1、 直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系 要点、考点聚焦要点、考点聚焦 课前热身课前热身 典型例题解析典型例题解析 课时训练课时训练 要点、考点聚焦要点、考点聚焦1.本课时重点是直线和圆的位置关系的性质和判定本课时重点是直线和圆的位置关系的性质和判定.2.2.直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系.设设O O的半径为的半径为r r，圆心圆心O O到直线到直线l l的距离为的距离为d d，那那么么(1)(1)直线直线l l和和O O相交相交 d dr r(2)(2)直线直线l l和和O O相切相切 d=rd=r(3)(3)直线直线l l和和O O相离相离 d dr r 3 3、切线的判定和性质定理及
2、推论、切线的判定和性质定理及推论.(1)(1)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线条半径的直线是圆的切线.(2)(2)切线的性质定理及其推论切线的性质定理及其推论.定理：圆的切线垂直于经过切点的半径定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.推论推论1 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.4.切线长及弦切角的定义切线长及弦切角的定义.(1)(1)切线长：过圆外一点引圆的两切线长：过圆外一点引圆的两条切线
3、，这点与切点之间的线段条切线，这点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长如图的长叫做这点到圆的切线长如图中的中的PAPA、PB.PB.(2)(2)弦切角：顶点在圆上，一边和弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边与圆相切的角圆相交，另一边与圆相切的角 要点、考点聚焦要点、考点聚焦5.5.切线长定理及弦切角定理切线长定理及弦切角定理.(1)(1)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的 切线长相等，圆心和这一点的连线平切线长相等，圆心和这一点的连线平 分两条切线的夹角分两条切线的夹角.(2)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角弦切角定理：
4、弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.6.6.三角形的内切圆和四边形的内切圆三角形的内切圆和四边形的内切圆.(1)三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆.(2)(2)三角形内心：内切圆的圆心三角形内心：内切圆的圆心.(3)(3)三角形内切圆的性质：三角形内切圆的性质：到三角形三边的距离相等，到三角形三边的距离相等，圆心和三角形各顶点的连线平分这个角圆心和三角形各顶点的连线平分这个角.要点、考点聚焦要点、考点聚焦(4)四边形的内切圆的性质：四边形的内切圆的性质：圆外切四边形的对边和相等圆外切四边形的对边和相等.7.7.中考热点中考热点.直线和圆的位置关系是中考的
5、热点，直线和圆的位置关系是中考的热点，特别是切线长定理、弦切角定理特别是切线长定理、弦切角定理.考题多以填空、选择、证明、综合题为主考题多以填空、选择、证明、综合题为主.要点、考点聚焦要点、考点聚焦 课前热身课前热身 如图，如图，CACA是是O O的切线，切点为的切线，切点为A A，点点B B在在O O上，如上，如果果CAB=55CAB=55，那么那么AOBAOB等于等于 ()A.55 A.55 B.90 B.90 C.110 C.110 D.120 D.120C2.2.下列命题中，正确的命题有下列命题中，正确的命题有()圆的切线垂直于半径圆的切线垂直于半径垂直于切线的直径必过圆心垂直于切线的
6、直径必过圆心经过圆心且垂直于切线的直线过切点经过圆心且垂直于切线的直线过切点如果圆的两条切线平行，那么过两切点的直线如果圆的两条切线平行，那么过两切点的直线 必过圆心必过圆心三角形的内心不一定在三角形的内部三角形的内心不一定在三角形的内部多边形的内切圆圆心到各边的距离相等多边形的内切圆圆心到各边的距离相等 A.2 A.2个个 B.3B.3个个 C.4 C.4个个 D.5D.5个个B 课前热身课前热身3.3.已知圆的半径为已知圆的半径为65 65 cmcm，如果一条直线和圆心的距如果一条直线和圆心的距离为离为9 9cmcm，那么这条直线和这个圆的位置关系是那么这条直线和这个圆的位置关系是 ()A
7、.A.相交相交 B.B.相切相切C.C.相离相离 D.D.相交或相离相交或相离C 课前热身课前热身 典型例题解析典型例题解析【例【例1 1】如图】如图(1)(1)，A A、K K为为O O上的两点，直线上的两点，直线FNMA,FNMA,垂足为垂足为N N，FNFN与与O O相切于点相切于点F F，AOK=2AOK=2MAK.MAK.求证：求证：MNMN是是OO的切线；的切线；【解析解析】O+2KAO=180O+2KAO=1802MAK+2KAO=180MAK+2KAO=180MAK+KAO=90MAK+KAO=90即即OAMNOAMNMN是是 O的切线的切线【例例2 2】如图，在】如图，在AB
8、CABC中，中，AC=BCAC=BC，E E是内心，是内心，AEAE的延长线交的延长线交ABCABC的外接圆于的外接圆于D D，求证：求证：(1)(1)BE=AEBE=AE(2)AB/AC=AE/DE(2)AB/AC=AE/DE 典型例题解析典型例题解析【解析】【解析】(1)(1)要证要证BE=AEBE=AE，则需证则需证1=21=2，由由AC=BCAC=BCCAB=CBACAB=CBA，想到想到AEAE、BEBE必是角平线，而必是角平线，而E E是内心，是内心，所以所以AEAE、BEBE分别平分分别平分CABCAB、CBA.CBA.CAB1221DEBDC(2)(2)要证比例式，应该先想到这
9、几条线段在哪两个要证比例式，应该先想到这几条线段在哪两个三角形中，再证相似，这是证明比例式三角形中，再证相似，这是证明比例式(或等积式或等积式)的首选数学思路的首选数学思路.但此题的四条线段不在两个三角但此题的四条线段不在两个三角形中，下面考虑的思路有两条：形中，下面考虑的思路有两条：一是等线段代换，一是等线段代换，二是中间比二是中间比.此题中若将此题中若将AEAE换成换成BEBE，则只要证则只要证ABCABCBED.BED.ABCABCBEDBED【例【例3 3】如图，割线如图，割线ABCABC与与O O相交于相交于B B、C C两点，两点，D D为为O O上一点，上一点，E E为弧为弧BC
10、BC的中点，的中点，OEOE交交BCBC于于F F，DEDE交交ACAC于于G G，AGD=ADGAGD=ADG(1)(1)求证：求证：ADAD是是O O的切线的切线(2)(2)如果如果AB=2AB=2，AD=4AD=4，EG=2EG=2，求求O O的半径的半径.典型例题解析典型例题解析【解析】【解析】(1)证切线两条思路：证切线两条思路：一是过圆心作垂线段，证明一是过圆心作垂线段，证明d=r，二是连结半径，证半径二是连结半径，证半径ODAD(这种思路是已知直线和圆有交点这种思路是已知直线和圆有交点时时)此题当然是连结此题当然是连结OD，证证ODAD.(1)(1)证明：由证明：由E E是弧是弧
11、BCBC的中点的中点OEBCOEBC于于F F点，点，ADG+ODE=90ADG+ODE=90即即ADODADADODAD是是O O的切线的切线 OEDODEOEOD90OEDEGFODEAGD(2)(2)计算题，在圆中通常用两个定理：相交弦定理和切计算题，在圆中通常用两个定理：相交弦定理和切割线定理割线定理.由由AD=4AD=4，AB=2ADAB=2AD2 2=ABACAC=8GB=2=ABACAC=8GB=2，GC=4(GC=4(切割线定理切割线定理)再由相交弦定理：再由相交弦定理：CGBG=EGDG DG=4 CGBG=EGDG DG=4 ADGADG为为等边三角形等边三角形 ADG=6
12、0ADG=60，下面根据垂径定理求下面根据垂径定理求O O的半径的半径.过过O O作作OHEDOHED于于H H，则则EOH=60EOH=60 EH=3 EH=3，OE=OE=32r 32【例【例4 4】在在ABCABC中，如图，中，如图，BC=9BC=9，AC=12AC=12，AB=15AB=15，ABCABC的平分线的平分线BDBD交交ACAC于点于点D D，DEDBDEDB交交ABAB于点于点E.E.(1)(1)求证：求证：ABCABC是直角三角形是直角三角形.(2)(2)设设O O是是BDEBDE的外接圆，求证：的外接圆，求证：ACAC是是O O的切线的切线.(3)(3)设设O O交交
13、BCBC于点于点F F，连结连结EFEF，求求AEAE的长和的长和EFACEFAC的值的值.典型例题解析典型例题解析【解析】【解析】(1)(1)根据勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，很容易证得很容易证得.【解析】【解析】(2)(2)要证切线，若这条直线上有一点在圆上，通常要证切线，若这条直线上有一点在圆上，通常是过这一点作半径，证明半径垂直于这条直线即可，是过这一点作半径，证明半径垂直于这条直线即可，因此此题须连结因此此题须连结ODOD，证证ODAC.ODAC.BDE=90BDE=90BEBE是是O O的直径的直径OB=OD OB=OD ODAC ODAC ACBCBCOD322131/
14、(3)(3)通过平行或相似求解通过平行或相似求解ODBCODBC由由BFE=90BFE=90 EFAC EFAC415845215AE845OD15OD159ODABAOBCOD 43158452ABBEACEF 1.1.若证切线，有两条思路：若证切线，有两条思路：是直线上的点不知是否在圆上的，则过圆心作该是直线上的点不知是否在圆上的，则过圆心作该直线的垂线，根据定义证；直线的垂线，根据定义证；是已知直线上的点在圆上，则连结圆心和这一点，是已知直线上的点在圆上，则连结圆心和这一点，根据切线的判定定理证明根据切线的判定定理证明.2.2.有切线，则常连结过切点的半径；若不知切有切线，则常连结过切点
15、的半径；若不知切点，则过圆心作切线的垂线，则垂足为切点点，则过圆心作切线的垂线，则垂足为切点.有切线，常利用弦切角计算或证明有切线，常利用弦切角计算或证明.课时训练课时训练1.1.已知圆的直径为已知圆的直径为13 13 cmcm，圆心到直线圆心到直线l l的距离为的距离为6 6cmcm，那么直线那么直线l l和这个圆的公共点个数是和这个圆的公共点个数是()A.0 A.0个个 B.1B.1个个 C.2 C.2个个 D.D.无法确定无法确定2.2.如图，如图，ABAB、ACAC是是O O的两条切线，的两条切线，B B、C C是切点，是切点，A=50A=50，点点P P是圆上异于是圆上异于B B、C
16、 C的一动点，则的一动点，则BPCBPC的度数是的度数是()A.65A.65 B.115 B.115C.65或或115 D.130或或50CC3.3.如图中，如图中，ABAB、ACAC为为O O的切线，的切线，B B和和C C是切点，延长是切点，延长OBOB到到D D，使使BD=OBBD=OB，连结连结ADAD，如果如果DAC=78DAC=78，那么那么ADOADO等于等于 ()A.70 A.70 B.64 B.64 C.62 C.62 D.51 D.51B 课时训练课时训练4.4.如图，如图，BCBC为半圆的直径，为半圆的直径，CACA为切线，为切线，ABAB交半圆于交半圆于E E，EFBC
17、EFBC于于F F，连结连结ECEC，则图中与则图中与EFCEFC相似的三角形共相似的三角形共有有 ()A.1 A.1个个 B.2B.2个个 C.3 C.3个个 D.4D.4个个D 课时训练课时训练5.5.如图，如图，PAPA，PBPB分别切分别切O O于于A A、B B，OPOP交交O O于于C C，下下列结论中错误的是列结论中错误的是 ()A.1=2 B.PA=PBA.1=2 B.PA=PBC.ABOP D.PAC.ABOP D.PA王王2=2=PCPBPCPBD 课时训练课时训练6.6.如图，如图，AOB=30AOB=30，OA=10OA=10，那么以那么以A A为圆心，为圆心，6 6为为半径的半径的A A与射线与射线OBOB的关系是的关系是 ()A.A.相交相交 B.B.相切相切 C.C.相离相离 D.D.不能确定不能确定A 课时训练课时训练
