1、1/1 第一章第一章 常用逻辑用语单元小结常用逻辑用语单元小结 （人教（人教 A 版）版） 核心速填 1命题及其关系 (1)判断一个语句是否为命题，关键是： 为陈述句； 能判断真假 (2)互为逆否关系的两个命题的真假性相同 (3)四种命题之间的关系如图所示 2充分条件、必要条件和充要条件 (1)定义 一般地，若 p，则 q 为真命题，是指由 p 通过推理可以得出 q.这时，我们就说，由 p 可 推出 q，记作 pq，并且说 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件 一般地，如果既有 pq，又有 qp，就记作 pq.此时，我们说，p 是 q 的充分必要条 件，简称充要条件 (2)特征 充分
2、条件与必要条件具有以下两个特征： 对称性：若 p 是 q 的充分条件，则 q 是 p 的必要条件； 传递性：若 p 是 q 的充分条件，q 是 r 的充分条件，则 p 是 r 的充分条件即若 pq， qr，则 pr.必要条件和充分条件一样具有传递性，但若 p 是 q 的充分条件，q 是 r 的必要 条件，则 p 与 r 的关系不能确定 3含逻辑联结词的命题的真假判断 (1)pq：全真才真，一假则假； (2)pq：全假才假，一真则真； (3) p：p 与p 真假性相反 4全称量词与全称命题，存在量词与特殊命题 (1)全称量词与全称命题：短语“所有的”“任意一个”“每一个”“任给”在逻辑中通常叫做
3、全 称量词，并用符号“”表示全称命题“对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立”，可用符号简记为 xM，p(x) 2/2 (2)存在量词与特称命题： 短语“存在一个”“至少有一个”“有些”在逻辑学中通常叫做存在 量词，并用符号“”表示；特称命题“存在 M 中的元素 x0，使 p(x0)成立”，可用符号简记为x0 M，p(x0) 5含有一个量词的命题的否定 (1)全称命题 p：xM，p(x)，则 p：x 0M， p(x 0) (2)特称命题 p：x0M，p(x)，则 p：xM，p(x) 体系构建 题型探究 类型一：四种命题关系及其真假判断 例 1、将下列命题改写成“若 p，则 q”的形式，并写出
4、它的逆命题、否命题和逆否命题 以及判断它们的真假 (1)当 mn0 时，方程 mx2xn0 有实数根； (2)能被 6 整除的数既能被 2 整除，又能被 3 整除 【答案】(1)将命题写成“若 p，则 q”的形式为：若 mn0，则方程 mx2xn0 有实数 根 它的逆命题、否命题和逆否命题如下： 逆命题：若方程 mx2xn0 有实数根，则 mn0.(假) 否命题：若 mn0，则方程 mx2xn0 没有实数根(假) 逆否命题：若方程 mx2xn0 没有实数根，则 mn0.(真) (2)将命题写成“若 p，则 q”的形式为：若一个数能被 6 整除，则它能被 2 整除，且能被 3 整除，它的逆命题，
5、否命题和逆否命题如下： 逆命题：若一个数能被 2 整除又能被 3 整除，则它能被 6 整除(真) 否命题：若一个数不能被 6 整除，则它不能被 2 整除或不能被 3 整除(真) 逆否命题：若一个数不能被 2 整除或不能被 3 整除，则它不能被 6 整除(真) 3/3 规律方法 1.在原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，原命题与逆否命题，逆命题 与否命题是等价命题，它们的真假性相同 2“pq”的否定是“ p 或q”，“pq”的否定是“p 且q” 跟踪训练 1(1)给出下列三个命题： “全等三角形的面积相等”的否命题； “若 lg x20，则 x1”的逆命题； 若“xy 或 xy，则|x|y|”的
6、逆否命题 其中真命题的个数是( ) A0 B1 C2 D3 【答案】B 对于，否命题是“不全等三角形的面积不相等”，它是假命题；对于， 逆命题是“若 x1，则 lg x20”，它是真命题；对于，逆否命题是“若|x|y|，则 xy 且 xy”，它是假命题，故选 B. (2)命题：“若 a2b20，则 a0 且 b0”的逆否命题是( ) A若 a2b20，则 a0 且 b0 B若 a2b20，则 a0 或 b0 C若 a0 且 b0，则 a2b20 D若 a0 或 b0，则 a2b20 【答案】D 命题“若 a2b20，则 a0 且 b0”的逆否命题是：“若 a0 或 b0，则 a2b20”故选
7、D. 类型二：充分条件、必要条件与充要条件 例 1、(1)已知ABC 两内角 A，B 的对边边长分别为 a，b，则“AB”是“acos Abcos B” 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 (2)已知直线 l1：xay20 和 l2：(a2)x3y6a0，则 l1l2的充分必要条件是 a _. 【答案】 (1)A (2)3 解析 (1)由 acos Abcos Bsin 2Asin 2B， AB 或 2A2B，故选 A. (2)由 1 a2 a 3 2 6a， 4/4 得 a1(舍去)，a3. 规律方法 充分条件和必要条件的判断 充分条件和必要
8、条件的判断，针对具体情况，应采取不同的策略，灵活判断.判断时要 注意以下两个方面： (1)注意分清条件和结论，以免混淆充分性与必要性 从命题的角度判断充分、必要条件时，一定要分清哪个是条件，哪个是结论，并指明条 件是结论的哪种条件，否则会混淆二者的关系，造成错误. (2)注意转化命题判断，培养思维的灵活性 由于原命题与逆否命题， 逆命题与否命题同真同假， 因此， 对于那些具有否定性的命题， 可先转化为它的逆否命题，再进行判断，这种“正难则反”的等价转化思想，应认真领会. 跟踪训练 2(1)已知 a，b 是不共线的向量，若AB 1ab，AC a 2b(1，2R)，则 A，B， C 三点共线的充要
9、条件是( ) A121 B121 C121 D121 【答案】 C 依题意， A， B， C 三点共线AB AC 1aba2b 1， 21， 故 选 C (2)设 p：mn /Z，q：m /Z 或 n /Z，则 p 是 q 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】A p：mnZ，q：mZ 且 nZ，显然p /q，qp，即 pq，q / p， p 是 q 的充分不必要条件 类型三：含逻辑联结词的命题 例 3、(1)短道速滑队组织 6 名队员(包括赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员)参加 冬奥会选拔赛，记“甲得第一名”为 p，“乙得第二名”为
10、 q，“丙得第三名”为 r，若 pq 是真 命题，pq 是假命题，( q)r 是真命题，则选拔赛的结果为( ) A甲得第一名、乙得第二名、丙得第三名 B甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名 C甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名 D甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名 (2)已知命题 p：不等式 ax2ax10 的解集为 R，则实数 a(0,4)，命题 q：“x22x 80”是“x5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是( ) Apq Bp( q) 5/5 C( p)(q) D( p)q 【答案】(1)D (2)D 解析 (1)( q)r 是真命题意味着q 为真，q 为假(乙没得第二名)且 r 为
11、真(丙得第三 名)；pq 是真命题，由于 q 为假，只能 p 为真(甲得第一名)，这与 pq 是假命题相吻合； 由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名，故选 D. (2)命题 p：a0 时，可得 10 恒成立；a0 时，可得 a0， a24a4 或 x0”是“x5”的必要不充分条 件，是真命题故( p)q 是真命题故选 D. 规律方法 1.判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是对逻辑联结词“或”“且”“非” 的含义的理解， 应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假 的判断 2判断命题真假的步骤： 确定含有逻辑 联结词的命题 的构成形式 判断其
12、中简单 命题的真假 根据真值表判断 含有逻辑联结词 的命题的真假 跟踪训练 3(1)设命题 p：函数 ysin 2x 的最小正周期为 2；命题 q：函数 ycos x 的图象关于直 线 x 2对称，则下列判断正确的是( ) Ap 为真 B q 为假 Cpq 为假 Dpq 为真 【答案】C 函数 ysin 2x 的最小正周期为2 2 ，故命题 p 为假命题；直线 x 2不是 ycos x 的图象的对称轴，命题 q 为假命题，故 pq 为假，故选 C (2)已知命题 p：m，n 为直线， 为平面，若 mn，n，则 m；命题 q：若 ab， 则 acbc，则下列命题为真命题的是( ) Ap 或 q
13、B p 或 q C p 且 q Dp 且 q 【答案】B 命题 q：若 ab，则 acbc 为假命题，命题 p：m，n 为直线， 为平面， 若 mn，n，则 m 也为假命题，因此只有 p 或 q 为真命题 类型四：全称命题与特称命题 例 4、(1)已知命题 p：“x0,1，aex”，命题 q：“xR，x24xa0”，若命题“p 6/6 q”是真命题，则实数 a 的取值范围是( ) Ae,4 B1,4 C(4，) D(，1 (2)命题 p：xR，f(x)m，则命题 p 的否定 p 是_ 【答案】(1)A (2)x0R，f(x0)m 思路探究 (1)pq 为真p，q 都为真(2)由 p 的定义写p
14、. 解析 (1)由 p 为真得出 ae，由 q 为真得出 a4， ea4. (2)全称命题的否定是特称命题，所以“xR，f(x)m”的否定是“x0R，f(x0)m” 规律方法 全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题. 要判断一个全称命题为真命题，必须对限定集合 M 中的每一个 x 验证 p(x)成立，一般 要运用推理的方法加以证明；要判断一个全称命题为假命题，只需举出一个反例即可. 要判断一个特称命题为真命题，只要在限定集合 M 中能找到一个 x0使 p(x0)成立即可， 否则这一特称命题为假命题. 跟踪训练 4(1)命题 p：x0，x22x，则命题 p 为( ) Ax00，x20
15、2x0 Bx00，x202x0 Cx00，x202x0 Dx00，x202x0 【答案】C p：x 00，x 2 02x0，故选 C (2)在下列四个命题中，真命题的个数是( ) xR，x2x30； xQ，1 3x 21 2x1 是有理数； ，R，使 sin()sin sin ； x0，y0Z，使 3x02y010. A1 B2 C3 D4 【答案】D 中，x2x3 x1 2 2 11 4 11 4 0，故为真命题； 中，xQ，1 3x 21 2x1 一定是有理数，故也为真命题； 中，当 4， 4时，sin()0，sin sin 0，故为真命题； 中，当 x04，y01 时，3x02y010 成立，故为真命题
