便，先引专门的关系运算包括选择、投影、连接、除等。为了叙述上的方便，先引入几个记号。入几个记号。（1 1）设关系模式为）设关系模式为
5、R R（A A1 1，A A2 2，A A3 3，A An n）。它的一个关系设为）。它的一个关系设为R R。t tR R表示表示t t是是R R的一个元组。的一个元组。t At Ai i 则表示元组则表示元组t t中相应于属性中相应于属性A Ai i的一个分量。的一个分量。（2 2）若）若A=AA=Ai1i1，A Ai2i2，A Ai3i3，A Aikik，其中，其中A Ai1i1，A Ai2i2，A Ai3i3，A Aikik是是A A1 1，A A2 2，A A3 3，A An n中的一部分，则中的一部分，则A A称为属性列或域列。称为属性列或域列。t A=t A=（t At Ai1i1
6、，t t AAi2i2，t At Ai3i3，t At Aikik）表示元组）表示元组t t在属性列在属性列A A上诸分量的集合。上诸分量的集合。（3 3）R R为为n n目关系，目关系，S S为为m m目关系。目关系。t tr rR R，t ts sS S，t tr rt ts s称为元组的连接。它称为元组的连接。它是是n+mn+m列的元组，前列的元组，前n n个分量为个分量为R R 中的一个中的一个n n元元组，后元元组，后m m个分量为个分量为S S中的中的一个一个m m元元组。元元组。（4 4）给定一个关系）给定一个关系R R（X X，Z Z），），X X和和Z Z为属性组。定义，当为
7、属性组。定义，当t X=xt X=x时，时，x x在在R R中的象集（中的象集（images setimages set）为：）为：Z Zx x=t Z|t=t Z|tR R，t X=xt X=x它表它表示示R R中属性组中属性组X X上值为上值为x x的诸元组在的诸元组在Z Z上分量的集合。上分量的集合。第第2 2章关系数据库系统章关系数据库系统41.1.选择（选择（selectionselection）选择又称为限制（选择又称为限制（restrictionrestriction），它是在关系），它是在关系R R中选取符合条件的元中选取符合条件的元组。是 从 行 的 角 度 进 行 的 运
8、算。记 为：组。是 从 行 的 角 度 进 行 的 运 算。记 为：F F(R)=(R)=t|tt|tR RF(t)=TrueF(t)=True其中其中F F表示选择条件，表示选择条件，它是一个逻辑表达式，取逻辑值它是一个逻辑表达式，取逻辑值“TrueTrue”或或“FalseFalse”。逻辑表达式逻辑表达式F F有两种成分：（有两种成分：（1 1）运算对象：运算对象：有常量（用引号括起来）有常量（用引号括起来）和元组分量（属性名或列的序号）。（和元组分量（属性名或列的序号）。（2 2）运算符：运算符：有算术比较运算符有算术比较运算符（也称为（也称为符）和逻辑运算符。符）和逻辑运算符。逻辑表
9、达式逻辑表达式F F就是由逻辑运算符连接各算术表达式组成。而算术表达式就是由逻辑运算符连接各算术表达式组成。而算术表达式的基本形式为：的基本形式为：X X1 1X X2 2，其中，其中为算术比较运算符，为算术比较运算符，X X1 1、X X2 2为运算对象。为运算对象。2.3.2专门的关系运算第第2 2章关系数据库系统章关系数据库系统52.投影（投影（projection）投影是从投影是从R中选择出若干属性列组成新的关系。也就是中选择出若干属性列组成新的关系。也就是对一个关系对一个关系R进行垂直分割，消去某些列，并有时重新进行垂直分割，消去某些列，并有时重新安排列的顺序，是从列的角度进行的运算
10、。记为：安排列的顺序，是从列的角度进行的运算。记为：A(R)=tA|tR 其中其中A是是R中的属性列。中的属性列。投影后不仅取消了原关系中的某些列，而且还可能取消投影后不仅取消了原关系中的某些列，而且还可能取消某些元组。因为取消了某些属性列后，就可能出现重复某些元组。因为取消了某些属性列后，就可能出现重复行，应取消这些完全相同的行。行，应取消这些完全相同的行。2.3.2专门的关系运算第第2 2章关系数据库系统章关系数据库系统63.连接连接(join)连接也称为连接也称为连接。它是从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足给定条连接。它是从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足给定条件的元组。记为：件的元
11、组。记为：R S=trts|trRtsStr Ats B其中其中A和和B分别为关系分别为关系R和和S上度数相等且可比的属性组。上度数相等且可比的属性组。是比较运算符。是比较运算符。连接运算从连接运算从R和和S的广义笛卡尔积的广义笛卡尔积RS中选取（中选取（R关系）在关系）在A属性组上的值属性组上的值与（与（S关系）在关系）在B属性组上的值满足比较关系属性组上的值满足比较关系的元组。的元组。当当为为“=”时，该时，该连接称为等值连接；当连接称为等值连接；当为为“”时，称为大于连时，称为大于连接；当接；当为为“”时，称为小于连接。时，称为小于连接。自然连接（自然连接（natural join）是一
12、种特殊的等值连接。它要求两个关系中进是一种特殊的等值连接。它要求两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组，并且在结果中把重复的属性列去掉。行比较的分量必须是相同的属性组，并且在结果中把重复的属性列去掉。它是从行和列的角度进行运算。即它是从行和列的角度进行运算。即R和和S若具有相同的属性组，则自然连接若具有相同的属性组，则自然连接可记为：可记为：R S=trts|trRtsStr B ts B2.3.2专门的关系运算A B第第2 2章关系数据库系统章关系数据库系统74.除（除（division）给定关系给定关系R（X，Y）和和S（Y，Z），其中），其中X，Y，Z为属性组。为属性组。R中中的的Y
13、与与S中的中的Y可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。R与与S的除运算得到一个新的关系的除运算得到一个新的关系P(X)，P是是R中满足下列条件的元组在中满足下列条件的元组在X属性列上的投影：元组在属性列上的投影：元组在X上分量值上分量值x的象集的象集Yx包含包含S在在Y上投影的上投影的集合。记为：集合。记为：RS=trX|trRy(S)Yx 除除操作是同时从行和列进行运算。其具体计算过程如下：操作是同时从行和列进行运算。其具体计算过程如下：（1）计算）计算X分量值分量值x的象集的象集Yx。（2）计算）计算S在在Y上的投影上的投影K。（3）检查哪些分量值）检查哪些分量值x的象集的象集Yx包含包含K。该分量值。该分量值x即为除运算的结即为除运算的结果。果。2.3.2专门的关系运算
