1、河北邯郸高三数学 3 月空中课堂备考检测试卷文 1 / 22 河北省邯郸市 2020 届高三数学 3 月空中课堂备考检测试题 文 同学们，在举国防控疫情期间，我们全民动员，同舟共济、共克时艰，显示了中华民同学们，在举国防控疫情期间，我们全民动员，同舟共济、共克时艰，显示了中华民 族的伟大拼搏精神。作为高三学生，我们宅家备考，学会了人生的必修课族的伟大拼搏精神。作为高三学生，我们宅家备考，学会了人生的必修课自律。岁月自律。岁月 不蹉跎，未来才可期！努力充实丰盈自己，才能赢得胜利！不蹉跎，未来才可期！努力充实丰盈自己，才能赢得胜利！ 本试卷分第 I 卷和第卷两部分。考生作答时，将答案答在答题卡上，
2、在本试卷上答题 无效。 注意事项： 1答题前，务必先将自己的姓名、考号填写在答题卡上。 2答题时使用 0.5 毫米黑色签字笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4保持卡面清洁，不折叠，不破损。 第卷（第卷（6060 分）分） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1设复数，则在复平面内对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限
3、 D第四象限 2若，则等于 A B C D 3已知，则 A B C D 4为了调查高一学生在分班选科时是否选择物理科目与性别的关系，随机调查 100 名高一 学生，得到列联表如下： 由此得出的正确结论是 A在犯错误的概率不超过的前提下，认为“选择物理与性别有关” B在犯错误的概率不超过的前提下，认为“选择物理与性别无关” 选择物理 不选择物理 总计 男 35 20 55 女 15 30 45 总计 50 50 100 河北邯郸高三数学 3 月空中课堂备考检测试卷文 2 / 22 C有的把握认为“选择物理与性别有关” D有的把握认为“选择物理与性别无关” 5设变量，满足约束条件则的最小值为 A2
4、 B C4 D 6 公元前四世纪， 毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形 （或格点） 来表示数，称为形数.形数是联系算数和几何的纽带.图为五角形数的前 4 个，则第 10 个五 角形数为 A120 B145 C270 D285 7函数的部分图象大致为 A B C D 8如图一，在中，为中点，将 沿翻折，得到直二面角，连接，是中点，连接，如图二， 则下列结论正确的是 河北邯郸高三数学 3 月空中课堂备考检测试卷文 3 / 22 A B C平面 D平面 9设，为正数，且，则的最小值为 A B C D 10 已知点为抛物线的焦点.过点的直线 交抛物线于两 点，交准线于点.若，则为
5、 A B C D 11若点在函数 的图象上，且给出关于的如下 命题 的 最 小 正 周 期 是 的 对 称 轴 为 其中真命题的个数是 A B C D 12 设， 若对任意的， 不等式 恒成立，则的最大值为 A B C D 第卷（第卷（9090 分）分） 河北邯郸高三数学 3 月空中课堂备考检测试卷文 4 / 22 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 13已知，若，则_. 14三名旅游爱好者商定，新冠肺炎疫情全面结束后，前往湖北省的武汉、宜昌、黄冈三个 城市旅游.如果三人均等可能的前往上述三个城市之一，则他们选择同
6、一个城市的概率是 _. 15锐角的内角的对边分别是， 则=_. 16已知分别是双曲线的左右顶点，是双曲线上异于 的动点，若直线的斜率分别为，始终满足，其中 ，则的离心率为_. 三、解答题：三、解答题：共共 70 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1717 2121 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分。分。 17 （12 分） 数列是公差不为 0 的等差数列，若，
7、且，成等比数列. （1）证明：是数列中的一项； （2）记为数列的前项和，求数列的前项和. 河北邯郸高三数学 3 月空中课堂备考检测试卷文 5 / 22 18 （12 分） 如图，在四棱锥中，底面， ， ，点为的中点，平面交侧棱于点，且四边形为平行四 边形. （1）求证：平面平面； （2）当时，求四棱锥的体积. 19 （12 分） 某小型水库的管理部门为研究库区水量的变化情况， 决定安排两个小组在同一年中各自 独立的进行观察研究.其中一个小组研究水源涵养情况.他们通过观察入库的若干小溪和降 雨量等因素，随机记录了天的日入库水量数据（单位:千），得到下面的柱状图（如 图甲） .另一小组则研究由于放
8、水、 蒸发或渗漏造成的水量消失情况.他们通过观察与水库相 连的特殊小池塘的水面下降情况来研究库区水的整体消失量， 随机记录了天的库区日消 失水量数据（单位:千），并将观测数据整理成频率分布直方图（如图乙）. 河北邯郸高三数学 3 月空中课堂备考检测试卷文 6 / 22 （1）据此估计这一年中日消失水量的平均值； （2）以频率作为概率，试解决如下问题： 分别估计日流入水量不少于千和日消失量不多于千的概率； 试估计经过一年后，该水库的水量是增加了还是减少了，变化的量是多少？（一年按 天计算）,说明理由. 20 （12 分） 已知椭圆过点且离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2） 若椭圆上存在三
9、个不同的点， 满足， 求四边形 的面积. 21 （12 分） 已知函数有两个零点 （1）求的取值范围； （2）求证：. 河北邯郸高三数学 3 月空中课堂备考检测试卷文 7 / 22 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 10 分。请考生从第分。请考生从第 2222、23 23 题中任选一题做答，并用题中任选一题做答，并用 2B2B 铅笔将答题卡铅笔将答题卡 上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题 进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评
10、分。 22 选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在平面直角坐标系中，点是曲线：（ 为参数）上的动点，以坐标 原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将线段顺时针旋 转得到，设点的轨迹为曲线 （1）求曲线，的极坐标方程； （2）在极坐标系中，点的坐标为，射线与曲线分别 交于两点，求的面积 23 选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知函数 （1）当时，求的解集； （2）若在上恒成立，求的取值范围。 邯郸市 2020 年空中课堂高三备考检测 文科数学 参考答案 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分
11、. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 河北邯郸高三数学 3 月空中课堂备考检测试卷文 8 / 22 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1设复数，则在复平面内对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 1答案：答案：B 解析：解析：设，所以在复平面内对应的点为第二象 限. 2若，则等于 A B C D 2答案：答案：C 解析：解析：因为，所以. 3已知，则 A B C D 3答案：答案： B 解析：解析：因为，所以. 4为了调查高一学生在分班选科时是否选择物理科目与性别的关系，随机调查 100 名高一 学生，得到列联表如下： 由此得出
12、的正确结论是 A在犯错误的概率不超过的前提下，认为“选择物理与性别有关” B在犯错误的概率不超过的前提下，认为“选择物理与性别无关” C有的把握认为“选择物理与性别有关” D有的把握认为“选择物理与性别无关” 选择物理 不选择物理 总计 男 35 20 55 女 15 30 45 总计 50 50 100 河北邯郸高三数学 3 月空中课堂备考检测试卷文 9 / 22 4答案：答案： A 解析：解析：根据题意，可得， 由于，故选. 5设变量，满足约束条件则的最小值为 A2 B C4 D 5答案：答案：D 解析解析：画出可行域，可发现的最小值是到距离的 平方. 6 公元前四世纪， 毕达哥拉斯学派对
13、数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形 （或格点） 来表示数，称为形数.形数是联系算数和几何的纽带.图为五角形数的前 4 个，则第 10 个五 角形数为 A120 B145 C270 D285 6答案：答案：B 解析：解析： 记第个五角形数为， 由题意知： 易知，由累加法得，所以. 河北邯郸高三数学 3 月空中课堂备考检测试卷文 10 / 22 7函数的部分图象大致为 A B C D 7答案答案: : A 解析解析: :因为， 所以为奇函数， 排除，当时，排除，故选. 8如图一，在中，为中点，将 沿翻折，得到直二面角，连接，是中点，连接，如图二， 则下列结论正确的是 A B C平面 D平面
14、8答案：答案：C 解析解析：由题意可知，所以平面，故选. 9设，为正数，且，则的最小值为 河北邯郸高三数学 3 月空中课堂备考检测试卷文 11 / 22 A B C D 9答案：答案：D 解析解析：当时， ， 因为， 当且仅当时，即取等号，则. 10 已知点为抛物线的焦点.过点的直线 交抛物线于两 点，交准线于点.若，则为 A B C D 10答案答案: C 解析解析: :过做准线的垂线，垂足为轴与准线交点为， 设，则， ，因为，. 11若点在函数 的图象上，且给出关于的如下 命题 的 最 小 正 周 期 是 的 对 称 轴 为 其中真命题的个数是 A B C D 11答案：答案：C 解析解析
15、: : ， 河北邯郸高三数学 3 月空中课堂备考检测试卷文 12 / 22 ，命题为假命题；对称轴为，命题为 真命题；，命题为真命题. 12 设， 若对任意的， 不等式 恒成立，则的最大值为 A B C D 12答案：答案：B 解析:对任意，所以为偶函数. 显然在递增，在递减，所以， 两边平方得， 整理得， 得，所以的最大值为. 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 13已知，若，则_. 13答案：答案： 解析：解析：因为，所以，即，则 ,. 14三名旅游爱好者商定，新冠肺炎疫情全面结束后，前往湖北省的武汉、宜昌、黄
16、冈三个 城市旅游.如果三人均等可能的前往上述三个城市之一，则他们选择同一个城市的概率是 _. 14答案：答案： 解析：解析：由题意可知共有种选择情况,他们选择同一城市有种情况,所以概率为 . 15锐角的内角的对边分别是， 河北邯郸高三数学 3 月空中课堂备考检测试卷文 13 / 22 则_. 15答案：答案： 解析：解析：因为, 又因,所以, 由正弦定理知,又因为,所以,所以. 16已知分别是双曲线的左右顶点，是双曲线上异于 的动点，若直线的斜率分别为，始终满足，其中 ，则的离心率为_. 16答案：答案： 解析：解析：设，. ，因 为， 所 以， 即 ，显然不可能，或者，所以. 三、解答题：三
17、、解答题：共共 70 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1717 2121 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分。分。 17 （12 分） 数列是公差不为 0 的等差数列，若，且，成等比数列. （1）证明：是数列中的一项； （2）记为数列的前项和，求数列的前项和. 河北邯郸高三数学 3 月空中课堂备考检测试卷文 14 / 22 17解： （1）由题设数列的公差为
18、，则 .3 分 所以.5 分 其中，所以是数列中的一项.6 分 （2）由（1）可得，7 分 所以.9 分 所以 12 分 18 （12 分） 如图，在四棱锥中，底面， ， ，点为的中点，平面交侧棱于点，且四边形为平行四 边形. （1）求证：平面平面； （2）当时，求四棱锥的体积. 18解： （1）证明：为平行四边形. ， 河北邯郸高三数学 3 月空中课堂备考检测试卷文 15 / 22 点为的中点 ， ， . .3 分 又由底面，得 ，平面 平面 又平面， 平面平面6 分 （2）解：由（1）可知 ，即， 7 分 又由题可知， 又由底面，平面，可得， 平面， 又 点到平面的距离为 ，.9 分 .
19、.12 分 19 （12 分） 某小型水库的管理部门为研究库区水量的变化情况， 决定安排两个小组在同一年中各自 独立的进行观察研究.其中一个小组研究水源涵养情况.他们通过观察入库的若干小溪和降 雨量等因素，随机记录了天的日入库水量数据（单位:千），得到下面的柱状图（如 图甲） .另一小组则研究由于放水、 蒸发或渗漏造成的水量消失情况.他们通过观察与水库相 河北邯郸高三数学 3 月空中课堂备考检测试卷文 16 / 22 连的特殊小池塘的水面下降情况来研究库区水的整体消失量， 随机记录了天的库区日消 失水量数据（单位:千），并将观测数据整理成频率分布直方图（如图乙）. （1）据此估计这一年中日消失
20、水量的平均值； （2）以频率作为概率，试解决如下问题： 分别估计日流入水量不少于千和日消失量不多于千的概率； 试估计经过一年后，该水库的水量是增加了还是减少了，变化的量是多少？（一年按 天计算）,说明理由. 19解： （1）根据图乙，日消失水量的平均值为 （ 千 ）.3 分 （2）根据图甲可得，日流入水量不少于千的概率为 .5 分 日消失水量不多于千的概率为 7 分 该湖区日进水量的平均值为 （千） 一年后水库的水减少了.9 分 减少的量为12 分 河北邯郸高三数学 3 月空中课堂备考检测试卷文 17 / 22 20 （12 分） 已知椭圆过点且离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2） 若
21、椭圆上存在三个不同的点， 满足， 求四边形 的面积. 20解： （1）由题意，得 解得 ， 故，椭圆方程为 4 4 分分 （2） ，由向量加法的意义得四边形 为平行四边形. 设 A，B 所在直线 ， 若直线 垂直于轴，易得 或者 此时，四边形为菱形 5 5 分分 若直线 不垂直于轴，设， 由得 河北邯郸高三数学 3 月空中课堂备考检测试卷文 18 / 22 得， 7 7 分分 ， 代入椭圆方程， 化简得 9 9 分分 验证， 点到直线的距离为 综上，四边形的面积始终为 12. 1212 分分 21 （12 分） 已知函数有两个零点 （1）求的取值范围； （2）求证：. 21解： 河北邯郸高三数
22、学 3 月空中课堂备考检测试卷文 19 / 22 （1）由题 1 分 当时，单调递增，不会有两个零点， 所以， 令，解得 且当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以 4 分 因为有两个零点，则必须即， 解得，且知当时，当时， 所以有两个零点时 6 分 （2）证明：由（1）知，且，所以 7 分 设，则可化为， 设 则 在上单调递增。 命题得证 12 分 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 10 分。请考生从第分。请考生从第 2222、23 23 题中任选一题做答，并用题中任选一题做答，并用 2B2B 铅笔将答题卡铅笔将答题卡 上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，
23、按所涂的首题上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题 进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。 河北邯郸高三数学 3 月空中课堂备考检测试卷文 20 / 22 22 选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在平面直角坐标系中，点是曲线：（ 为参数）上的动点，以坐标 原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将线段顺时针旋 转得到，设点的轨迹为曲线 （1）求曲线，的极坐标方程； （2）在极坐标系中，点的坐标为，射线与曲线分别交 于两点，求的面积 22解： （1）由题意可得的直角坐标方程为， 其极
24、坐标方程为 2 分 设点的极坐标为，则对应的点的极坐标为 3 分 又点在上，所以 即的极坐标方程为 .5 分 （2）由题意知点到射线的距离为 ，.7 分 由（1）知的极坐标方程为， ， 9 分 所以 河北邯郸高三数学 3 月空中课堂备考检测试卷文 21 / 22 10 分 23 选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知函数 （1）当时，求的解集； （2）若在上恒成立，求的取值范围 23解： （1）当时， 当时 ， 此 时的 解 集 为 ；.2 分 当时 ， 此 时的 解 集 为 ；.3 分 当时 ， 此 时的 解 集 为 .4 分 综上所述的解集为 . .5 分 （2）由 （ 1 ） 可 知 当时 ， 在内恒 成 立；6 分 当时，在内 恒成立；7 分 当时，在内，不 满足在上恒成立的条 件. .9 分 综上所述 河北邯郸高三数学 3 月空中课堂备考检测试卷文 22 / 22 . 10 分
