1、4.44.4空间的平面和直线空间的平面和直线一、平面方程一、平面方程 二、空间直线的方程二、空间直线的方程 三、与直线、平面有关的一些问题三、与直线、平面有关的一些问题四、小结四、小结一、平面方程一、平面方程 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做于一平面，这向量就叫做该平面的该平面的法线向量法线向量法线向量的法线向量的特征特征：垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量已知已知法线向量法线向量,CBAn ),(0000zyxM设平面上的任一点为设平面上的任一点为),(zyxMnMM 0必有必有00 nMMxyzo0MMn1 1、平面的点法式方程、平面的点法式方程点点,0
2、000zzyyxxMM 0)()()(000 zzCyyBxxA平面的点法式方程平面的点法式方程 平面上的点都满足上方程，不在平面上的平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形平面称为方程的图形例例 18 18 求过三点求过三点)4,1,2(A、)2,3,1(B和和)3,2,0(C的平面方程的平面方程.解解6,4,3 AB1,3,2 AC取取ACABn ,1,9,14 所求平面方程为所求平面方程为,0)4()1(9)2(14 zyx化简得化简得.015914 zyx由平面的点法式方程由平面的点法式方程0
3、)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCzByAx法向量法向量.,CBAn 定理定理3 3 平面方程是三元一次方程，而三元平面方程是三元一次方程，而三元一次方程必然表示一个平面一次方程必然表示一个平面.2、平面的一般方程、平面的一般方程平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：,0)1(D平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；,0)2(A ,0,0DD平面通过平面通过 轴；轴；x平面平行于平面平行于 轴；轴；x,0)3(BA平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；xoy类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0,0 CBCA0,0 CB类似
4、地可讨论类似地可讨论 情形情形.例例（补补充充）设平面过原点及点设平面过原点及点)2,3,6(，且与，且与平面平面824 zyx垂直，求此平面方程垂直，求此平面方程.设平面为设平面为,0 DCzByAx由平面过原点知由平面过原点知,0 D由由平平面面过过点点)2,3,6(知知0236 CBA,2,1,4 n024 CBA,32CBA .0322 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解例例 2 20 0 设设平平面面与与zyx,三三轴轴分分别别交交于于)0,0,(aP、)0,0(bQ、),0,0(cR（其其中中0 a，0 b，0 c），求求此此平平面面方方程程.设平面为设平面为,0 DCzByA
5、x将三点坐标代入得将三点坐标代入得 ,0,0,0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解,aDA ,bDB ,cDC 将将代入所设方程得代入所设方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x轴轴上上截截距距y轴轴上上截截距距z轴轴上上截截距距例例（补补充充）求求平平行行于于平平面面0566 zyx而而与与三三个个坐坐标标面面所所围围成成的的四四面面体体体体积积为为一一个个单单位位的的平平面面方方程程.设平面为设平面为,1 czbyaxxyzo,1 V,12131 abc由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得,611161cba （向量平行的充要条件）（向量平
6、行的充要条件）解解,61161cba 化简得化简得令令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 代入体积式代入体积式,61 t,1,6,1 cba.666 zyx所求平面方程为所求平面方程为3.两平面的夹角两平面的夹角 两平面的法线向量的夹角两平面的法线向量的夹角(通常指锐角通常指锐角)称为两称为两平面的夹角平面的夹角.1 1n2 2n,0:11111 DzCyBxA,0:22222 DzCyBxA,1111CBAn ,2222CBAn 按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 两平
7、面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：;0212121 CCBBAA.212121CCBBAA .21212121DDCCBBAA 、21)3(重合重合21)1(、垂直垂直21)2(、平行平行例（补充）例（补充）研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：013,012)1(zyzyx01224,012)2(zyxzyx02224,012)3(zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601cos 两平面相交，夹角两平面相交，夹角.601arccos )2(,1,1,21 n2,2,42 n,212142 两平面平行
8、两平面平行21)0,1,1()0,1,1(MM两平面平行但不重合两平面平行但不重合)3(,212142 21)0,1,1()0,1,1(MM两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合.例例22 一平面通过两点一平面通过两点M1(1，1，1)和和M2(0，1，-1)且垂直于平面且垂直于平面x+y+z=0，求它的方程求它的方程.解解 设所求平面的一个法向量为设所求平面的一个法向量为n=(A,B,C)，由由-A-2C=0A-2C=0A+B+C=0A+B+C=0可得可得A=-2C,B=C.A=-2C,B=C.M1M2=(-1,0,-2)M1M2=(-1,0,-2)在所求平面上，在所求平面上，与与n n垂
9、直，垂直，M1M2M1M2-A-2C=0.-A-2C=0.又又 所求的平面垂直于已知平面所求的平面垂直于已知平面x+y+z=0 x+y+z=0，又有又有A+B+C=0A+B+C=0，将将A=-2C,B=CA=-2C,B=C代入上式，并约去代入上式，并约去C(CC(C0)0)，便得便得-2(-2(x-1)+(y-1)+(z-1)=0 x-1)+(y-1)+(z-1)=0，就是所求的平面方程就是所求的平面方程.即即2 2x-y-z=0 x-y-z=0由平面的点法式方程可知，由平面的点法式方程可知，所求平面方程为所求平面方程为A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0A(x-1)+B(y-1)+C
10、(z-1)=0 思考题思考题 若若平平面面02 zkyx与与平平面面032 zyx的的夹夹角角为为4，求求?k思考题解答思考题解答,1)3(2)2(112)3(214cos222222 kk,1453212 kk.270 k二、空间直线的方程 xyzo1 2 定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程空间直线的一般方程L1.空间直线的一般方程空间直线的一般方程xyzo方向向量的定义：方向向量的定义：如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一条已知直线
11、，这个向量称一条已知直线，这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量方向向量sL),(0000zyxM0M M,LM ),(zyxMsMM0/,pnms ,0000zzyyxxMM 2.直线的对称式方程与参数方程直线的对称式方程与参数方程pzznyymxx000 直线的对称式方程直线的对称式方程tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直线的一组直线的一组方向数方向数方向向量的余弦称为方向向量的余弦称为直线的直线的方向余弦方向余弦.直线的参数方程直线的参数方程（或点向式方（或点向式方程，有时也称程，有时也称为标准方程）为标准方程）例例2323 用对称式方程及参数方程表示直
12、线用对称式方程及参数方程表示直线.043201 zyxzyx解解在直线上任取一点在直线上任取一点),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2,000 zy点坐标点坐标),2,0,1(因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取21nns ,3,1,4 对称式方程对称式方程,321041 zyx参数方程参数方程.3241 tztytx定义定义直线直线:1L,111111pzznyymxx 直线直线:2L,222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 两直线的方向向量的夹角称之两
13、直线的方向向量的夹角称之.（锐角）（锐角）两直线的夹角公式两直线的夹角公式3 3、两直线的夹角、两直线的夹角 按两向量的夹角的余弦公式按两向量的夹角的余弦公式，直线，直线L1和直和直线线L2的夹角的夹角可由下式确定。可由下式确定。两直线的位置关系：两直线的位置关系：21)1(LL ,0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直线直线:1L直线直线:2L,0,4,11 s,1,0,02 s,021 ss,21ss 例如，例如，.21LL 即即或重合或重合解解 直线直线l1的方向向量为的方向向量为s1=(1,-4,1)，直线直线l2的方的方向向量为向向量为s2=(2,
14、-2,-1)，那么有那么有 222222)1()2(21)4(1|)1(1)2()4(21|cos ，2221 所以所以.4 例例24 求直线求直线 l1:11411 zyx和直线和直线122 zzyx的的夹角夹角.l2:设直线设直线l1和和l2的夹角为的夹角为 ，定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直线的夹角角 称为称为直线与平面的夹角直线与平面的夹角,:000pzznyymxxL ,0:DCzByAx,pnms ,CBAn ns2),(0.2 4、直线与平面的夹角、直线与平面的夹角nns2),(或或222222|sinpnmCBACpBnAm 直线与平面的夹角公式直
15、线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系：L)1(.pCnBmA L)2(/.0 CpBnAm .cos 2 cossin2 例例（补补充充）设直线设直线:L21121 zyx，平，平面面:32 zyx，求直线与平面的夹角，求直线与平面的夹角.解解,2,1,1 n,2,1,2 s222222|sinpnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21|.637 637arcsin 为所求夹角为所求夹角三、三、与直线、平面有关的一些问题与直线、平面有关的一些问题1.距离距离 MSldM0(1)点到直线的距离点到直线的距离 设设M0 0是直线是直线l外一点，外一点，M是直是直线
16、线l上任一点，且直线的方向向量上任一点，且直线的方向向量为为S ，点点M0 0到直线到直线l的距离为的距离为d d，所以点所以点M0 0到直线到直线l 的距离为：的距离为：ssMMd 0ssMM 0 由于以由于以MM0，S为两邻边的平行四为两邻边的平行四边形的面积边形的面积=|MM0 S|=|S|d，例例26 26 求两条平行直线求两条平行直线 与与 234137 zyx24132zyx 之间的距离之间的距离.解解 在两条直线上分别取点在两条直线上分别取点M0（7，1，3）和点和点M（2，-1，0），），则则又又 s=(3,4,2)所以所以），（1418 MM0=（5，2，3），），24332
17、50kjisMM 又又29243222 s所以这两条直线的距离为所以这两条直线的距离为 291418222 ）（）（3 ssMMd 0(2)(2)点到平面的距离点到平面的距离 已知平面已知平面：Ax+By+Cz+D=0及平面外点及平面外点P0(x0,y0,z0)，下面来求下面来求点点P0到平面到平面的距离的距离d.n 在 平 面在 平 面 上 任 取 一 点上 任 取 一 点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1,z,z1 1)，并作一法向量并作一法向量n n，由于由于而而nnn 0 222222222,CBACCBABCBAA01Prppjdn 则则nnPPppjn 0101Pr，P0P1
18、 所以所以 222102221022210)(,)(,CBAzzCCBAyyBCBAxxA222111000)(CBADCzByAxDCzByAx 222000CBADCzByAx (注意：注意：)0111 DCZByAxP1P0=(x0-x1,y0-y1,z0-z1)01Prppjn由此得点由此得点P0到平面到平面：Ax+By+Cz+D=0的距离的距离 222000|CBADCzByAxd 例如，求点例如，求点(2，1，1)到平面到平面x+y-z+1=0的距离，的距离，利用上面公式，便得利用上面公式，便得 222111|1111121|d3 说明：要求两平行平面的距离时，只需说明：要求两平行
19、平面的距离时，只需在一个平面上取一点，求这点到另一个平面在一个平面上取一点，求这点到另一个平面的垂直距离即可的垂直距离即可.点到平面的点到平面的距离公式距离公式例例27 27 已知一个平面平行于一个定平面已知一个平面平行于一个定平面0 0：x+y+z+1=0+1=0，且相隔且相隔 单位的距离，求这平面的单位的距离，求这平面的方程方程.3解解 设这个平面设这个平面的方程为的方程为 x+y+z+D=0.+D=0.取取0 0上一点上一点P P0 0(0,0,-1)(0,0,-1)，代入公式可得代入公式可得P P0 0到到的距离为的距离为 222111|100|Dd）（因此所求平面的方程为因此所求平面
20、的方程为x+y+z-2=0-2=0 或或 x+y+z+4=0.+4=0.解得解得 D=1D=13 3，3，2.2.平面束平面束 有时用平面束的方程解题比较简便，现在有时用平面束的方程解题比较简便，现在我们来介绍它的方程我们来介绍它的方程.设直线设直线l由方程组由方程组 0022221111DzCyBxADzCyBxA 所确定所确定，通过定直线通过定直线 的所有平面的全体称为的所有平面的全体称为平面束平面束.其中系数其中系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例不成比例.易知，通过定直线易知，通过定直线l 的平面束方程为：的平面束方程为：022221111 ）（DzCyBxADzCyBxA
21、0101zyxzyx 例例28 28 求直线求直线在平面在平面x+y+z=0上的投影直线方程上的投影直线方程.解解 设过直线设过直线 0101zyxzyx的平面束方程为：的平面束方程为：(x+y-z-1)+(x-y+z+1)=0，即即(1+)x+(1-)y+(-1+)z+(-1+)=0 其中其中为特定常数为特定常数.由此得由此得=-1=-1，即即y-z-1=0 故，投影直线的方程为故，投影直线的方程为 001zyxzy(1+(1+)1+(1-)1+(-1+)1=0)1+(1-)1+(-1+)1=0这平面与平面这平面与平面x+y+z=0=0垂直的条件是：垂直的条件是：所以，投影平面的方程为所以，
22、投影平面的方程为2y-2z-2=0，解解 因为所求直线与两平面的交线平行，因为所求直线与两平面的交线平行，也就是直线的方向向量也就是直线的方向向量s s一定同时与两平面的一定同时与两平面的法线向量法线向量n n1 1、n n2 2垂直，垂直，所以可以取所以可以取 21nns 512401 kji）（kji 34因此所求直线的方程为因此所求直线的方程为 153243 zyx3.3.杂例杂例 例例29 29 求与两平面求与两平面x-4z=3=3和和2x-y-5z=1=1的交线的交线平行且过点平行且过点(-3(-3，2 2，5)5)的直线的方程的直线的方程.例例30 30 求直线求直线 与平面与平面
23、2x+y+z-6=0的交点的交点.241312 zyx x=2+t,y=3+t,z=4+2t，2(2+t)+(3+t)+(4+2t)-6=0 解此方程，得解此方程，得t=-1t=-1，把求得的把求得的t t值代入直线的参数方程中，即得值代入直线的参数方程中，即得所求交点的坐标为所求交点的坐标为 x=1,y=2,z=2.解解 所给直线的参数方程为所给直线的参数方程为代入平面方程中，得代入平面方程中，得 那么这平面的方程应为那么这平面的方程应为 3(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0 已知直线的参数方程为已知直线的参数方程为 x=-1+3t,y=1+2t,z=-t,(1)(2)例例31 31
24、求过点求过点(2(2，1 1，3)3)且与直线且与直线12131 zyx垂直相交的直线的方程垂直相交的直线的方程.解解 先作一平面过点先作一平面过点(2(2，1 1，3)3)且垂直于已知直线，且垂直于已知直线，再求已知直线与这平面的交点，再求已知直线与这平面的交点，所求直线的一个方向向量是以点所求直线的一个方向向量是以点(2(2，1 1，3)3)为起点，点为起点，点 为终点的向量，为终点的向量，），（7371372 412673731713272 ，），（故所求直线的方程为故所求直线的方程为 431122 zyx从而求得交点为从而求得交点为），（7371372 把把(2)(2)代入代入(1)(
25、1)中，求得中，求得 t=，73即即 例例32 32 求过点求过点(-1(-1，0 0，4)4)且平行于平面且平行于平面3x-4y+z-10=0，又与直线又与直线相交的直线方程相交的直线方程.21311zyx 解解 设过点设过点(-1(-1，0 0，4)4)且与已知平面平行的且与已知平面平行的平面方程为平面方程为3x-4y+z+D=0，将点将点(-1，0，4)代入得代入得D=-1,即即3x-4y+z-1=0 （1）令令 tzyx 21311即即x=t-1，y=t+3,z=2t，将其代入将其代入(1)(1)得得3(t-1)-4(t+3)+2t-1=0 解得解得t=16，故交点为故交点为(15，1
26、9，32).则所求直线的方向向量则所求直线的方向向量故所求直线的方程为故所求直线的方程为 28419161 zyxs=(15-(-1),19-0,32-4)=(16,19,28).1.平面的方程平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）熟记平面的几种特殊位置的方程）2.两平面的夹角两平面的夹角.3.点到平面的距离公式点到平面的距离公式.点法式方程点法式方程.一般方程一般方程.截距式方程截距式方程.（注意两平面的（注意两平面的位置位置特征）特征）四、小结四、小结5.空间直线的一般方程空间直线的一般方程.6.空间直线的对称式方程与参数方程空间直线的对称式方程与参数方程.7.两直线的夹角两直线的夹角
27、.8.直线与平面的夹角直线与平面的夹角.（注意两直线的位置关系）注意两直线的位置关系）（注意直线与平面的位置关系）注意直线与平面的位置关系）4.点到平面的距离公式点到平面的距离公式.思考题思考题 1、若若平平面面02 zkyx与与平平面面032 zyx的的夹夹角角为为4，求求?k 思考题思考题1解答解答,1)3(2)2(112)3(214cos222222 kk,1453212 kk.270 k思考题思考题 2、在直线方程在直线方程pznymx 6224中，中，m、n、p各怎样取值时，直线与坐标面各怎样取值时，直线与坐标面xoy、yoz都平行都平行.思考题思考题2解答解答,6,2pnms 且有且有.0 s,0 ks,0 is 0206mp,0,6 mp,0 s,0 n故当故当 时结论成立时结论成立,0 m6 p,0 n
