1、上海青浦高三数学上册学业质量调研（一模）试卷 - 1 - / 16 上海市青浦区 2020 届高三数学上学期学业质量调研（一模）试题 1已知集合U1，3，5，9，A1，3，9，B1，9，则U（AB） 2若复数zi（32i） （i是虚数单位） ，则z的模为 3直线l1：x10 和直线l2：xy0 的夹角大小是 4我国古代庄周所著的庄子天下篇中引用过一句话： “一尺之棰日取其半，万世不竭 ” 其含义是：一根 尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去，若把“一尺之棰”的长 度记为 1 个单位，则 第n天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为an，则an 5已知角 的顶点在坐标原点，始
2、边与x轴的正半轴重合，角 的终边与单位圆的交点坐 标是（， ） ，则 sin2 6已知正四棱柱底面边长为 2，体积为 32，则此四棱柱的表面积为 7设x，yR R +，若 4x 1则 的最大值为 8已知数列an中，a11，anan1（nN N*） ，则an 9某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到A、B、C三个不同的乡镇中学， 现要求甲乙两位名优老师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同 的分配方案共有 种 10已知对于任意给定的正实数k，函数f（x）2 x+k2x的图象都关于直线 xm成轴对称 图形，则m 11如图，一矩形ABCD的一边AB在x轴上，另两个顶点
3、C、D在函数f（x），x 0 的图象上，则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是 上海青浦高三数学上册学业质量调研（一模）试卷 - 2 - / 16 12 已知点P在双曲线1 上， 点A满足（t1） （tR R） ， 且60， （0，1） ，则|的最大值为 13使得（3x） n（nN N*）的展开式中含有常数项的最小的 n为（ ） A4 B5 C6 D7 14对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面 ，以下结论正确的是（ ） A若m，n，m，n是异面直线，则 ， 相交 B若m，m，n，则n C若m，n，m，n共面于 ，则mn D若m，n， 不平行，则m，n为异面直线 15过抛物线y 22
4、px（p0）的焦点作两条相互垂直的弦 AB和CD，则的值为 （ ） A B C2p D 16设等比数列an的公比为q，其前n项之积为Tn，并且满足条件： a11，a2019a20201， 0，给出下 列结论：0q1；a2019a202110；T2019是数列Tn中的最大项；使Tn1 成立的 最大自然数等于 4039，其中正确结论的序号为（ ） A B C D 17 （14 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PC的中点， 已知AB2，AD2，PA2，求： （1）三角形PCD的面积； （2）异面直线BC与AE所成的角的大小 上海青浦高三数学上册学业质量调研（
5、一模）试卷 - 3 - / 16 18 （14 分）已知向量（cosx，sinx） ，（cosx，cosx）其中 0，记f （x） （1）若函数f（x）的最小正周期为 ，求 的值； （2） 在 （1） 的条件下， 已知ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c， 若f（）， 且a4，b+c5求ABC的面积 19 （14 分）某企业生产的产品具有 60 个月的时效性，在时效期内，企业投入 50 万元经销该 产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的 10%再投入到次月的经营中，市场调 研表明， 该企业在经销这个产品的第n个月的利润是f（n）（单 位： 万元） 记第n个月的当月利润率为g（
6、n）， 例g（3） （1）求第n个月的当月利润率； （2） 求该企业在经销此产品期间， 哪一个月的当月利润率最大， 并求出该月的当月利润率 20 （16 分）已知焦点在x轴上的椭圆C上的点到两个焦点的距离和为 10，椭圆C经过点（3， ） （1）求椭圆C的标准方程； （2）过椭圆C的右焦点F作与x轴垂直的直线l1，直线l1上存在M、N两点满足OMON， 求OMN面积的最小值 （3）若与x轴不垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，交x轴于定点M，线段AB的垂直平 分线交x轴于点N，且为定值，求点M的坐标 上海青浦高三数学上册学业质量调研（一模）试卷 - 4 - / 16 21 （18 分）已知函数f
7、（x）的定义域为0，2且f（x）的图象连续不间断，若函数f（x） 满足：对于给定的实数m且 0m2存在x00，2m，使得f（x0）f（x0+m） ，则称 f（x）具有性质P（m） （1）已知函数f（x），判断f（x）是否具有性质P（ ） ，并说明理由； （2）求证：任取m（0，2） 函数f（x）（x1） 2，x0，2具有性质 P（m） ； （3）已知函数f（x）sinx，x0，2，若f（x）具有性质P（m） ，求m的取值范围 上海青浦高三数学上册学业质量调研（一模）试卷 - 5 - / 16 1集合U1，3，5，9，A1，3，9，B1，9 AB1，3，9 U（AB）5， 答案5 2复数zi（3
8、2i）3i+2， 则|z| 答案：13 3直线l1：x10 的倾斜角为 ，直线l2：xy0 的斜率为倾斜角为 ， 故直线l1：x10 和直线l2：xy0 的夹角大小为， 答案：6 4依题意，第 1 天“日取其半”后a1； 第 2 天“日取其半”后a2； 第 3 天“日取其半”后a3； 、 第n天“日取其半”后an， 答案： 5角 的终边与单位圆的交点坐标是（， ） ， 所以， 上海青浦高三数学上册学业质量调研（一模）试卷 - 6 - / 16 所以 答案： 6设正四棱柱的高为h，由底面边长为a2，体积为V32， 则Va 2h，即 h4； 所以此四棱柱的表面积为： SS侧面积+2S底面积 442
9、222 3216 答案：16+322 74x1，x，yR R +， ，即，当且仅当“”时 取等号， 答案：116 8数列an中，a11，anan1（nN N*） ， 可得a2a1，a3a2，a4a3，anan1， 累加可得：an1， 则an1 上海青浦高三数学上册学业质量调研（一模）试卷 - 7 - / 16 答案：54答案 9根据题意，分 2 步进行分析： ，在三个中学中任选 1 个，安排甲乙两人，有C3 13 种情况， ，对于剩下的三人，每人都可以安排在A、B、C三个不同的乡镇中学中任意 1 个，则剩 下三人有 33327 种不同的选法， 则有 32781 种不同的分配方法； 答案：81
10、10由题意可知，k0，函数f（x）2 x+k2x的图象都关于直线 xm成轴对称图形， 则f（m+x）为偶函数，关于y轴对称， 故f（mx）f（m+x）恒成立， 2 mx+k2（mx）2m+x+k2（m+x） ， 对于任意xR R 成立，故 2 mk2m0， m 答案： 11由 yf（x）=1+2，当且仅当x1 时取等号， 得x； 又矩形绕x轴旋转得到的旋转体是圆柱， 设A点的坐标为（x1，y） ，B点的坐标为（x2，y） ， 则圆柱的底面圆半径为y，高为hx2x1， 且f（x1），f（x2）， 上海青浦高三数学上册学业质量调研（一模）试卷 - 8 - / 16 所以， 即（x2x1） （x2x
11、11）0， 所以x2x11， 所以h 2（x 2+x1） 24x 2x1（x1） 24 4， 所以h， 所以V圆柱y 2hy （），当且仅当y时取等号， 故此矩形绕x轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为 答案： 12（t1）， 则， 设A（xA，yA） ，P（xP，yP） ， （xA，yA）t（xP，yP） ， 则，即，将点（）代入双曲线中得： ， 上海青浦高三数学上册学业质量调研（一模）试卷 - 9 - / 16 60，| |t|60， 由得 60|t|t|， |yA|8， |yA|8 则|的最大值为 8 答案：8 13 （3x） n的展开式的通项公式为：T r+1， 令n，可得n， 当r2
12、时，n取得最小值为 5， 答案：B 14若m，n，m，n是异面直线，则 ， 相交或平行，故A错误； 若m，m，则 ，由n，则n 或n ，故B错误； 若m，n，m，n共面于 ，则mn，故C正确； 若m，n， 不平行，则m，n为异面直线或相交，故D错误 答案：C 15抛物线y 22px（p0）的焦点坐标为（ ） ，所以设经过焦点直线AB的方程为yk （x） ， 上海青浦高三数学上册学业质量调研（一模）试卷 - 10 - / 16 所以，整理得，设点A（x1，y1） ，B（x2， y2） ， 所以，所以， 同理设经过焦点直线CD的方程为y（x） ， 所以，整理得， 所以：|CD|p+（p+2k 2p
13、） ，所以 ， 则则 答案：D 16a11，a2019a20201，0， a20191，a20201 0q1，故正确； a2019a20211，a2019a202110，故不正确； a20201，T2019是数列Tn中的最大项，故正确； T4039a1a2a4038a40391， T4038a1a2a4037a40381， 使Tn1 成立的最大自然数等于 4038，故不正确 正确结论的序号是 上海青浦高三数学上册学业质量调研（一模）试卷 - 11 - / 16 答案：B 17 （1）PA底面ABCD，CD 底面ABCD， CDPA 矩形ABCD中，CDAD，而PA、AD是平面PAD的交线 CD
14、平面PDA， PD 平面PDA，CDPD，三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形 RtPAD中，AD2，PA2， PD2 三角形PCD的面积SPDDC2 （2）解法一 如图所示，建立空间直角坐标系，可得B（2，0，0） ，C（2，2，0） ，E（1，1） （1，1） ，（0，2，0） ， 设与夹角为 ，则 cos， ，由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为 解法二 取PB的中点F，连接AF、EF、AC， PBC中，E、F分别是PC、PB的中点， EFBC，AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角 RtPAC中，PC4 AEPC2， 在AEF中，EFBC，AFPB AF 2+EF2AE
15、2，AEF 是以F为直角顶点的等腰直角三角形， 上海青浦高三数学上册学业质量调研（一模）试卷 - 12 - / 16 AEF，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为 18（1） ， ， f（x）的最小正周期为 ，且 0， ，解得 1； （2）由（1）得， ， ，由 0A 得， 上海青浦高三数学上册学业质量调研（一模）试卷 - 13 - / 16 ，解得， 由余弦定理知：a 2b2+c22bccosA，即 16b2+c2bc（b+c）23bc，且 b+c5， 16253bc，bc3， 19 （1）依题意得f（1）f（2）f（3）f（9）f（10）10， 当n1 时，g（1），当 1n10，nN
16、N *时，f（1）f（2）f（n1） 10， 则g（n）， n1 也符合上式，故当 1n10，nN N *，g（n） ，当 11n60，nN N *时， g（n） ， 所以第n个月的当月利润率为g（n）； （2） 当 1n10，nN N *， g（n）是减函数， 此时g（n） 的最大值为g（1）， 当 11n60，nN N *时， 上海青浦高三数学上册学业质量调研（一模）试卷 - 14 - / 16 g（n）， g（n）在 11n33，nN N *单调递增，g（n）在 34n60，nN N*单调递减， 当且仅当n，即n时，g（n）有最大值，又nN N *， g（33），g（34）， 因为，所以
17、当n33 时，g（n）有最大值， 即该企业经销此产品期间，第 33 个月利润最大，其当月利润率为 20 （1）设椭圆的方程为，椭圆C上的点到两个焦点的距离和为 10， 所以 2a10，a5， 又椭圆C经过点（3，） ，代入椭圆方程，求得b4， 所以椭圆的方程为：； （2）设M（3，yM） ，N（3，yN） ，F（3，0） ， 由OMON，所以， ，故OMN面积的最小值为 9； （3）设直线l的方程为：ykx+m，则点M（） ， 联立，消去y得（25k 2+16）x2+50kmx+25m24000， 上海青浦高三数学上册学业质量调研（一模）试卷 - 15 - / 16 ， 所以|AB|， 则AB
18、的中点P的坐标为 （） ， 又PNAB， 得， 则直线PN的方程为：ym， 令y 0 ， 得N点 的 坐 标 为 （）， 则 |MN|， 所以， 当且仅当时，比值为定值，此时点M（） ，为M（3，0） ， 故M（3，0）或（3，0） 21 （1）f（x）具有性质P（ ） ， 设x00， ，令f（x0）f（x0） ，则（x01） 2（x 0） 2， 解得x0，又 0， ，所以f（x）具有性质P（ ） ； （2）任取x00，2m，令f（x0）f（x0+m） ，则（x01） 2（x 0+m1） 2， 上海青浦高三数学上册学业质量调研（一模）试卷 - 16 - / 16 因为m0，解得x01，又 0m
19、2，所以 011， 当 0m2，x01 时， （2m）x0（2m）（1）110， 即 012m，即任取实数m（0，2） ，f（x）都具有性质P（m） ； （3）若m（0，1，取x0，则0 且 2m0，故 x00，2m， 又f（x0）sin（） ，f（x0+m）sin（）sin（）f（x0） ， 所以f（x）具有性质P（m） ； 假设存在m（1，2）使得f（x）具有性质P（m） ，即存在x00，2m，使得f（x0） f（x0+m） ， 若x00，则x0+m（1，2） ，f（x0）0，f（x0+m）0，f（x0）f（x0+m） ， 若x0（0，2m，则x0+m（m，2，进而x0（0，1） ，x0+m（1，2，f（x0）0，f （x0+m）0， f（x0）f（x0+m） ，所以假设不成立，所以m（0，1
