2020年陕西省咸阳市高考数学二模试卷（文科）.docx

1、 第 1 页（共 18 页） 2020 年陕西省咸阳市高考数学二模试卷（文科）年陕西省咸阳市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题分，共小题，每小题分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求一项符合题目要求. 1 （5 分）集合 |1Mx x， 1N ，0，1，2，则(MN ) A0，1 B 1，0，1 C1，1 D0，1，2 2 （5 分）已知i为虚数单位，复数(1)(2)zii，则其共轭复数(z ) A13i B13i C13i D13i 3 （5 分） “一带一路”是“丝绸之路经济带

2、”和“21 世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积 极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同 体自 2015 年以来， “一带一路”建设成果显著右图是20152019年，我国对“一带一 路 ” 沿 线 国 家 进 出 口 情 况 统 计 图 ， 下 列 描 述 错 误 的 是( ) A这五年，出口总额之和比进口总额之和大 B这五年，2015 年出口额最少 C这五年，2019 年进口增速最快 D这五年，出口增速前四年逐年下降 4 （5 分）已知数列 1 a， 21 aa， 32 aa， 1nn aa 是首项为 1，公差为 2 的等差数列， 则 3 a等于( )

3、A9 B5 C4 D2 5 （5 分） “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝， “火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火 第 2 页（共 18 页） 纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为 3 的正方形将其包含在内，并向该正方 形内随机投掷 2000 个点， 已知恰有 800 个点落在阴影部分， 据此可估计阴影部分的面积是( ) A 16 5 B 18 5 C10 D 32 5 6 （5 分）tan( 345 )( ) A23 B23 C23 D23 7 （5 分）已知 2 log 3a ， 3 log 10b ， 0.3 0.2c ，则a，b，c大小关系为( ) Abca Bcba Cca

4、b Dbac 8 （5 分）双曲线 22 1 22 :1(0,0) xy Cab ab 的一个焦点为(F c，0)(0)c ，且双曲线 1 C的 两条渐近线与圆 2 22 2:( ) 4 c Cxcy均相切，则双曲线 1 C的离心率为( ) A 2 3 3 B3 C 5 2 D5 9 （5 分）已知a，b为两条不同直线，为三个不同平面，下列命题： 若/ /，/ /，则/ /若/ /a，/ /a，则/ / 若，则若a，b，则/ /ab 其中正确命题序号为( ) A B C D 10 （5 分）函数 2 ( ) |1| x x f x e 的图象大致为( ) A B 第 3 页（共 18 页） C

5、 D 11 （5 分）正四棱锥PABCD的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为6，高为 3， 则它的外接球的表面积为( ) A4 B8 C16 D20 12 （5 分）已知函数( ) x f xeb的一条切线为(1)ya x，则(b ) Aalna B 2 a lna C 1 a D lna a 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置分，把答案填在答题卡的相应位置. 13 （5 分）函数(3)yln x的零点是 14 （5 分）数列 n a的前n项的和21 n n S ，则 n a 15 （5 分）为了抗

6、击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该 药物释放量 3 (/)y mg m与时间( )t h的函数关系为 1 ,0 2 11 , 2 ktt y t kt ， （如图所示）实验表明， 当药物释放量 3 0.75(/)ymg m对人体无害 （1）k ； （2）为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经 过 分钟人方可进入房间 16 （5 分）已知AB是过抛物线 2 4yx焦点F的弦，O是原点，则OA OB 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、

7、证明过程或演算步骤. 第 4 页（共 18 页） 17 （12 分）已知函数( )3sincosf xxx ( ) I求函数( )f x的单调递增区间； ()II在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（A）1，3,2ac， 求边b的长和C的大小 18 （12 分）为了响应国家号召，促进垃圾分类，某校组织了高三年级学生参与了“垃圾分 类，从我做起“的知识问卷作答，随机抽出男女各 20 名同学的问卷进行打分，作出如图所 示的茎叶图，成绩大于 70 分的为“合格“ ( ) I由以上数据绘制成22联表， 是否有95%以上的把握认为 “性别 “与 “问卷结果 “有关？ 男 女 总计 合格

8、不合格 总计 ()II从上述样本中，成绩在 60 分以下（不含 60 分）的男女学生问卷中任意选 2 个，求这 2 个学生性别不同的概率 附： 2 0 ()P kk 0.100 0.050 0.010 0.001 0 k 2.706 3.841 6.635 10.828 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，nabcd 19 （12 分）如图，在直角梯形ABCD中，/ /ABDC，90ABC，22ABDCBC，E 为AB的中点， 沿DE将ADE折起， 使得点A到点P位置， 且PEEB，M为PB的中点， N是BC上的动点（与点B，C不重合） 第 5 页（共

9、18 页） ( ) I求证：平面EMN 平面PBC； （）设三棱锥BEMN和四棱锥PEBCD的体积分别为 1 V和 2 V，当N为BC中点时，求 1 2 V V 的值 20 （12 分）椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，它的四个顶点构成的四边形面积 为2 2 ( ) I求椭圆C的方程： ()II设P是直线 2 xa上任意一点， 过点P作圆 222 xya的两条切线， 切点分别为M，N， 求证：直线MN恒过一个定点 21 （12 分）已知函数( )(,0) x f xaxe aR a，( )1g xxlnx ( ) I讨论( )f x的单调性； ()II当1

10、a 时，证明：对任意的0x ，( )( )f xg x恒成立 （本小题满分（本小题满分 10 分）分）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是 2 cos4sin0， 直线 1 l和直线 2 l的极坐标方程分别是()R 和() 2 R ， 其中()kkz ( ) I写出曲线C的直角坐标方程； ( ) I设直线 1 l和直线 2 l分别与曲线C交于除极点O的另外点A，B， 求OAB的面积最小值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知关于x的不等式| 20xmx解集为1，)(0)m (

11、) I求正数m的值； ()II设a，b，cR，且abcm，求证： 222 1 abc bca 第 6 页（共 18 页） 2020 年陕西省咸阳市高考数学二模试卷（文科）年陕西省咸阳市高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题分，共小题，每小题分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求一项符合题目要求. 1 （5 分）集合 |1Mx x， 1N ，0，1，2，则(MN ) A0，1 B 1，0，1 C1，1 D0，1，2 【解答】解： |1Mx x， 1N

12、 ，0，1，2， 1MN ，0，1 故选：B 2 （5 分）已知i为虚数单位，复数(1)(2)zii，则其共轭复数(z ) A13i B13i C13i D13i 【解答】解：(1)(2)221 1 3ziiiii ， 13zi 故选：B 3 （5 分） “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21 世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积 极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同 体自 2015 年以来， “一带一路”建设成果显著右图是20152019年，我国对“一带一 路 ” 沿 线 国 家 进 出 口 情 况 统 计 图 ， 下 列 描 述 错 误 的 是(

13、) A这五年，出口总额之和比进口总额之和大 第 7 页（共 18 页） B这五年，2015 年出口额最少 C这五年，2019 年进口增速最快 D这五年，出口增速前四年逐年下降 【解答】解：对于A，这五年，出口总额之和比进口总额之和大，故A对； 对于B，2015 出口额最少，故B对； 对于C，这五年，2019 年进口增速最快，故C对； 对于D，根据蓝色线斜率可知，这五年，出口增速前三年逐年下降，第四年后增速开始增 加，故D错 故选：D 4 （5 分）已知数列 1 a， 21 aa， 32 aa， 1nn aa 是首项为 1，公差为 2 的等差数列， 则 3 a等于( ) A9 B5 C4 D2

14、【解答】解：由题意可得， 1 12(1)21 nn aann ， 1 1a ， 故 2 4a ， 3 9a ， 故选：A 5 （5 分） “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝， “火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火 纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为 3 的正方形将其包含在内，并向该正方 形内随机投掷 2000 个点， 已知恰有 800 个点落在阴影部分， 据此可估计阴影部分的面积是( ) A 16 5 B 18 5 C10 D 32 5 【解答】解：根据题意，设阴影部分的面积为S，则正方形的面积为 9， 向正方形内随机投掷 2000 个点，已知恰有 800 个点落在阴影部分内， 则

15、向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率 8002 20005 P ； 第 8 页（共 18 页） 而 9 s P ，则 2 95 s ， 解可得， 18 5 S ； 故选：B 6 （5 分）tan( 345 )( ) A23 B23 C23 D23 【解答】解： 2 2tan153 tan30tan(2 15 ) 1153tan ， 可得 2 3tan 156tan1530， 解得tan1523，负值舍去， tan( 345 )tan(36015 )tan1523 故选：B 7 （5 分）已知 2 log 3a ， 3 log 10b ， 0.3 0.2c ，则a，b，c大小关系为( )

16、 Abca Bcba Ccab Dbac 【解答】解： 222 log 2log 3log 4，12a ， 33 log 10log 92，2b， 0.30 00.20.21，01c， cab ， 故选：C 8 （5 分）双曲线 22 1 22 :1(0,0) xy Cab ab 的一个焦点为(F c，0)(0)c ，且双曲线 1 C的 两条渐近线与圆 2 22 2:( ) 4 c Cxcy均相切，则双曲线 1 C的离心率为( ) A 2 3 3 B3 C 5 2 D5 【解答】解：双曲线 22 1 22 :1(0,0) xy Cab ab ， 双曲线的渐近线方程为 b yx a ，即0bxa

17、y， 圆 2 22 2:( ) 4 c Cxcy的圆心为( ,0)F c，半径为 1 2 c， 由双曲线C的渐近线与圆E相切，得 22 1 2 bc c ab ， 第 9 页（共 18 页） 整理，得 1 2 bc，即 222 1 4 cac，可得 4 3 ca 双曲线C的离心率 2 3 3 c e a 故选：A 9 （5 分）已知a，b为两条不同直线，为三个不同平面，下列命题： 若/ /，/ /，则/ /若/ /a，/ /a，则/ / 若，则若a，b，则/ /ab 其中正确命题序号为( ) A B C D 【解答】解：若/ /，/ /，则/ /，故正确； 若/ /a，/ /a，则/ /或与相

18、交，故错误； 若，则/ /或与相交，故错误； 若a，b，则/ /ab，故正确 正确命题序号为 故选：C 10 （5 分）函数 2 ( ) |1| x x f x e 的图象大致为( ) A B C D 【解答】解：函数( )f x为非奇非偶函数，图象不对称，排除C， 当x ，( )0f x ，排除D， ( )0f x 恒成立，排除A， 故选：B 11 （5 分）正四棱锥PABCD的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为6，高为 3， 第 10 页（共 18 页） 则它的外接球的表面积为( ) A4 B8 C16 D20 【解答】 解： 正四棱锥PABCD的五个顶点在同一个球面上， 它的底面边长

19、为6， 高为 3， 设它的外接球的半径为R，球心为O，底面ABCD的中心为M 设OMx 则 222 ( 3)Rx，3Rx 解得： 2 4R 可得球的表面积为16 故选：C 12 （5 分）已知函数( ) x f xeb的一条切线为(1)ya x，则(b ) Aalna B 2 a lna C 1 a D lna a 【解答】解：设切点为 0 (P x，)n， 则 0 0 () x fxea 又 0 0 (1) x eba x， 由得： 0 bax， 由知 0 xlna， balna 故选：A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把

20、答案填在答题卡的相应位置分，把答案填在答题卡的相应位置. 13 （5 分）函数(3)yln x的零点是 4 【解答】解：令函数(3)0yln x，求得31x ，4x ， 第 11 页（共 18 页） 故函数(3)yln x的零点为 4， 故答案为：4 14 （5 分）数列 n a的前n项的和21 n n S ，则 n a 1 2n 【解答】解：数列 n a的前n项的和21 n n S ， 1n时， 11 211aS ； 2n时， 1nnn aSS 1 (21)(21) nn 1 2n 1n 时， 1 1 21 n a 1 2n n a 故答案为： 1 2n 15 （5 分）为了抗击新型冠状病毒

21、肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该 药物释放量 3 (/)y mg m与时间( )t h的函数关系为 1 ,0 2 11 , 2 ktt y t kt ， （如图所示）实验表明， 当药物释放量 3 0.75(/)ymg m对人体无害 （1）k 2 ； （2）为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经 过 分钟人方可进入房间 【解答】解： （1）由图象可知，当 1 2 t 时，1y ， 2 1 k ， 第 12 页（共 18 页） 2k； （2）由（1）可知： 1 2 ,0 2 11 , 22 tt y t t ， 当 1 2 t时， 1 2 y t

22、 ，令0.75y 得， 2 3 t ， 2 3 t ， 在消毒后至少经过 2 3 小时，即 40 分钟人方可进入房间， 故答案为：2，40 16 （5 分）已知AB是过抛物线 2 4yx焦点F的弦，O是原点，则OA OB 3 【解答】解：设直线:1l xmy（由于有两个交点，直线l的斜率必存在） ， 联立 2 4 1 yx xmy 得： 2 440ymy， 由韦达定理： 12 4yym， 12 4y y 所以 222 12121212 (1)(1)()14411x xmymym y ym yymm 1 (OA OBx， 12 ) (yx， 21212 )413yx xy y 故答案为：3 三、

23、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （12 分）已知函数( )3sincosf xxx ( ) I求函数( )f x的单调递增区间； ()II在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（A）1，3,2ac， 求边b的长和C的大小 【解答】解： （）函数 31 ( )3sincos2(sincos )2sin() 226 f xxxxxx ； 令22 262 kxk 剟，kZ； 63 kxk 剟，kZ； 所以函数( )f x的单调递增区间是 6 k ， 3 k ，

24、kZ； 第 13 页（共 18 页） ()IIABC中，f（A）2sin()1 6 A ，所以 1 sin() 62 A ； 又(0, )A，所以( 66 A ， 5 ) 6 ， 所以 66 A ，解得 3 A ； 又3,2ac， 所以 222 2cosabcbcA， 即 2 3422cos 3 bb ， 化简得 2 210bb ， 解得1b ； 且 222 abc，所以 2 C 18 （12 分）为了响应国家号召，促进垃圾分类，某校组织了高三年级学生参与了“垃圾分 类，从我做起“的知识问卷作答，随机抽出男女各 20 名同学的问卷进行打分，作出如图所 示的茎叶图，成绩大于 70 分的为“合格“

25、 ( ) I由以上数据绘制成22联表， 是否有95%以上的把握认为 “性别 “与 “问卷结果 “有关？ 男 女 总计 合格 不合格 总计 ()II从上述样本中，成绩在 60 分以下（不含 60 分）的男女学生问卷中任意选 2 个，求这 2 个学生性别不同的概率 附： 2 0 ()P kk 0.100 0.050 0.010 0.001 第 14 页（共 18 页） 0 k 2.706 3.841 6.635 10.828 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，nabcd 【解答】解：( ) I根据茎叶图填写22联表，如下； 男 女 总计 合格 10 16

26、26 不合格 10 4 14 总计 20 20 40 计算 2 2 40(10410 16)360 3.9563.841 26 14202091 K ， 所以有95%以上的把握认为“性别“与“问卷结果“有关； ()II从茎叶图中的数据知，成绩在 60 分以下（不含 60 分）的男生是 4 人，记为a、b、c、 d， 女生是 2 人，记为E、F，从这 6 人中任意选 2 人，基本事件是： ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF共 15 种， 其中这两个学生性别不同的是aE、aF、bE、bF、cE、cF、dE、dF共 8 种， 所以所求的概率值是

27、8 15 P 19 （12 分）如图，在直角梯形ABCD中，/ /ABDC，90ABC，22ABDCBC，E 为AB的中点， 沿DE将ADE折起， 使得点A到点P位置， 且PEEB，M为PB的中点， N是BC上的动点（与点B，C不重合） ( ) I求证：平面EMN 平面PBC； （）设三棱锥BEMN和四棱锥PEBCD的体积分别为 1 V和 2 V，当N为BC中点时，求 1 2 V V 的值 【解答】解：( ) I证明：PEEB，PEED，EBEDE， 第 15 页（共 18 页） PE平面EBCD， 又PE 平面PEB，平面PEB 平面EBCD， BC 平面EBCD，BCEB， 平面PBC 平

28、面PEB， PEEB，PMMB，EMPB， BCPB，EM平面PEB， EM平面EMN，平面EMN 平面PBC （）解：N是BC中点， 1 1 2 4 EBN EBCD EB BN S SEB BC ， 点M，P到平面EBCD的距离之比为 1 2 ， 1 2 1 11 11 3 1 22 48 3 EBC EBCD S V V S 20 （12 分）椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，它的四个顶点构成的四边形面积 为2 2 ( ) I求椭圆C的方程： ()II设P是直线 2 xa上任意一点， 过点P作圆 222 xya的两条切线， 切点分别为M，N， 求证：

29、直线MN恒过一个定点 【解答】解：( ) I由题意可知， 222 1 222 2 2 2 2 ab c e a abc ，解得2a ，1bc， 所以椭圆的标准方程 2 2 1 2 x y； ()II证明：方法一：设点 0 (2,)Py， 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y 第 16 页（共 18 页） 其中 22 11 2xy， 22 22 2xy，由PMOM，PNON， 101 11 1 2 yyy xx ， 202 22 1 2 yyy xx ，即 22 11110 20xyxy y， 22 22220 20xyxy y， 注意到 22 11 2xy， 22 22 2xy

30、，于是， 110 220xy y， 220 220xy y， 所以，M，N满足 0 220xyy， 由 0 y的任意性可知，1x ，0y ，即直线MN恒过一个定点(1,0) 方法二： 设点 0 (2,)Py， 过点P且与圆 22 2xy相切的直线PM，PN， 切点分别为M，N， 由圆的知识可知，M，N是圆以OP为直径的圆 22200 (1)()1() 22 yy xy 和圆 22 2xy 的两个交点， 由 22 222200 2 (1)()1() 22 xy yy xy ，消去二次项得直线MN方程为 0 220xyy， 由 0 y的任意性可知，1x ，0y ，即直线MN恒过一个定点(1,0)

31、方法三：由圆的极点极线可知，已知 0 (M x， 0) y为圆 222 :()()CxaybR外一点， 由点M引圆C的两条切线MA，MB，其中A，B为切点，则直线AB的方程为 2 00 ()()()()xa xayb ybR， 特殊地，知 0 (M x， 0) y为圆 222 :C xyR外一点，由点M引圆C的两条切线MA，MB， 其中A，B为切点，则直线AB的方程为 2 00 xxyyR 设点 0 (2,)Py，由极点与极线可知，直线MN的方程 0 22xyy，即 0 220xyy， 由 0 y的任意性可知，1x ，0y ，即直线MN恒过一个定点(1,0) 所以直线MN恒过一个定点(1,0)

32、 21 （12 分）已知函数( )(,0) x f xaxe aR a，( )1g xxlnx ( ) I讨论( )f x的单调性； ()II当1a 时，证明：对任意的0x ，( )( )f xg x恒成立 【解答】解：( )( )(1) x I fxa xe，0a ， 第 17 页（共 18 页） 当0a 时，易得(, 1)x 时，( )0fx，函数单调递减，当( 1,)x 时，( )0fx， 函数单调递增， 当0a 时，易得(, 1)x 时，( )0fx，函数单调递增，当( 1,)x 时，( )0fx， 函数单调递减， ()II当1a 时，要证明( )( )f xg x代入可得，即证明 1

33、 1 x xlnx xe ，0x ， 令 1 ( ) x xlnx F x xe ，0x ， 则 2 (1)() ( ) () x xxlnx F x xe ，令( )t xxlnx，0x ，则 1 ( )10t x x ，即( )t x在(0,)上 单调递增，且 11 ( )10t ee ，t（1）10 ， 故存在 0 1 ( ,1)x e 使得 000 ()0t xxlnx， 从而有( )F x在 0 (0,)x单调递增，在 0 (x，)上单调递减， 故 0 00 0 0 1 ( )()1 max x xlnx F xF x x e ， 故( ) 1F x 因此( )( )f xg x恒成

34、立， 法二：令( )1 x h xex，则( )1 x h xe， 易得，当0x 时，( )0h x，函数单调递增，当0x 时，( )0h x，函数单调递减， 故当0x 时，( )h x取得最小值(0)0h，即1 x ex ，0x 时取等号， 故1 xx lnx xeexlnx ，当0xlnx时取等号， 所以当1a 时，1 x xexlnx恒成立 综上不等式( )( )f xg x恒成立 （本小题满分（本小题满分 10 分）分）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是 2 cos4sin0， 直

35、线 1 l和直线 2 l的极坐标方程分别是()R 和() 2 R ， 其中()kkz ( ) I写出曲线C的直角坐标方程； ( ) I设直线 1 l和直线 2 l分别与曲线C交于除极点O的另外点A，B， 求OAB的面积最小值 第 18 页（共 18 页） 【解答】 解：（） 曲线C的极坐标方程是 2 cos4sin0， 转换为直角坐标方程为 2 4xy （）直线 1 l和直线 2 l的极坐标方程分别是()R 和() 2 R ，其中 ()kkz 所以 2 cos4sin0 整理得 1 2 4sin | cos ， 同理 2 2 2 4sin() 4cos 2 | | sin cos () 2 ，

36、 所以 22 11 4sin4cos16 | | 16 22 cossinsin2 OAB SOA OB 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知关于x的不等式| 20xmx解集为1，)(0)m ( ) I求正数m的值； ()II设a，b，cR，且abcm，求证： 222 1 abc bca 【解答】解： （）| 20(0)xmxm， |222xmxx xmx 剟?， 3 x m m x ，x m 不等式| 20xmx解集为1，)， 1m （）由（）知，1abcm， a，b， * cR， 22 2abab， 2 2 a ab b ，同理 22 2,2 bc bcca ca 厖， 三式相加，得 222 abc abc bca ，当且仅当abc时等号成立， 222 1 abc bca