1、)()()(0tctct1.误差与偏差一误差与稳态误差的定义 系统输出量的期望值c0(t)与实际输出c(t)之差定义为反馈系统响应r(t)的误差信号，即 对于单位反馈系统，其输入量r(t)的值即为输出量期望值，即 )()(0trtc 代入上式得 )()()()()()(0tetctrtctct 单位反馈系统的偏差和误差是相等的，偏差的稳态值ess就是系统的稳态误差ss ，即 sssse)(te 偏差 )()(C(s)(s)CH(s)H(s)C(s)(s)H(s)CE(s)(s)H(s)CR(s)(s)H(s)C-R(s)0 0000ssH因因而而 对于非单位反馈系统)()()()(sCsHsR
2、sE 偏差为零时的输出量即为期望值，即 非单位反馈系统的偏差和误差之间并不相等，但具有确定的关系。稳态误差：反馈系统误差信号(t)的稳态分量，记作ss(t)。动态误差：反馈系统误差信号(t)的暂态分量，记作ts(t)。),()()(ttttsss对稳定系统，0)(ttts2.稳态误差说明：1）误差是从系统输出端来定义的，它是输出的希望值与实际值之差，这种方法定义的误差在性能指标提法中经常使用，但在实际系统中有时无法测量，因而一般只具有数学意义。2）偏差是从系统的输入端来定义的，它是系统输入信号与主反馈信号之差，这种方法定义的误差，在实际系统中是可以测量的，因而具有一定的物理意义。3）对单位反馈
3、系统而言，误差与偏差是一致的。4）有些书上对误差、偏差不加区分，只是从不同的着眼点（输入、输出点）来定义。5）影响系统稳态误差的因素有很多，如系统的机构、参数以及输入量的形式等。二、给定输入信号作用下系统的误差分析 (s)G11)()(s)KsRsEe R(s)(s)G11R(s)G(s)H(s)11E(s)K对于非单位反馈系统而言，有令 系统的误差传递函数 对于稳定的系统，根据拉氏变换的终值定理和稳态误差的定义，系统的稳态误差为)(1)(lim)(lim)(lim00sGssRssEteeKsstss 稳态误差的大小与系统开环传递函数GK(s）以及输入信号R(s)的形式有关。)1()1(K)
4、1()1)(1()1()1)(1K(S)G 1m1ii2121K(vnjjvvnvmsTsssTsTsTssss（1）系统型别1、稳态误差终值的计算设系统的开环传函为称为零型系统称为 I 型系统称为 II 型系统系统的型别以 来划分012优点：1可以根据已知的输入信号形式，迅速判 断是否存在稳态误差及稳态误差的大小。2系统阶数m,n的大小与系统型别无关，且不影响稳态误差的数值。)()(lim)(s lim 0s0ssssRsssEe。控控制制系系统统的的稳稳态态误误差差值值时时和和试试求求当当输输入入信信号号分分别别为为传传递递函函数数为为设设单单位位反反馈馈系系统统的的开开环环例例,sin)
5、(21)(,1(s)G .2KwttrttrTs2.利用终值定理计算应用终值定理的条件是sE(s)在s右半平面及虚 轴上解析，或者说sE(s)的极点位于左半平面（包括坐标原点）。因因而而是是允允许许的的。际际所所求求一一致致但但与与实实在在坐坐标标原原点点不不解解析析尽尽管管在在数数学学上上由由终终值值定定理理时时时时当当解解,)(limsE(s)lime (2)e t T)-T(teTe(t)-(s)R(s)E(s)(1)R(s)tr(t)(s):1/T)s(s10s0sssss-21/TSTSTST1/T)(SS1S1221/1S(S)11eTt22223ssETSGK.0)s()1(li
6、m)(lim)(e ,0)(e ,sin1cos1)(e sin1cos11e(t)s11 s1111)s()1()()(E(s)sR(s)3(22200ssss222222ss2222222222223222222222e22的错误结论否则得出算稳态误差值不能采用终值定理来计所以此时轴上不解析应当注意正弦函数在虚这里TssssEtTTtTTttTTtTTeTTTTsTTTsTTTsssRsssTt 11)(11lim)()(11lime 00sspKsKsKsGsRsGs3静态误差系数已知)()(11lim)(lime00sssRsGsssEKss 1R(s)1(t)r(t)(a)s定义 位
7、置误差系数 )(limK 0psGKs1）对于0型系统，0，则KsTsssGvnjjvsKs1m1ii00p)1()1(Klim)(limK 0型系统静态位置误差的大小近似与开环增益成反比，K越大，稳态误差越小，稳态精度越高。所以，增加系统的开环增益可以减小稳态误差。故 11 11e ssKKp2）对于型和型系统，1或2，则vnjjvsKssTsssG1m1ii00p)1()1(Klim)(limK 故型和型系统的静态位置误差为 011 11e sspK定义 速度误差系数)(limk 0vssGKsvsKKsKssGssGs1)(lim11.)(11lime 020ss 1R(s)t r(t)
8、(2sb对于0型系统，0，则0)1()1(Klim)(limK 1m1ii00vvnjjvsKssTsssssG2v1v故 01 1e ssvK同理，时，KeKKssv1,时，0,ssveK 1)(lim11)(11lime 2030ssaKsKsKsGsssGs定义 加速度误差系数)(limk 20asGsKs 1R(s)t21r(t)(32sc对于0型系统，0，则0)1()1(Klim)(limK 1m1ii2020vnjjvsKssTssssGs2v1v故 01 1e ssK同理，时，ssveK,0时，KeKKssv1,k1 t210 k1 t 0 0 k11 1(t)II I 0 a
9、2vp 输入输入型型型型型型差差型别型别误误解：（1）根据公式可以分别求得例1:系统的开环传递函数 ，试求：（1）Kp，Kv 和 Ka；（2）当 r(t)5 t 时的 ess；3）当 r(t)22tt 时的 ess。)1(10)(sssGK)1(10lim)(lim00sssGKsKsp10)1(10lim)(lim00sssssGKsKsv0)1(10lim)(lim2020ssssGsKsKs 5.01055vssKe（3）当输入当 r(t)2 2 t t 时，稳态误差为02102112212vKKKepss（2）当输入 r(t)5t 时，稳态误差为.2)(2.1.:,1(S)G 0:22
10、210K时的稳态误差时的稳态误差当输入当输入的给定稳态误差的给定稳态误差在三种典型输入下系统在三种典型输入下系统试计算试计算是是型系统的开环传递函数型系统的开环传递函数设设例例tRtRRtrsK 1e 时tr(t)1e 时tr(t)1111e 时1(t)r(t)0k ,0k k,k 所以,0型由于系统SS221SSSSavpavpkkkk为解：时21)(当 2210tRtRRtrKRKRKRepss2v101三、扰动输入作用下系统的误差分析 假定给定输入信号r(t)=0。此时，由于扰动作用使系统产生输出，输出值的大小就是误差的大小。扰动作用产生的误差称为系统的扰动误差扰动误差，是以输出量c(t
11、)的稳态值来分析系统的扰动作用。如图所示系统当R(s)=0时，有)()()(1)()(212sNsGsGsGsC扰动误差)()()()()(1)()(0)(212sNssNsGsGsGsCsEen式中 系统对扰动作用的误差传递函数)()(1)()(212sGsGsGsen系统的扰动稳态误差essn为)()(1)(lim)()()(1)(lim)(lim2021200sNsGssGsNsGsGssGssEeKsssssn式中 系统的开环传递函数)()()(21sGsGsGK 系统扰动稳态误差与系统的开环传递函数、扰动作用点的位置以及扰动作用的形式有关。扰动作用点不同，相同的扰动输入的稳态误差不一
12、定相同。具有相同的传递函数的两个系统，对于给定作用，有相同的误差系数。但扰动作用点不同，相同的扰动引起不同的扰动作用。如右图所示两个系统，具有相同的开环传递函数，扰动作用点不同。1)(,)(,)(,1)(332211TsKsGsKsGKsGssN设(a)(b)图(a)系统的稳态误差为01.)1(11lim)()()()(1)(lim3213032130sTssKKKTsKssNsGsGsGssGessssn图(b)系统的稳态误差为132132032132011.)1(1)1(lim)()()()(1)()(limKsTssKKKTssKKssNsGsGsGsGssGessssn 图(a)系统的
13、稳态误差为零，而图(b)系统的稳态误差不为零。增加偏差到扰动作用点之间前向通道的积分环节个数或增大开环增益，可使系统稳态精度提高。对于实际系统，当给定输入作用和扰动输入作用同时存在时，可用叠加原理将两种作用分别引起的稳态误差相叠加。四、复合控制系统的误差分析 在控制系统中采用复合控制的方法，可以进一步减小给定和扰动误差。如右图所示系统)()(1)()()(2121sGsGsGsGs 特征方程式为0)()(121sGsG 给定误差为 （1）)()(1)()(21sGsGsRsE 在系统中引入开环补偿环节G3(s)，使之构成复合控制系统。如右图所示。此时系统称为前馈控制，它实质上是一种补偿控制)(
14、)(1)()()()(21231sGsGsGsGsGs 系统的闭环传递函数为 由于系统的特征方程式没有改变，所以引入前馈控制不改变系统的稳定性。系统的给定误差为)()()(1)()(1)()(1)()()(2132sRsGsGsGsGsRssCsRsE（2）计较(1)式和(2)式可见，引入前馈控制可以减小误差。若满足)(1)(23sGsG（3）则误差E(s)=0，即系统的输出量完全复现给定输入作用。这种将误差完全补偿的作用，称为全补偿。式(3)称为按给定作用实现完全不变性的条件。同理，可以求出按扰动作用实现完全不变性的条件。如右图所示，扰动误差为)()()(1)()()(1)()(21231sNsGsGsGsGsGsCsE若满足)(1)(13sGsG则E(s)=C(s)=0，系统的输出量完全不受扰动影响，即实现全补偿。式(4)称为按扰动作用实现完全不变性的条件。(4)实际上，实现完全补偿是很困难的，但是即使采取部分补偿，也可大大提高稳态精度。综上所述，减小稳态误差的措施有：（1）增大系统开环增益和扰动作用点之前系统的前向通道增益，但开环增益不能过大，否则会造成系统不稳定。（2）在系统的前向通道上或偏差到扰动作用点之间增加积分环节个数，但一般系统积分环节个数不能超过2，否则会造成系统不稳定。（3）采用复合控制方法。
