1、5.3 Lindelff 空间空间 定义定义5.3.1 设设A 是一个集族，是一个集族，B是一个集合如果是一个集合如果 ,则称集则称集族是集合族是集合B的一个覆盖，并且当的一个覆盖，并且当A是是可数族或有限族时，分别称集族是可数族或有限族时，分别称集族是集合集合B的的个可数覆盖或有限覆盖个可数覆盖或有限覆盖AABA 设集族设集族 A 是集合是集合B的一个的一个覆盖如果集族覆盖如果集族 A 的一个子族的一个子族A1也是集合也是集合B的覆盖，则称集族的覆盖，则称集族 A1 是覆盖是覆盖A (关于集合关于集合B)的一个的一个子覆盖子覆盖.设设X是一个拓扑空间如果由是一个拓扑空间如果由X中开中开(闭闭
2、)子集构成的集族子集构成的集族 A 是是X的子集的子集B的一个覆盖，则称集的一个覆盖，则称集族族 A 是集合是集合B的一个开的一个开(闭闭)覆覆盖盖 定义定义5.3.2 设设X是一个拓扑空是一个拓扑空间如果间如果 X 的每一个开覆盖都有的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间一个可数子覆盖，则称拓扑空间X是一个是一个Lindelff空间空间 定理定理5.3.1 任何一个满足第二任何一个满足第二可数性公理的空间都是可数性公理的空间都是 Lindelff空间空间继续 推论推论5.3.2 满足第二可数性满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是公理的空间的每一个子空间都是Lindelff空间空
3、间 特别，特别，n欧氏空间欧氏空间Rn的每的每一个子空间都是一个子空间都是Lindelff空间空间 定理定理5.3.1和推论和推论5.3.2的逆的逆命题不成立命题不成立.(见例见例5.3.1)定理定理5.3.3 每一个每一个Lindelff的度量空间都满足第二可数性公的度量空间都满足第二可数性公理理.继续 定理定理5.3.4 Lindelff空间的每一个闭子空间都空间的每一个闭子空间都是是Lindelff空间空间继续继续 注注 意意Lindelff空间不可以遗传空间不可以遗传(见例见例5.3.2）但对闭子空间可遗传但对闭子空间可遗传两个两个Lindelff空间的积空间不一空间的积空间不一定是定是Lindelff空间空间(见习题见习题4)作业作业:1
