1、第 八 讲一、分块矩阵的定义 把一个阶数较高的矩阵,用若干条横线和竖线分成若干小块,每一小块都叫做矩阵的子块,以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.例如：将34矩阵343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA分块形式如下：22211211AAAA232221131211AAAAAA 343332312423222114131211 1aaaaaaaaaaaa 343332312423222114131211 2aaaaaaaaaaaa14131211 AAAA312111AAA 343332312423222113131211 3aaaaaaaaaaaa34333231
2、2423222114131211 4aaaaaaaaaaaasrsrAAAAA1111srsrBBBBB1111 二、分块矩阵的运算 1、分块矩阵的加法：同型矩阵,分法相同,对应子块相加.设 A 和 B 均为 mn矩阵,分法下:那末相同列数的行数相同与其中,ijijBAsrsrssrrBABABABABA11111111其运算律与矩阵的加法相同.2.分块矩阵的数乘设分块矩阵srs1r111AAAAA为数，那末sr1sr111AAAAA其运算律与数乘矩阵相同.3.分块矩阵的乘法.设A为 ml 矩阵，B为ln矩阵，分块成trtjt1iriji11rj 111BBBBBBBBBBstAAAAAAAA
3、AAss21iti2i1t11211列数分别等于其中iti21 i,AAA的行数，tj2jj1,BBBsrs2s1r22221r11211CCCCCCCCCAB那末其中tjitjijiijBABABAC2211(1,2,;1,2,)is jr例例1.设求AB.,1011012100100001A0211140110210101B,1011012100100001A解解：把A,B分块成222111BBEB10EAE 0211140110210101B所以AB222111BBEB2212111111BABBAEB10EAE 其中11012101112121111BBA,11421101204313
4、3302141121221BA.1311334210210101AB于是4.分块矩阵的转置设分块矩阵srs1r 111AAAAA则.srT1rTs1T11TTAAAAA 5.分块对角矩阵（准对角矩阵）.设其中sAAAA21.),2,1(都是方子块siAi.21sAAAA显然若则),2,1(0siAi0A,所以.112111SAAAA例例2.设1,120130005AA求120130005A2100AA解解：,51A;5111A,12132A.321112A32011000511A所以例例3 设 A 的伴随矩阵1000010000100018A 且ABA-1=BA-1+3E,求矩阵B。解解 由|
5、A*|=|A|n-1,有|A|3=8,得|A|=2。在ABA-1=BA-1+3E 的两边左乘 A*，右乘 A 得2B=A*B+6E 即 (2E A*)B=6E B=6(2EA*)-1由于 2EA*1000010000100016 (2EA*)-1=116610000100001000所以故6000060000600011B 因此6.分块矩阵的应用 设A为mn矩阵，将A按行分块，得 Am21),2,1(mii其中是A的第 i 行.将A按列分块,得A=（1，2，n）.其中 j (j=1,2,n).是 A 的第 j 列.对于线性方程组mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22
6、112222212111212111A=X=b=B=,21nxxx,21mbbb,)(nmija记.21222221111211mmnmmnnbaaabaaabaaa 其中 A 称为系数矩阵,x 称为未知向量,b 称为常数项向量,B称为增广矩阵,记为:),(bAB 利用矩阵的乘法,此方程可记为:Ax=b或 B=(A,b)=(1,2,n,b)按行分块矩阵,Ax=b又可写成:12mbb,b即 i Tx=bi (i=1,2,m).12TTTmx 按列分块矩阵,Ax=b又可写成12 nxxb,x 12n,即 x11+x2 2+xn n=b概念特殊矩阵 mn个数aij(i=1,2,m;j=1,2,n)构
7、成的数表单位距阵:主对角线元素都是1,其余元素都是零的n阶方阵对角矩阵:主对角元素是 其余元素都是零的n阶方阵对称矩阵:距阵主要知识网络图12n,，AT=A反对称矩阵:AT=A矩阵运算A+B=(aij+bij)kA=(kaij)AB=C 其中其中A与B同型的第i行是A的第i列.|A|=detA,A必须是方阵.伴随矩阵 n 阶行列式的|A|所有元素的代数余子式构成的矩阵1nijikkj,mssnmnkcabA,B,C AT:AT112111222212nnnnnnAAAAAAAAA A 逆矩阵概念求法证法如果AB=BA=E,则A可逆，B是A的逆矩阵.用定义用伴随矩阵分块对角矩阵|A|0,A可逆.|A|=0,A不可逆.AB=E,A与B互逆反证法11AAA 1110000AABB 1110000ABBA 作业1.利用逆矩阵解线性方程组:3532522132321321321xxxxxxxxx2.设.220002000034004348AAA及求 3.设n阶矩阵A和s阶矩阵B都可逆,求100BA
