1、 - 1 - 高二期末模拟考试 数学（理）试题数学（理）试题 第第卷（共卷（共 60 分）分） 一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 12 个小题个小题,每小题每小题 5 分分,共共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1.椭圆1 34 22 yx 的焦距为 A1 B2 C3 D4 2.已知实数yx,满足 0 0 02 y x yx ，则yxz2的最大值为 A4 B3 C. 0 D2 3有 50 件产品，编号从 1 到 50，现在从中抽取 5 件检验，用系统抽样确定所抽取的第一个 样本编号为 7，则第三个样本
2、编号是 A37 B27 C17 D12 4椭圆x2 m+ y2 36=1 的焦距是 2，则 m 的值是： A35 或 37 B35 C37 D16 5.若圆 222 )5()3(ryx上的点到直线0234 yx的最近距离等于 1,则半径r值是 A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 6.过点 A(1，2)且与原点距离最大的直线方程是 A. x+2y-5=0 B. 2x+y-4=0 C. x+3y-7=0 D. x+3y-5=0 7.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是 A8 cm3 B12 cm3 C. 32 3 cm 3 D.40 3 cm 3 8.不等式 ax bx+
3、2的解集是 3 1 2 1 xx，则 ab 等于 A.4 B.14 C.10 D.10 9.已知 a、b 是关于 x 的方程 232 0xpxpp (P 为常数)的两个不相等的实根,则 - 2 - 过两点 M(a， 3 a)、N(b，b2)的直线与圆 222 ()(1)1xpy的位置关系为 A.相交 B,相切 C 相离 D.相切或相离 10.已知双曲线 C: 2 2 1 2 x y上任意一点为 G，则 G 到双曲线 C 的两条渐近线距离之积为 A. 1 3 B. 2 3 C. 1 D. 4 3 11.已知抛物线 2 20ypx p，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A,B 两点，若线段
4、AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程是 A.1x B. 1x C. 2x D.2x 12.已知椭圆 22 1 43 xy ，若此椭圆上存在不同的两点 A,B 关于直线4yxm对称，则实 数m的取值范围是 A. 2 13 2 2 , 1313 B. 2 13 2 13 , 1313 C. 2 2 13 , 1313 D. 2 3 2 3 , 1313 第第 II 卷（非选择题，满分卷（非选择题，满分 90 分）分） 二、填空题 （本大题共二、填空题 （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分请把答案填在答题卡对应的题中横请把答案填在答题卡对应的题中横 线上
5、）线上） 13若圆的方程是02 22 xyx，则该圆的半径是 14圆 22 (2)4xy截直线4yx所得的弦长为 . 15直三棱柱 111 ABCABC中，若 1 ,90AAACABBAC，则异面直线 1 BA与 1 AC 所成的角等于 . 16已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左右焦点为 1 F， 2 F.过 2 F作直线 b yx a 的垂线 l，垂足为Q，l 交双曲线的左支于点P，若 22 2F PF Q，则双曲线的离心率e . 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算解答应写出文
6、字说明、证明过程或演算 步骤步骤. .） - 3 - 17. （本小题满分 10 分） 某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方 图，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在)1500,1000. （1）求居民收入在)3500,3000的频率； （2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数、平均数及其众数； （3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，按收入从这10000人中用分层抽样方 法抽出100人作进一步分析，则应在月收入为)3000,2500的人中抽取多少人？ 18. (本题满分 12 分) 当 a 0 时，解关于 x 的不
7、等式 2 (22)40axax 19.(本题 12 分) 已知点 A(0,4)，B(0，2)，动点 P(x，y)满足PA PB y280. (1)求动点 P 的轨迹方程； (2)设(1)中所求轨迹与直线 yx2 交于 C，D 两点，求证：OCOD(O 为原点) 20.（本小题满分 12 分） 某科研所对新研发的一种产品进行合理定价，该产品按事先拟定的价格试销得统计数据. - 4 - F B D C P E A 单价x（万元） 8 2 . 8 4 . 8 8 . 8 6 . 8 9 销量y（件） 90 84 83 75 80 68 （1）求线性回归方程 axby；谈谈商品定价对市场的影响； （2
8、）估计在以后的销售中，销量与单价服从回归直线，若该产品的成本为5 . 4元/件，为使科 研所获利最大，该产品定价应为多少？ （附：80, 5 . 8, )( )( 1 2 1 yxxbya xx yyxx b n i i n i ii ） 21 （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，且60DAB点E是棱PC的 中点，平面ABE与棱PD交于点F （1） 求证：ABEF； （2）若PAPDAD，且平面PAD 平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的 锐二面角的余弦值 - 5 - 22.（12 分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，动点,P x y与定点 F
9、(1，0)的距离和 它到定直线2x 的距离之比是. （1）求动点 P 的轨迹C的方程； （2）过F作曲线C的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,直线OM与曲线C交于,P Q 两点,求四边形APBQ面积的最小值. - 6 - 数学（理）试题答案 一选择题 1.B 2.A 3.B 4.A 5.C 6.A 7.C 8.C 9.A 10.B 11.B 12.B 二填空题 131 142 2 15 3 165 三解答题 17.（1）居民收入在)3500,3000的频率为%155000003. 0. （2）中位数为2400 5 4 5002000， 平均数为 2400%53750%153250%2527
10、50%252250%201750%101250， 其众数2750,2250. （3）在月收入为)3000,2500的人中抽取25人. 18.解：解：原不等式可化为(x 2)(ax 2) 0， (1)当 a = 0 时，原不等式即为042 x，解得 x 0 时，0) 2 )(2( a xx， 若2 2 a ，即a 1时，解得 x 2；若2 2 a ，即0a1时，解得 x a 2 ； 若2 2 a ，即a =1时，解得 x 2； 综上所述， 原不等式的解集为： 当 a = 0 时，2| xx；当0a 1时， 2 2 |x a xx或 19 (1)由题意可知，PA (x,4y)，PB (x，2y)，
11、 x2(4y)(2y)y280， x22y 为所求动点 P 的轨迹方程 - 7 - z y x G A E P C D B F (2)证明：设 C(x1，y1)，D(x2，y2)由 yx2， x22y， 整理得 x22x40， x1x22，x1x24， kOC kOD y1 x1 y2 x2 x1x2 x1x2 x1x2x1x24 x1x2 444 4 1， OCOD. 20.（1）依题意：2505 . 82080,20 )( )( 6 1 2 6 1 xbya xx yyxx b i i i ii ， 回归直线的方程为25020 xy. 由于020 b，则yx,负相关，故随定价的增加，销量不
12、断降低. （2）设科研所所得利润为w，设定价为x， 112534020)25020)(5 . 4( 2 xxxxw， 当5 . 8 40 340 x时，320 max w.故当定价为5 . 8元时，w取得最大值. 21 （）证明：因为底面ABCD是菱形，所以ABCD 又因为AB 面PCD， CD面PCD，所以AB面PCD又因为, ,A B E F四点共 面，且平面ABEF平面PCDEF， 所以ABEF 5 分 （）取AD中点G，连接,PG GB 因为PAPD，所以PGAD 又因为平面PAD 平面ABCD， 且平面PAD平面ABCDAD， 所以PG 平面ABCD 所以PGGB 在菱形ABCD中，
13、因为ABAD， 60DAB，G是AD中点， 所以ADGB 如图，建立空间直角坐标系Gxyz设2PAPDADa， 则(0,0,0), ( ,0,0)GA a，(0, 3 ,0),( 2 , 3 ,0),(,0,0), (0,0, 3 )BaCaaDaPa - 8 - 又因为ABEF， 点E是棱PC中点， 所以点F是棱PD中点 所以 33 (,) 22 aa Ea， 3 (,0,) 22 aa F 所以 33 (,0,) 22 aa AF ， 3 (,0) 22 aa EF 设平面AFE的法向量为( , , )x y zn，则有 0, 0. AF EF n n 所以 3 , 3 . 3 zx yx
14、 令3x ，则平面AFE的一个法向量为(3, 3,3 3)n 因为BG 平面PAD，所以(0, 3 ,0)GBa是平面PAF的一个法向量 因为 313 cos, 13393 GBa aGB n n n ， 所以平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值为 13 13 22、解： （1）由已知，得 2 2 1 2 22 xy x 两边平方，化简得x 2 2y 21故轨迹C 的方程是（3 分） （2）因 AB 不垂直于 y 轴，设直线 AB 的方程为 xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 xmy1， x2 2y 21 得(m22)y22my10. y1y2 2m m22，y1y2
15、1 m22. x1x2m(y1y2)2 4 m22，于是 AB 的中点为 M 2 m22， m m22 ， 故直线 PQ 的斜率为m 2，PQ 的方程为 y m 2x，即 mx2y0， 2 2 2 1 2 m yx x y 整理得：x2=，|PQ| 2 22 2 4 =22 2 m xy m 方法一：方法一：设点 A 到直线 PQ 的距离为 d，则点 B 到直线 PQ 的距离也为 d，所以 2d - 9 - |mx 12y1|mx22y2| m24 .因为点A， B在直线mx2y0的异侧， 所以(mx12y1)(mx2 2y2)0，于是|mx12y1|mx22y2|mx12y1mx22y2|，从而 2d （m22）|y1y2| m24 .又因为|y1y2|（y1y2）24y1y22 2 1m 2 m22 ，所以 2d 2 2 1m 2 m24 .10 分 故四边形 APBQ 的面积 S1 2|PQ|2d 222 22 2 142 2 11 22 2 222 4 mmm mm m =22 即0m 时， min 2S 方法二：方法二：P（，） ，Q（，） ， P 到直线 AB 的距离 d1=，Q 到直线 AB 的距离 d2=， P，Q 在直线 AB 的两侧，且关于原点对称， SAPBQ=丨 AB 丨（d1+d2）=（ + ）=， SAPBQ =22，即0m 时， min 2S
