1、上海上海中学高一数学下册期末考试试卷（含解析） - 1 - / 17 上海市上海中学-2019 学年高一数学下学期期末考试试题（含解析） 一、选择题。一、选择题。 1._. 【答案】1 【解析】 【分析】 由即可求得 【详解】 【点睛】利用和或差的极限等于极限的和或差，此题是一道基础题。 2.已知等差数列则 【答案】10 【解析】 试题分析：根据公式，将代入，计算得 n=10 考点：等差数列的通项公式 3.数列中，已知，50 为第_项. 【答案】4 【解析】 【分析】 方程变为，设，解关于的二次方程可求得。 【详解】，则，即 设，则，有或 取得，所以是第 4 项。 【点睛】发现，原方程可通过换
2、元，变为关于的一个二次方程。对于指数结构 上海上海中学高一数学下册期末考试试卷（含解析） - 2 - / 17 ，等，都可以通过换元变为二次形式研究。 4.等比数列，若，则_. 【答案】 【解析】 【分析】 将这两式中的量全部用表示出来，正好有两个方程，两 个未知数，解方程组即可求出。 【详解】相当于， 相当于， 上面两式相除得代入就得， 【点睛】基本量法是解决数列计算题最重要的方法，即将条件全部用首项和公比表示，列方 程，解方程即可求得。 5.用数学归纳法证明：时， 从“到 ”左边需增加的代数式是_ 【答案】 【解析】 【分析】 写出时的表达式，然后写出时的表达式，由此判断出增加的代数式.
3、【详解】当时，左边为，左边的固定， 当时，左边为， 化简得 ， 故 增加的项为. 【点睛】本小题主要考查数学归纳法的概念以及运用，考查观察与思考的能力，考查化归与 上海上海中学高一数学下册期末考试试卷（含解析） - 3 - / 17 转化的数学思想方法，属于基础题. 6.数列满足，则等于_. 【答案】15 【解析】 【分析】 先由，可求出，然后由，代入已知递 推公式即可求解。 【详解】 故答案为 15. 【点睛】本题考查是递推公式的应用，是一道基础题。 7.数列满足，则_. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意可求得和的等式相加，求得，进而推出 ，判断出数列是以 6 为周期的数列，进而根据求
4、出答案。 【详解】 将以上两式相加得 数列是以 6 为周期的数列，故 【点睛】对于递推式的使用，我们可以尝试让取或，又得一个递推式，将两个递 上海上海中学高一数学下册期末考试试卷（含解析） - 4 - / 17 推式相加或者相减来找规律，本题是一道中等难度题目。 8.数列满足下列条件：， 且对于任意正整数， 恒有， 则_. 【答案】512 【解析】 【分析】 直接由，可得， 这样推下去 ，再带入等比数列的求和公式即可求得结论。 【详解】 故选 C。 【点睛】利用递推式的特点，反复带入递推式进行计算，发现规律，求出结果，本题是一道 中等难度题目。 9.数列定义为，则_. 【答案】 【解析】 【分
5、析】 由已知得两式，相减可发现原数 上海上海中学高一数学下册期末考试试卷（含解析） - 5 - / 17 列的奇数项和偶数项均为等差数列，分类讨论分别算出奇数项的和和偶数项的和，再相加得 原数列前的和 【详解】 两式相减得 数列的奇数项，偶数项分别成等差数列， ， ， ， 数列的前 2n 项中所有奇数项的和为： ， 数列的前 2n 项中所有偶数项的和为： 【点睛】对于递推式为，其特点是隔项相减为常数，这种数列要分类讨论，分偶 数项和奇数项来研究，特别注意偶数项的首项为，而奇数项的首项为. 10.已知数列是正项数列，是数列的前项和，且满足.若 ，是数列的前项和，则_. 【答案】 【解析】 上海上
6、海中学高一数学下册期末考试试卷（含解析） - 6 - / 17 【分析】 利用将变为，整理发 现数列为等差数列，求出，进一步可以求出，再将，代入，发现可以裂 项求的前 99 项和。 【详解】 当时，符合， 当时，符合， 【点睛】一般公式使用是将变为，而本题是将变为， 给后面的整理带来方便。先求，再求，再求，一切都顺其自然。 11.一个三角形的三条边成等比数列， 那么， 公比q 的取值范围是_. 上海上海中学高一数学下册期末考试试卷（含解析） - 7 - / 17 【答案】 【解析】 【详解】设三边按递增顺序排列为， 其中. 则， 即.解得. 由 q1 知 q 的取值范围是 1q . 设三边按递
7、减顺序排列为，其中. 则，即. 解得. 综上所述， . 12.数列满足，当时， ，则是否存在不小于 2 的正整数，使 成立？若存在，则在横线处直接填写的值；若不存在，就 填写“不存在”_. 【答案】70 【解析】 【分析】 构造数列， 两式与相 减可得数列为等差数列，求出，让=0 即可求出. 【详解】设 上海上海中学高一数学下册期末考试试卷（含解析） - 8 - / 17 两式相减得 又 数列从第 5 项开始为等差数列，由已知易得均不为 0 所以当 n=70 的时候成立，故答案填 70. 【点睛】如果递推式中出现和的形式，比如，可以尝试退项相减，即让取 后，两式作差，和的部分因为相减而抵消，剩
8、下的就好算了。 二、选择题。二、选择题。 13.已知等差数列的公差为 2，前项和为，且，则的值为 A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】 利用等差数列通项公式及前 n 项和公式，即可得到结果. 【详解】等差数列的公差为 2，且， . 故选：C 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及前 n 项和公式，考查计算能力，属于基础题. 上海上海中学高一数学下册期末考试试卷（含解析） - 9 - / 17 14.等比数列的前项和为，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由题意可知， ， ， 解得： ， ， 求得 ，故选 C. 15.设等差数列
9、的前n项和为，若，则( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】 由又， 可 得 公 差 ，从而可得结果. 【详解】是等差数列 又， 公差， ，故选 C 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识 解答问题的能力，属于中档题. 上海上海中学高一数学下册期末考试试卷（含解析） - 10 - / 17 16.设，若，则数列是（ ） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 奇数项递增，偶数项递减的数列 D. 偶数项递增，奇数项递减的数列 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，由三角函数的性质分析可得，进而可得函数为减函数， 结
10、合函数与数列的关系分析可得答案。 【详解】根据题意，则，指数函数为减函数 即 即 即 即 ， 数列是奇数项递增，偶数项递减的数列，故选：C. 【点睛】本题涉及数列的函数特性，利用函数单调性，通过函数的大小，反推变量的大小， 是一道中档题目。 三、解答题。三、解答题。 17.等差数列的前项和为，求数列前项和. 上海上海中学高一数学下册期末考试试卷（含解析） - 11 - / 17 【答案】 【解析】 【分析】 由已知条件利用等差数列前项和公式求出公差和首项，由此能求出，且 ， 当时， 当时，。 【详解】 解得， 设从第项开始大于零， 则 ，即 当时， 当时， 综上有 【点睛】本题考查数列的前项和
11、的求法，是中档题，注意等差数列的函数性质的运用。 18.已知数列的前项和 （1）求的通项公式； 上海上海中学高一数学下册期末考试试卷（含解析） - 12 - / 17 （2）若数列满足：，求的前项和（结果需化简） 【答案】 （1）； （2）； 【解析】 分析】 （1）运用数列的递推式得时，时，化简计算可得所求 通项公式； （2）求得，运用数列错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得 所求和 【详解】 （1）可得 时， 则 （2）数列满足， 可得，即， 前项和 两式相减可得 化简可得 【点睛】本题考查数列递推式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和 公式，考查运算能力，属于
12、中档题 19.某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获 利 a 元的前提下，可卖出 b 件；若做广告宣传，广告费为 n 千元比广告费为千元时多 上海上海中学高一数学下册期末考试试卷（含解析） - 13 - / 17 卖出件。 （1）试写出销售量与 n 的函数关系式； （2）当时，厂家应该生产多少件产品，做几千元的广告，才能获利最大？ 【答案】(1)(2) 【解析】 试题分析： (1)根据若做广告宣传，广告费为 n 千元比广告费为千元时多卖出件，可 得，利用叠加法可求得. (2)根据题意在时,利润,可利用求最值. 试题解析： （1）设表示广告费为 0 元时的
13、销售量，由题意知 ， 由叠加法可得 即为所求。 （2）设当时，获利为元， 由题意知， 欲使最大，则，易知，此时. 考点：叠加法求通项,求最值. 20.设数列的前项和.已知. 上海上海中学高一数学下册期末考试试卷（含解析） - 14 - / 17 （1）求数列的通项公式； （2）是否对一切正整数，有？说明理由. 【答案】 （1）； （2）对一切正整数，有. 【解析】 【分析】 （1）运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求； （2）对一切正整数 n，有， 考虑当时，再由裂项相消求和，即可得证。 【详解】 （1） 当时， 两式做差得 ， ，当时，上式显然成立，。 （2）证明：当时，
14、 可得 由 可得 上海上海中学高一数学下册期末考试试卷（含解析） - 15 - / 17 即有 则当时，不等式成立。 检验时，不等式也成立，综上对一切正整数 n，有。 【点睛】本题考查数列递推式，考查数列求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键 21.设集合，其中. （1）写出集合中的所有元素； （2）设，证明 “”的充要条件是 “” （3）设集合，设 ，使得 ，且 ，试判断“”是“” 的什么条件并说明理由. 【答案】 （1），； （2）证明见解析； （3）充要条件. 【解析】 【分析】 （1） 根据题意，直接列出即可 （2） 利用的和的符号和最高次的相同，利用排除法可以证明。 （3） 利
15、用（2）的结论完成（3）即可。 【详解】 （1）中的元素有，。 上海上海中学高一数学下册期末考试试卷（含解析） - 16 - / 17 （2）充分性：当时，显然 成立。 必要性： 若=1，则 若=，则 若的值有个 1，和个。不妨设 2 的次数最高次为次，其系数为 1，则 ，说明只要最高次的系数是正的， 整个式子就是正的，同理，只要最高次的系数是负的，整个式子就是负的，说明最高次的系 数只能是 0，就是说，即 综上“”的充要条件是 “” （3） 等价于 等价于 由（2）得“=”的充要条件是“” 即“=”是“” 的充要条件 【点睛】本题考查了数列递推关系等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能 上海上海中学高一数学下册期末考试试卷（含解析） - 17 - / 17 力与计算能力，属于难题
