1、北京四中北京四中 2019-2020 学年度高三年级统练数学学科学年度高三年级统练数学学科 数学试卷数学试卷 一、选择题一、选择题 1.tan690的值为（ ） A. 3 3 B. 3 C. 3 3 D. 3 【答案】C 【解析】 试题分析：因 3 3 ,故应选 C. 考点：诱导公式及运用. 2.设数列an是等差数列，若 a3+a4+a512，则 a1+a2+a7（ ） A. 14 B. 21 C. 28 D. 35 【答案】C 【解析】 【分析】 根据等差数列性质得到 4 4a ，再计算 1274 7aaaa得到答案. 【详解】数列an是等差数列，则 34544 3142aaaaa； 124
2、7 728aaaa 故选：C 【点睛】本题考查了等差数列的性质，意在考查学生对于数列性质的灵活运用. 3.设R，则“sincos ”是“sin21”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 sincos，得 4 k ，得sin21 成立；若sin21 ，得 4 k ， 得sincos.，即可判断 【详解】若sincos，则tan1, 4 k ，得 sin2 sin2sin1 42 k 成立；反之，若 sin21，则22 24 kk ，得 sincos?sincos?“sin21?.，故是的充分必要条
3、件 故选 C. 【点睛】本题考查充分条件与必要条件，属基础题.易错点是“sincos”推出 “sin21”. 4.定义： ab adbc cd ，若复数 z满足 1 1 2 z i ii ，则 z 等于（ ） A. 1+i B. 1i C. 3+i D. 3i 【答案】B 【解析】 【分析】 根据定义得到 1z zii ii ，代入数据化简得到答案. 【详解】根据题意知： 1 1 1 21 z i ziiizi iii 故选：B 【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力. 5.已知集合 5 12,1, 1 Mx xxRPxxZ x ，则MP等于（ ） A. 03,xxxZ B. 0
4、3,xxxZ C. 10,xxxZ D. 10,xxxZ 【答案】B 【解析】 【分析】 解绝对值不等式可得集合 M,解分式不等式可得集合 P,即可求得MP 【详解】集合12,Mx xxR 解绝对值不等式12x ,可得13Mxx 集合 5 1, 1 PxxZ x 解分式不等式 5 1, 1 xZ x ,可得 14,PxxxZ 则 1314,03,MPxxxxxZxxxZ 故选:B 【点睛】本题考查了集合交集的简单运算,绝对值不等式与分式不等式的解法,属于基础题 6.在同一坐标系内，函数 11 ( )2, ( )2 xx f xg x 的图象关于（ ） A. 原点对称 B. x 轴对称 C. y
5、 轴对称 D. 直线 y=x 对称 【答案】C 【解析】 因为 1 ( )2() x g xfx ，所以两个函数的图象关于 y 轴对称，故选 C 7.函数 11 2 ln x y （） 在点 P（2，k）处的切线是（ ） A. x2y0 B. xy10 C. x2y10 D. 2x2y 30 【答案】C 【解析】 【分析】 求导得到 1 21 y x ，当2x 时， 11 , 22 yy，计算得到切线方程. 【详解】 1 ln11 221 x yy x （） ，当2x 时， 11 , 22 yy 故切线方程为： 11 2210 22 yxxy 故选：C 【点睛】本题考查了求函数的切线方程，意在
6、考查学生的计算能力. 8.函数 ( )f x在定义域R内可导， 若( )(2)f xfx ， 且当(,1)x 时， (1)( )0xfx， 设(0)af， 1) 2 (bf，(3)cf，则（ ） A. abc B. cab C. cba D. bca 【答案】B 【解析】 【详解】x（-，1）时，x-10，由（x-1）f（x）0，知 f（x）0， 所以（-，1）上 f（x）是增函数 f（x）=f（2-x） ， f（3）=f（2-3）=f（-1） 所以 f（-1）（0） 1 ( ) 2 f， 因此 cab 故选 B 9.已知 f x是定义在R上的周期为4的奇函数，当 0,2x时， 2 lnf x
7、xx，则 2019f（ ） A. 1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 由函数 yf x的周期性和奇函数的性质可得出 201911fff ，代入解析 式可得出2019f的值. 【详解】由于函数 yf x定义在R上周期为4的奇函数，且当0,2x时， 2 lnf xxx， 2 20194 505 1111ln11ffff ，故选 A. 【点睛】 本题考查利用函数的奇偶性与周期性求值， 对于自变量绝对值较大的函数值的求解， 一般先利用周期性将自变量的绝对值变小， 然后利用函数奇偶性求解， 考查分析问题和运算 求解能力，属于中等题. 10.设函数 f（x）3sin x m
8、，若存在 f（x）的极值点 x0满足 x02+f（x0）2m2，则 m的 取值范围是（ ） A. （，6）（6，+） B. （，4）（4，+） C. （，2）（2，+） D. （，1）（1，+） 【答案】C 【解析】 【分析】 求导得到 3cos x fx mm ，计算得到 0 , 2 m xmk kZ，代入式子化简得到 22 3 30 4 kkm ，取0k 或1k 时计算得到答案. 【详解】 3sin x f x m ，则 3cos x fx mm 故 00 00 3cos0, 22 xxm fxkxmk kZ mmm 2 222222 00 3 330, 24 m mxf xkmkkmkZ
9、m （ ） 当0k 或1k 时得： 2 3 302 4 mm 或2m 故选：C 【点睛】本题考查了极值，存在性问题，意在考查学生对于导数的应用能力. 二、填空题二、填空题 11.函数 f（x） 1 2 1 21logx （）的定义域是_ 【答案】 （ 1 2 ，0）（0，+） 【解析】 【分析】 根据定义域定义得到 1 2 210 log210 x x （） 计算得到答案. 【详解】函数 1 2 1 2log 1 f x x （） 的定义域满足： 1 2 210 1 00, log210 2 x x x ， （） 故答案： 1 00, 2 ， 【点睛】本题考查了函数定义域，意在考查学生的计算能
10、力. 12.曲线 x ye在点 2 2,e处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 . 【答案】 2 2 e 【解析】 解析：依题意得 y=ex，因此曲线 y=ex在点 A（2，e2）处的切线的斜率等于 e2，相应的切线 方程是 y-e2=e2（x-2） ，当 x=0 时，y=-e2即 y=0 时，x=1，切线与坐标轴所围成的三角形的 面积为： 2 2 1 1 22 e Se 13.已知等比数列 n a的公比为 2,前 n 项和为 n S,则 4 2 S a =_. 【答案】15 2 【解析】 由等比数列的定义，S4=a1a2a3a4= 2 a q a2a2qa2q2， 得 4 2 S a 1 q
11、1qq2=15 2 . 14.如图，设 A，B两点在河的两岸，一测量者在 A的同侧，在 A 所在的河岸边选定一点 C， 测出 AC 的距离为 50 m，ACB45，CAB105后，则 A，B 两点的距离 为 m 【答案】50 2m 【解析】 由正弦定理得 50sin45 50 2 sin(18010545 ) 15.已知函数 2 ( )lnf xxxx，且 0 x是函数( )f x的极值点给出以下几个命题： 0 1 0x e ； 0 1 x e ； 00 ()0f xx； 00 ()0f xx 其中正确的命题是_ （填出所有正确命题的序号） 【答案】 【解析】 试 题 分 析 ：的 定 义 域
12、 为， 所 以 有 ， 所以有即即， 所 以 有；因 为 ，所以有 考点：导数在求函数极值中的应用 16.设函数 f（x） 21 421 x ax xaxax ， （）（）， ， 若 a1，则 f（x）的最小值为_； 若 f（x）恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是_ 【答案】 (1). 1 (2). 1 2 a1，或 a2 【解析】 【分析】 分别计算1x 和1x 的最小值，比较得到答案. 设 h（x）2xa，g（x）4（xa） （x2a） ，讨论 h x有一个零点和没有零点两种情 况，计算得到答案 【详解】当 a1 时，f（x） 211 4121 x x xxx ， （）（）， ，
13、当 x1 时，f（x）2x1为增函数，f（x）1， 当 x1 时，f（x）4（x1） （x2）4（x23x+2）4（x 3 2 ）21， 当 1x 3 2 时，函数单调递减，当 x 3 2 时，函数单调递增， 故当 x 3 2 时，f（x）minf（ 3 2 ）1，故最小值为1 设 h（x）2xa，g（x）4（xa） （x2a） 若在 x1时，h（x）与 x轴有一个交点， 所以 a0，并且当 x1 时，h（1）2a0，所以 0a2， 而函数 g（x）4（xa） （x2a）有一个交点，所以 2a1，且 a1，所以 1 2 a1， 若函数 h（x）2xa在 x1时，与 x轴没有交点， 则函数 g（
14、x）4（xa） （x2a）有两个交点， 当 a0 时，h（x）与 x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去） ， 当 h（1）2a0时，即 a2 时，g（x）的两个交点满足 x1a，x22a，满足题意的 综上所述：a的取值范围是 1 2 a1，或 a2 故答案为：-1； 1 2 a1，或 a2 【点睛】 本题考查了函数的最值和函数的零点问题， 意在考查学生对于函数知识的综合应用. 三、解答题三、解答题 17.已知：an是公比大于 1 的等比数列，Sn为其前 n项和，S37，且 a1+3，3a2，a3+4 构成 等差数列 （1）求数列an通项公式； （2）令 bnlog2a3n+1，求数
15、列bn的前 n 项和 Tn 【答案】 （1）an2n1，nN（2）Tn 3 2 （n2 +n） 【解析】 【分析】 （1）直接利用等比数列公式和等差中项公式计算得到答案. （2）计算得到3 n bn，直接利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】 （1）an是公比 q 大于 1的等比数列，Sn为其前 n 项和，S37，可得 a1（1+q+q2） 7， a1+3，3a2，a3+4 构成等差数列，可得 6a2a1+3+a3+4，即 6a1qa1+a1q2+7， 由可得 a11，q2，则 an2n1，nN*； （2） 3 2312 logl23og n nn ban ， 数列bn的前 n 项和 Tn3
16、（1+2+n）3 1 2 n（n+1） 3 2 （n2+n） 【点睛】本题考查了等比数列通项公式，等差数列求和，意在考查学生对于数列公式的综合 应用. 18.设函数f(x)sin(2x)(0 知： 当 a0 时，f(x)0，函数 f(x)为(0，)上的增函数，函数 f(x)无极值； 当 a0 时，由 f(x)0，解得 xa， 又当 x(0，a)时，f(x)0， 从而函数 f(x)在 xa 处取得极小值，且极小值为 f(a)aaln a，无极大值 综上，当 a0 时，函数 f(x)无极值； 当 a0 时，函数 f(x)在 xa 处取得极小值 aaln a，无极大值 20. 在ABC中，内角, ,
17、A B C对边分别是, ,a b c，若 4 cos,2. 5 Bb （1）当 5 , 3 a 求角A的度数； （2）求ABC面积的最大值 【答案】 （1）30 .A（2）3. 【解析】 【详解】解： （1） 43 cos,sin, 55sinsin ab BB AB 5 215 3 sin,2,(0,),30 . 3 sin232 5 AAA A 5 分 （2） 13 sin, 210 SacBac 22222 88 2cos , 2 42 555 bacacBacacacacac 得10ac， 3 3 10 Sac 所以ABC面积的最大值为3. 12分 21.某制药厂准备投入适当的广告费，
18、对产品进行宣传，在一年内，预计年销量 Q（万件） 与广告费 x（万元）之间的函数关系为 Q 31 1 x x （x0） 已知生产此产品的年固定投入为 3 万元，每生产 1万件此产品仍需后期再投入 32万元，若每件售价为“年平均每件投入的 150%”与“年平均每件所占广告费的 50%”之和 （注： 投入包括“年固定投入”与“后期再投入”） （1） 试将年利润 w 万元表示为年广告费 x 万元的函数， 并判断当年广告费投入 100 万元时， 企业亏损还是盈利？ （2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？ 【答案】 （1）w 2 9835 21 xx x （） ,企业亏损（2）当年广告费投入
19、7 万元时，企业年利润最 大 【解析】 【分析】 （1）先计算售价为 996 2 Qx Q ，再计算利润为 996 332 2 Qx wQxQ Q ，化简 得到答案. （2）化简得到 164 (1)50 21 wx x ，利用均值不等式计算得到答案. 【详解】 （1）由题意，每件售价为 332Q Q 150% x Q 50% 996 2 Qx Q ， 则 2 99699626649835 3 32 222(1) QxQxxQxx wQxQ Qx ， 则当 x100 时，w 10000980035 2 101 0，故企业亏损 （2） 2 9835164 (1)5050842 2(1)21 xx
20、wx xx （当且仅当 x7 时等号成立） 故当年广告费投入 7 万元时，企业年利润最大 【点睛】本题考查了函数和均值不等式的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力. 22.已知：函数 f（x）2lnxax2+3x，其中 aR （1）若 f（1）2，求函数 f（x）的最大值； （2）若 a1，正实数 x1，x2满足 f（x1）+f（x2）0，证明： 12 317 2 xx 【答案】 （1）f（x）max2ln2+2（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）计算得到1a ，求导得到函数的单调区间，再计算最大值得到答案. （2）代入数据得到 2 2ln3f xxxx=，得到 2 12121212
21、 32lnxxxxx xx x，设 lnh ttt 得到函数的最小值得到不等式 （x1+x2）2+3（x1+x2）2，计算得到答案. 【详解】 （1）f（1）2，a+32，a1，f（x）2lnxx2+3x， f（x） 2 x 2x+3 212xx x （）（） ， 由 f（x）0 得，0x2，有 f（x）0得，x2， f（x）在（0，2）为增函数，在（2，+）为减函数， f（x）maxf（2）2ln2+2； （2）证明：当 a1，f（x）2lnx+x2+3x， f（x1）+f（x2）2lnx1+x12+3x1+2lnx2+x22+3x20， （x1+x2）2+3（x1+x2）2（x1x2lnx1x2） ， 令 h（t）tlnt，h（t）1 11t tt ， 由 h（x）0得，t1，由 h（x）0得，0t1， h（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+）上为增函数， h（x）minh（1）1，（x1+x2）2+3（x1+x2）2， （x1+x2）2+3（x1+x2）20， 解得： 12 317 2 xx 【点睛】本题考查了函数的最值，利用导数证明不等式，构造函数 lnh ttt 是解题的 关键.
