1、圆锥曲线最值圆锥曲线最值 考点一考点一. . 定义法求最值定义法求最值 1.设 P 是抛物线 2 4yx上的一个动点，F是焦点 （1）求点 P 到点( 11)A ，的距离与点 P 到直线1x 的距离之和的最小值； （2）若 B 点的坐标为（3，2） ，求|PB|+|PF|的最小值 （3）点 p 到 y 轴的距离为 d，A 在圆1)5()4x 22 y（上运动,求|PA| +d 的最小值。 （4）直线 l:x-y+4=0,P 到 y 轴距离 d,P 到 l 距离 D，求 d+D 最小值。 解： （1）抛物线的焦点为(10)F ，准线是1x 由抛物线的定义知：点 P 到直线1x 的距离等于点P到焦
2、点F的距离 连结AF交抛物线于P点 故最小值为 2 21， 即为5； （ 2 ） 自 B 作 BQ 垂 直 准 线 于 Q 交 抛 物 线 于 1 P， 此 时 ， 11 PQPF， 那 么 11 4PBPFPBPQBQ，即最小值为 4 （3）抛物线的准线为 x=-1 ，把 P 到 y 轴的距离再往左延伸一个单位，就是 P 到准线的距 离，P 到准线的距离=P 到焦点 F（1，0）的距离，所以 |PA|+d=|PC|+|PF|-2，由于 A 在 抛物线的外侧，所以，当 A、P、F 共线时，最小值为 |AF|-1=(9+25)-2=34-2。 （4）过 P 作 l 垂线交于 A，过 P 作 Y
3、轴垂线交于 B,延长交准线于 C。 则 d+D= 1 04 PA PBPAPC -1PAPF -111 2 AF 1- 2 25 。 2.（1）已知点 P 是椭圆 12 2 x + 3 2 y =1 的动点，定点 A（1，1） ，则|PA|+|PF2的最小值、最大 值分别为 解：由椭圆定义知：|PA|+|PF2|=|PA|-|PF1|+2a 而-|AF1|PA|-|PF1|AF1|，又由椭圆方 程 12 2 x + 3 2 y =1，a=32,c=3,F1(-3,0),|AF1|=17,3417|PA|+|PF2| 34+17. （2）已知1 34 x 22 y 上一动点 P,M(-1,0),
4、N(1,0),求 PN 4 PM 1 最小值。 解：4a2PNPM PN 4 PM 1 = 4141119 ()()(5)(54) PMPN44PMPN44 PNPM PMPN。 3.(1)已知点 F1 F2是双曲线 4 x 2 12 2 y =1 左右焦点，定点 A（3，2） ，P 是双曲线上动点， 求|PA|+|PF2|最小值。 解 ： P在 双 曲 线 右 支 ， 根 据 定 义 可 知 |PF1|-|PF2|=2a, |PF2|=|PF1|-2a, |PA|+|PF2|=|PA|+|PF1|-2a,求|PA|+|PF2|最小值转化为求|PA|+|PF1|的最小值。 两点之 间线段最短，
5、|PA|+|PF1|的最小值为|AF1|, |PA|+|PF2|最小值为|AF1|-2a=4-53. （2）已知 P 为1 8 x 2 2 y 的左支上一点，660A ，当 2 APF周长最小时，求 2 APF S的 值。 解： 周长=aAFAFAFPFPFAFAFPFPA2 21221122 ， 当 P 为 1 AF 中点时，周长取最小，即）（63 , 2 3 -P，则 S=69666 2 1 2 1 ）（。 考点二。参数方程求最值最值 （1）已知椭圆 3 2 x + 2 2 y =1 内一点 A（0，2） ，点 M 为椭圆上一动点，求|AM|最大值. 解：设点 M（x,y）, 3 x 2
6、2 2 y =1,x2=3 2 3 2 y , |AM| 2=(y 2)2x2=(y2)2 3 2 3 2 y =- 2 1 y 22 2y5 =- 2 1 (y22)29 (-2y2),当y=-2时， |AM| 2 取得最大值 8，|AM|取得最大值 22. （2）求椭圆1 4 2 2 y x 上的点到直线03: yxl距离的最小值。 解：设P),( 00 yx为椭圆上任一点，因为1 4 2 2 y x ，所以可设 sin cos2 0 0 y x ，则点P到直 线l距离为)2arctan( , 2 |3)sin(5| 2 |3sincos2| d， 则 2 106 2 |35| , 2 1
7、06 2 |35| minmax dd。 考点三。平移切线法求最值最值 （1）求抛物线 2 xy上的点到直线0834: yxl距离的最小值。 解： （切线平移法）设与直线l平行的直线 l 的方程为：034byx，则直线 l 平移到 与抛物线相切时的切点Q即抛物线上到直线l最近的点， 直线l与 l 的距离即所求最小距离。 由0bx4x3 xy 0by3x4 2 2 ，则由 3 4 01216bb。则抛物线 2 xy上的点到直线0834: yxl距离的最小值为 3 4 5 |8 3 4 | d。 考点四考点四. . 利用函数求最值利用函数求最值 （1）已知一定点 A(3,0),P 是双曲线 4 2
8、 x -y2 =1 上任意一点，求|PA|最小值. 解：设 P（x,y)（x2） ， 则|PA|= 22 y+3)-(x，又因为1- 4 x =y 2 2 ，带入得|PA|= 2 x 4 5 -6x+8， 当 x= 5 12 时最小,带入得|PA|= 5 4 。 （2）若点 P 在抛物线 y2 =x 上，点 Q 在圆(x-3)2 +y2 =1 上 ，求|PQ|最小值. 解：P（ 2 y,y), 22 y+3)-(x=1圆心O(3,0), ) 2 10 , 2 5 (, 4 11 =9min5x-x=y+3)-(x=|PO| 2222 P, 所以|PQ|最小值是 2 11 -1。 (3)若点 P
9、 在抛物线 y2 =2x 上，点 Q( 3 2 ,0) ，求|PQ|最小值. 9 4 min)0( 9 4 3 2 2) 3 2 -(x=y+) 3 2 -(x=|PO| 22222 xxxx解：最 小 值 为 ： )0 , 0(, 3 2 P。 离心率离心率 一、利用曲线的范围，建立不等关系一、利用曲线的范围，建立不等关系 例 1 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 右顶为 A,点 P 在椭圆上，O 为坐标原点，且 OP 垂 直于 PA，求椭圆的离心率 e 的取值范围. 例 2 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、 右焦点分别为 12 (,0),( ,0)F
10、cF c,若椭圆上存在 一点P使 1221 sinsin ac PFFPF F ,则该椭圆的离心率的取值范围为 21,1. x x y y O OA A F F1 1 F F2 2 P P 二、利用曲线的二、利用曲线的平面几何性质平面几何性质，建立建立不等关系不等关系 例 3 已知 12 、FF是椭圆的两个焦点，满足的点 P 总在椭圆内部，则椭圆离 心率的取值范围是（ ） (0,1) 1 (0, 2 2 (0,) 2 2 ,1) 2 三三、利用点与利用点与椭圆椭圆的位置关系，建立不等关系的位置关系，建立不等关系 例 4 已知ABC的顶点 B 为椭圆1 2 2 2 2 b y a x )0( b
11、a短轴的一个端点，另两个顶点也 在椭圆上，若ABC的重心恰好为椭圆的一个焦点 F)0 ,(c,求椭圆离心率的范围. 四、利用函数的值域，建立不等关系四、利用函数的值域，建立不等关系 x x y y O O A A B B F F M M C C 例5 椭圆1 2 2 2 2 b y a x )0( ba与直线01 yx相交于A、 B两点， 且0OBOA （O 为原点） ，若椭圆长轴长的取值范围为6, 5，求椭圆离心率的范围. 五、利用均值不等式，建立不等关系五、利用均值不等式，建立不等关系. 例 6 已知 F1、F2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，F1PF260.求椭圆离心率的范 围； 解
12、 设椭圆方程为x 2 a2 y2 b21 (ab0)，|PF1|m，|PF2|n，则 mn2a. 在PF1F2中，由余弦定理可知， 4c2m2n22mncos 60(mn)23mn 4a23mn4a23 mn 2 24a23a2a2 (当且仅当 mn 时取等号)c 2 a2 1 4，即 e 1 2. 又 0e1，e 的取值范围是 1 2，1 . 例 7 已 知 1 F、 2 F是 椭 圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的 两 个焦 点， 椭圆 上一 点P使 90 21PF F，求椭圆离心率e的取值范围. 解析 1：令nPFmpF 21 ,，则anm2 由 21 PFPF 22
13、2 4cnm 2 2 222 2 2 4a nm nmc 即 2 1 2 2 2 a c e 又1 2 2 10ee 六、利用焦点三角形面积最大位置，六、利用焦点三角形面积最大位置，建立不等关系建立不等关系 解析 2：不妨设短轴一端点为B 则 22 45tan 21 bbS PFF bcbcS BFF 2 2 1 21 bc 2 b 2 c 22 ca 2 c 2 2 2 a c e 2 1 故 2 2 e1 七、利用实数性质，七、利用实数性质，建立不等关系建立不等关系 解析 3：设yxP,，由 21 PFPF 得1 cx y cx y ，即 222 xcy，代入 1 2 2 2 2 b y
14、a x 得 2 222 2 c bca x ， 222 0bcx 即 222 cac， 2 2 a c e 又1e1 2 2 e 八、利用曲线之间位置关系，八、利用曲线之间位置关系，建立不等关系建立不等关系 解 析 4 ： 21 PFPF 为直径的圆上点在以 21F FP 又 P 在 椭 圆 上 ， 222 cyxP 为圆 与 1 2 2 2 2 b y a x 的公共点.由图可知 222 acbacb 2222 acca 1 2 2 e 说明：椭圆上一点距中心距离最小值为短半轴长. 九、利用九、利用 21PF F最大位置最大位置，建立不等关系建立不等关系 解析 4：椭圆1 2 2 2 2 b y a x )0( ba当 P 与短轴端点重合时 21PF F最大 无妨设满足条件的点 P 不存在 ，则 21PF F 0 90 2 2 45sinsin0 0 1 OPF a c 又10 e 所以若存在一点 P 则 1 2 2 e. x x y y O O P P F F1 1F F2 2 x x y y O O P P F F1 1F F2 2 B B
