1、104 RLC元件电压电流关系的相量形式元件电压电流关系的相量形式 一、一、电阻元件电阻元件电压电流关系的电压电流关系的相量形式相量形式)1810()()(tRitu 线性电阻的电压电流关系服从欧姆定律，在电压电流线性电阻的电压电流关系服从欧姆定律，在电压电流采用关联参考方向时，其电压电流关系表示为采用关联参考方向时，其电压电流关系表示为 当其电流当其电流i(t)=Imcos(t+i)随时间按正弦规律变化时，随时间按正弦规律变化时，电阻上电压电流关系如下：电阻上电压电流关系如下：)cos()()cos()(imumtRItRitUtu 上式表明，线性电阻的电压和电流是同一频率的正弦上式表明，线
2、性电阻的电压和电流是同一频率的正弦时间函数。其振幅或有效值之间服从欧姆定律，其相位差时间函数。其振幅或有效值之间服从欧姆定律，其相位差为零为零(同相同相)，即，即)2010()1910(iummRIURIU或 线性电阻元件的时域模型如图线性电阻元件的时域模型如图10-14(a)所示，反映电压所示，反映电压电流瞬时值关系的波形图如图电流瞬时值关系的波形图如图(b)所示。所示。图 10-14 由上图可见，在任一时刻，由上图可见，在任一时刻，电阻电压的瞬时值是电流电阻电压的瞬时值是电流瞬时值的瞬时值的R倍倍，电压的相位与电流的相位相同电压的相位与电流的相位相同，即电压电，即电压电流波形同时达到最大值
3、，同时经过零点。流波形同时达到最大值，同时经过零点。由于电阻元件的电压电流都是频率相同的正弦时间函由于电阻元件的电压电流都是频率相同的正弦时间函数，可以用相量分别表示如下：数，可以用相量分别表示如下：)2210(e2ReeRe)()2110(e2ReeRe)(j jm j jmttttIItiUUtu 将以上两式代入式将以上两式代入式1018中，得到中，得到 e2Ree2Re(j jttIRUtu）由此得到线性电阻电压电流关系的相量形式为由此得到线性电阻电压电流关系的相量形式为)2310(IRU 这是一个复数方程，它同时提供振幅之间和相位之间这是一个复数方程，它同时提供振幅之间和相位之间的两个
4、关系，即的两个关系，即 (1)电阻电压有效值等于电阻乘以电流的有效值，即电阻电压有效值等于电阻乘以电流的有效值，即 U=RI (2)电阻电压与其电流的相位相同，即电阻电压与其电流的相位相同，即 u=i 线性电阻元件的相量模型如图线性电阻元件的相量模型如图(a)所示，反映电压电流所示，反映电压电流相量关系的相量图如图相量关系的相量图如图(b)所示，由此图可以清楚地看出电所示，由此图可以清楚地看出电阻电压的相位与电阻电流的相位相同。阻电压的相位与电阻电流的相位相同。图图10-15 正弦电流电路中电阻元件的电压电流相量关系正弦电流电路中电阻元件的电压电流相量关系IRU二、电感二、电感元件元件电压电流
5、关系的电压电流关系的相量形式相量形式)2410(dd)(tiLtu 当电感电流当电感电流i(t)=Imcos(t+i)随时间按正弦规律变化时，随时间按正弦规律变化时，电感上电压电流关系如下：电感上电压电流关系如下：)90 cos()sin()cos(dd)cos()(imimimumtLItLItItLtUtu 线性电感的电压电流关系采用关联参考方向时，线性电感的电压电流关系采用关联参考方向时，表明线性电感的电压和电流是同一频率的正弦时间函表明线性电感的电压和电流是同一频率的正弦时间函数。其振幅或有效值之间的关系以及电压电流相位之间的数。其振幅或有效值之间的关系以及电压电流相位之间的关系为关系
6、为)2610(90 )2510(iummLIULIU或 电感元件的时域模型如图电感元件的时域模型如图10-16(a)所示，反映电压电流所示，反映电压电流瞬时值关系的波形图如图瞬时值关系的波形图如图10-16(b)所示。由此可以看出所示。由此可以看出电感电感电压超前于电感电流电压超前于电感电流90，当电感电流由负值增加经过零，当电感电流由负值增加经过零点时，其电压达到正最大值。点时，其电压达到正最大值。图图 10-16 由于电感元件的电压电流都是频率相同的正弦时间函由于电感元件的电压电流都是频率相同的正弦时间函数，可以用相量分别表示，将它们代入式数，可以用相量分别表示，将它们代入式1024中得到
7、中得到 e2 jRe)e2Re(dde2Re(jjjtttILItLUtu）由此得到电感元件电压相量和电流相量的关系式由此得到电感元件电压相量和电流相量的关系式)2710(jILU 电感元件的相量模型如图电感元件的相量模型如图(a)所示，电压电流的相量图所示，电压电流的相量图如如(b)所示。由此可以清楚看出所示。由此可以清楚看出电感电压的相位超前于电感电感电压的相位超前于电感电流的相位电流的相位90。j 90sinj90cose90j图图 10-17三、电容三、电容元件元件电压电流关系的电压电流关系的相量形式相量形式)2810(dd)(tuCti 线性电容在电压电流采用关联参考方向时线性电容在
8、电压电流采用关联参考方向时 线性电容的电压和电流是同一频率的正弦时间函数。线性电容的电压和电流是同一频率的正弦时间函数。其振幅或有效值之间的关系。以及电压电流相位之间的关其振幅或有效值之间的关系。以及电压电流相位之间的关系为系为)3010(90 )2910(uimmCUICUI或 当电容电压当电容电压u(t)=Umcos(t+u)随时间按正弦规律变化随时间按正弦规律变化时时)90 cos()sin()cos(dd)cos()(umumumimtCUtCUtUtCtIti 电容元件的时域模型如图电容元件的时域模型如图10-18(a)所示，反映电压电流所示，反映电压电流瞬时值关系的波形图如图瞬时值
9、关系的波形图如图(b)所示。由此图可以看出所示。由此图可以看出电容电电容电流超前于电容电压流超前于电容电压90，当电容电压由负值增加经过零点，当电容电压由负值增加经过零点时，其电流达到正最大值。时，其电流达到正最大值。图图 10-18 由于电容元件的电压电流都是频率相同的正弦时间函由于电容元件的电压电流都是频率相同的正弦时间函数，可以用相量分别表示，代入式数，可以用相量分别表示，代入式1028中得到中得到 由此得到电容元件电压相量和电流相量的关系式由此得到电容元件电压相量和电流相量的关系式)3110(jUCIe2jRe)e2Re(dde2Re(jjjtttUCUtCIti）电容元件的相量模型如
10、图电容元件的相量模型如图(a)所示，其相量关系如图所示，其相量关系如图(b)所示。所示。图图 10-19例例10-8 电路如图电路如图10-20(a)所示，已知所示，已知 2rad/s,A cos2)(,H2,3SttiLR 试求电压试求电压u1(t),u2(t),u(t)及其有效值相量及其有效值相量。图图 10-20解：根据图解：根据图(a)所示电路的时域模型，画出图所示电路的时域模型，画出图(b)所示的相量所示的相量 模型，图中各电压电流参考方向均与时域模型相同，模型，图中各电压电流参考方向均与时域模型相同，仅将时域模型中各电压电流符号仅将时域模型中各电压电流符号 用相应的相量符号用相应的
11、相量符号 表示，根据相表示，根据相 量形式的量形式的KCL求出电流相量求出电流相量 uuuii、21SUUUII、21S1A A01SII 由相量形式的由相量形式的VCR方程求出电压方程求出电压 V904V4 j 0122 jjjV03013S2S1ILILUIRIRU图图 10-20(b)根据相量形式的根据相量形式的KVL方程式得到方程式得到 V1.5354 j321UUU 得到相应电压的瞬时值表达式得到相应电压的瞬时值表达式 V)1.532cos(25)(V)902cos(24)(V 2cos23)(21ttuttuttu 相量图如图相量图如图(c)所示。由此图可以看出电压所示。由此图可以
12、看出电压u(t)超前于超前于电流电流i(t)的角度为的角度为53.1。此例中，。此例中，U=5 U1+U2=3+4=7图图 10-20(c)例例109 电路如图电路如图10-21(a)所示所示,已知已知5rad/s,Vcos210)(,F1.0,4SttuCR解：画出图解：画出图(a)相量模型如图相量模型如图(b)所示。根据所示。根据RLC元件相量形元件相量形 式的式的VCR方程方程(式式1023和和1031)计算出电流相量。计算出电流相量。A5.205.24010S1RUI图图 10-21 试求电流试求电流i1(t),i2(t),i(t)及其有效值相量。及其有效值相量。A905j5Aj201
13、00.151j010j12CUIs 根据相量形式的根据相量形式的KCL方程得到方程得到 A4.6359.5j55.221III 得到电流的瞬时值表达式得到电流的瞬时值表达式 A 5cos25.2)(1tti图图 10-21A)905cos(25)(2ttiA)4.635cos(259.5)(tti 根据所求得的各电压电流相量画出相量图。根据所求得的各电压电流相量画出相量图。由此图可以看出电流由此图可以看出电流i(t)超前于电压超前于电压uS(t)的角度为的角度为63.4。此例中，此例中，I=5.59 I1+I2=2.5+5=7.5,再次说明正弦电流电再次说明正弦电流电路中流出任一结点的全部电流
14、有效值的代数和并不一定等路中流出任一结点的全部电流有效值的代数和并不一定等于零。于零。四、阻抗与导纳四、阻抗与导纳 欧姆定律的相量形式欧姆定律的相量形式为容抗称为电容的电抗，简称为感抗称为电感的电抗，简称称为电阻 j1 j1 j j CCCCLLLLRRRRCIUICULIUILURIUIRU 现将现将RLC元件电压电流的相量关系列写如下：元件电压电流的相量关系列写如下：我们注意到，我们注意到，RLC元件电压相量与电流相量之间的关元件电压相量与电流相量之间的关系类似欧姆定律，电压相量与电流相量之比是一个与时间系类似欧姆定律，电压相量与电流相量之比是一个与时间无关的量，其中无关的量，其中R，称为
15、电阻；，称为电阻；j L，称为电感的电抗，简，称为电感的电抗，简称为感抗；称为感抗；1/j C，称为电容的电抗，简称为容抗。，称为电容的电抗，简称为容抗。为了使为了使用方便，我们用大写字母用方便，我们用大写字母Z来表示这个量，它是一个复数，来表示这个量，它是一个复数，称为阻抗称为阻抗。为容抗称为电容的电抗，简称为感抗称为电感的电抗，简称称为电阻 j1 j1 j j CCCCLLLLRRRRCIUICULIUILURIUIRUCj1jLRIUZ 引入引入阻抗阻抗后，我们可以将以上三个关系式用一个式子后，我们可以将以上三个关系式用一个式子来表示。来表示。)3210(ZIUIZU 式式1032称为称
16、为欧姆定律的相量形式欧姆定律的相量形式。阻抗定义为电压相量与电流相量之比阻抗定义为电压相量与电流相量之比，即，即 与上相似，与上相似，RLC元件电压电流的相量关系也可以写成元件电压电流的相量关系也可以写成以下形式以下形式 j j j1 j1 CCCCLLLLRRRR为容纳称为电容的电纳，简称为感纳称为电感的电纳，简称称为电导CUIUCILUIULIGUIUGI 我们注意到，我们注意到，RLC元件电流相量与电压相量之比是一元件电流相量与电压相量之比是一个与时间无关的量，其中个与时间无关的量，其中G，称为电导；，称为电导；1/j L，称为电感，称为电感的电纳，简称为感纳；的电纳，简称为感纳；j C
17、，称为电容的电纳，简称为容，称为电容的电纳，简称为容纳。我们用大写字母纳。我们用大写字母Y来表示这个量，它是一个复数，称来表示这个量，它是一个复数，称为导纳。为导纳。LCGUIYj1j 引入引入导纳导纳后，可以将以上关系式用一个式子来表示。后，可以将以上关系式用一个式子来表示。)3310(YUIUYI 显然，同一个二端元件的显然，同一个二端元件的阻抗与导纳互为倒数关系阻抗与导纳互为倒数关系，即，即 ZYYZ11 导纳导纳Y定义为电流相量与电压相量之比定义为电流相量与电压相量之比，即，即 现将反映两类约束关系的现将反映两类约束关系的KCL、KVL和二端元件和二端元件VCR的时域和相量形式列写如下。的时域和相量形式列写如下。它们是相量法分析正弦稳态它们是相量法分析正弦稳态电路的基本依据电路的基本依据。1 dd 1 dd e )cos(2)(e )cos(2)(0 0 0 0 jSSiSjSSuS1111iuUYIIZUidtCutuCiudtLitiLuGuiRiuIItUtiUUtUtuUuIittnkknkknkknkk电容电感电阻电流源电压源基尔霍夫电压定律基尔霍夫电流定律相量形式时域形式2002年春节摄于成都人民公园
