1、第三章第三章 线性电阻电路的一般分析方法线性电阻电路的一般分析方法 3.3 支路电流法支路电流法 3.5 回路电流法回路电流法 3.6 结点电压法结点电压法 3.4 网孔电流法网孔电流法 3.1 电路的图电路的图 3.2 KCL和和KVL的独立方程数的独立方程数目的目的：找出求解线性电路的：找出求解线性电路的一般分析方法一般分析方法。对象对象：含独立源、受控源的：含独立源、受控源的电阻网络电阻网络的直流稳态解。的直流稳态解。(可推广应用于其他类型电路的稳态分析中）可推广应用于其他类型电路的稳态分析中）应用应用：主要用于复杂的线性电路的求解。：主要用于复杂的线性电路的求解。复杂电路的分析法就是根
2、据复杂电路的分析法就是根据KCL、KVL及元件电压和电及元件电压和电流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同可分流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同可分为为支路电流法、支路电流法、网孔电流法网孔电流法、回路电流法、回路电流法和和结点电压法结点电压法。元件特性元件特性(约束约束)(对电阻电路，即欧姆定律对电阻电路，即欧姆定律)电路的连接关系电路的连接关系KCL，KVL定律定律相互独立相互独立基础基础：3-1 3-1 电路的图电路的图 “网络图论网络图论”就是应用图论（即图的理论）通就是应用图论（即图的理论）通过电路的结构及其联接性质，对电路进行分析和研过电路的结构及其联接性质
3、，对电路进行分析和研究。究。抽象抽象13245线图线图+-自环自环uS SR R1 1R R2 2C CL L1 13 34 45 52 2+-R2+-usR1L1L2M例：例：2.2.有向图和无向图有向图和无向图 对电路的图的每一支路指定一个方向（此即该支路电流对电路的图的每一支路指定一个方向（此即该支路电流的参考方向的参考方向,电压取其关联参考方向），即为电压取其关联参考方向），即为有向图有向图。没有。没有给支路赋以方向的即为给支路赋以方向的即为无向图无向图。R R1 1R R2 2C CL L1 13 34 45 52 2i2i4i5542iii +-us13245有向图有向图3-2 K
4、CL和和KVL的独立方程数的独立方程数1654321234对结点对结点1、2、3、4列列KCL方程有：方程有：i1-i4 i6=0 -i1 i2+i3=0 i2+i5+i6=0 -i3+i4 i5=0 上述四个方程并不相互独立，可由任意三个推出另一个，即上述四个方程并不相互独立，可由任意三个推出另一个，即只有三个是相互独立的。此结论对只有三个是相互独立的。此结论对n个节点的电路同样适用。个节点的电路同样适用。即对即对n个节点的电路的图，能且只能列出（个节点的电路的图，能且只能列出（n-1）个）个KCL独立方独立方程，这些独立方程对应的节点称为独立节点程，这些独立方程对应的节点称为独立节点。1
5、1KCLKCL的独立方程数的独立方程数（1）路径路径 从从G的某一节点出发到达另一指定的节点的一系列的某一节点出发到达另一指定的节点的一系列支路构成了支路构成了G的路径。的路径。2 2KVLKVL的独立方程数的独立方程数（2）连通图连通图 当图当图G的任意两个节点之间至少存在一条路径时，的任意两个节点之间至少存在一条路径时，G就称为连通图。非连通图至少存在两个分离部分。就称为连通图。非连通图至少存在两个分离部分。（3）闭合路径闭合路径 如果一条路径的起点和终点重合，这就构成了一如果一条路径的起点和终点重合，这就构成了一条闭合路径。条闭合路径。（4）回路回路 当闭合路径所经过的节点都是不同的时，
6、则这条闭合当闭合路径所经过的节点都是不同的时，则这条闭合路径就构成了图路径就构成了图G的一个回路。的一个回路。（5）树（树（Tree）一个连通图一个连通图G的一个树的一个树T是指是指G的一个连通子图，的一个连通子图，它包含它包含G的全部节点但不包含回路。的全部节点但不包含回路。（6）树支和连支树支和连支 对一个连通图对一个连通图G，当确定它的一个树，当确定它的一个树T后，凡是后，凡是G的支路属于这个树的支路属于这个树T的，就称为的，就称为G的树支；不属于这个树的树支；不属于这个树T的支的支路，就称为路，就称为G的连支。的连支。n个节点个节点b条支路的图条支路的图G的任一个树的树支的任一个树的树
7、支数为（数为（n-1），连支数为），连支数为b-(n-1)=b-n+1。树树图图（7）单连支回路（或基本回路）单连支回路（或基本回路）任一个树，每加进一个连支任一个树，每加进一个连支便形成了一个只包含该连支的回路，而构成此回路的其他支路便形成了一个只包含该连支的回路，而构成此回路的其他支路均为树支。这样的回路称为单连支回路或基本回路，显然这组均为树支。这样的回路称为单连支回路或基本回路，显然这组回路是独立的。回路是独立的。（8）独立回路数独立回路数 对一个节点数为对一个节点数为n，支路数为，支路数为b的连通图，其的连通图，其独立回路数为独立回路数为l=b-n+1。KVL的独立方程数的独立方程数
8、=回路的独立回路回路的独立回路数。数。（9）平面图平面图 一个图若它的各条支路除所联接的节点外不再交一个图若它的各条支路除所联接的节点外不再交叉，这样的图称为平面图。叉，这样的图称为平面图。（10）网孔网孔 平面图的一个网孔是它的一个自然的平面图的一个网孔是它的一个自然的“孔孔”，它所，它所限定的区域内不再有支路。平面图的全部网孔数即为其独立回限定的区域内不再有支路。平面图的全部网孔数即为其独立回路数。路数。R1R2R3R4R5R6+i2i3i4i1i5i6uS1234根据根据KCL列方程列方程节点节点 2：i2+i3+i4=0节点节点 3：i4 i5+i6=0节点节点 4：i1 i3+i5=
9、0(2)(出为正，进为负出为正，进为负)4个方程是不独立的个方程是不独立的节点节点 1：i1+i2 i6=0方程方程=+4个节点的电路，有个节点的电路，有3个独立的个独立的KCL方程方程 3-3 支路电流法支路电流法(branch current method)支路电流法支路电流法：以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。3R1R2R3R4R5R6+i2i3i4i1i5i6uS1234(3)选定图示的选定图示的3个回路，由个回路，由KVL，列写关于支路电压的方程。列写关于支路电压的方程。(3)独立回路独立回路：独立方程所对应的回路。：独立
10、方程所对应的回路。12R1 i1+R5 i5+R6 i6 uS=0R1 i1+R2 i2+R3 i3=0R3 i3+R4 i4 R5 i5=0如何保证所选回路是独立的？如何保证所选回路是独立的？独立回路的选取：独立回路的选取：每增选一个回路使这个回路至少具有一条新支路。每增选一个回路使这个回路至少具有一条新支路。平面电路平面电路，每每个网孔选为一个回路，即是一组独立回路。个网孔选为一个回路，即是一组独立回路。平面电路平面电路：可以画在平面上：可以画在平面上,不出现支路交叉的电路。不出现支路交叉的电路。123 i1+i2 i6=0 i2+i3+i4=0 i4 i5+i6=0R1 i1+R2 i2
11、+R3 i3=0R3 i3+R4 i4 R5 i5=0 R1 i1+R5 i5+R6 i6 uS=0KCLKVLR1R2R3R4R5R6+i2i3i4i1i5i6uS1234独立方程数应为独立方程数应为b=6个。个。b=6n=4l=7例例(P59(P59，图，图3 38)8)求：各条支路上的电流求：各条支路上的电流 6R6i3R+-1sU2R4R1R5R5si1i2i3i4i5i1 12 23 3(1)标定各支路电流标定各支路电流(2)选定选定(n1)个节点个节点，列写其，列写其KCL方程；方程；(3)选定选定b(n1)个独立回路，列写其个独立回路，列写其KVL方程；方程；(元件特性代入元件特
12、性代入)(4)求解上述方程，得到求解上述方程，得到b个支路电流；个支路电流；US1=5V,R1=500,R2=1000,R3=1000 ,=50.求各支路电流。求各支路电流。I1I3US1R1R2R3ba+I2 I1例例1.支路法的一般步骤：支路法的一般步骤：节点节点a：I1-I2+I3=0(1)n1=1个个KCL方程：方程：解解(2)b(n1)=2个个KVL方程：方程：(3)联立求解联立求解解得解得I1I35V50010001000ba+I250I112U回路回路1:500I1+U-I2 1000=5回路回路2:1000I3+I2 1000-U=0I1=0.0971mAI3=4.95mAU=
13、9.806VI2=4.854mAI2=50I1 解解列写下图所示含受控源电路的支路电流方程。列写下图所示含受控源电路的支路电流方程。1i1i3uS i1R1R2R3ba+i2i6i5uc24i4R4+R5 u2+u23方程列写分两步：方程列写分两步：(1)先将受控源看作独立源先将受控源看作独立源列方程；列方程；(2)将控制量用未知量表示，将控制量用未知量表示，并代入并代入(1)中所列的方程，中所列的方程，消去中间变量。消去中间变量。KCL方程：方程：-i1-i2+i3+i4=0 (1)-i3-i4+i5-i4=0 (2)例例2.KVL方程：方程：R1i1-R2i2=uS (3)R2i2+R3i
14、3+R5i5=0 (4)R3i3-R4i4=u2 (5)R5i5=u (6)1i1i3uS i1R1R2R3ba+i2i6i5uc24i4R4+R5 u2+u23补充方程：补充方程：i6=i1 (7)u2=R2i2 (8)支路电流法特点支路电流法特点 优点：直接得解，概念清晰优点：直接得解，概念清晰 缺点：方程数目可能太大，求解费时缺点：方程数目可能太大，求解费时怎么办呢？怎么办呢？1230123456123让我们再来分析一下让我们再来分析一下定义网孔电流定义网孔电流1mi2mi3mi假想电流假想电流11mii63mii52mii213mmiii312mmiii423mmiii想法：如果先求出
15、想法：如果先求出3个网孔电流，则个网孔电流，则6个支路电流容易求解个支路电流容易求解1 12 23 31sR iR iR iu回路1回路2回路33 34 45 555sR iR iR iR i 2 24 46 60R iR iR i再次给出再次给出KVL方程：方程：将将KVL中的支路电流用上述中的支路电流用上述6个方程代入，整理得到个方程代入，整理得到123132231()mmmsRRR iR iR iu3134524355()mmmsR iRRR iR iR i 21426243()0mmmR iR iRRRi6R6i3R+-1sU2R4R1R5R5si1i2i3i4i5i1 12 23 3
16、123321133454252424630msmsmRRRRRiuRRRRRiuRRRRRi 写成矩阵形式：写成矩阵形式：非常有规律，是偶然的吗？111213212223313233RRRRRRRRR电阻矩阵自阻：互阻：11R22R33R1221RR为负值2332RR是对角占优的对称矩阵（不含受控源）是对角占优的对称矩阵（不含受控源）都取顺（逆）时针方向都取顺（逆）时针方向是以网孔电流作为电路的独立变量是以网孔电流作为电路的独立变量uS1i1i3uS2R1R2R3ba+uS3-+i2im2im1abim2im1KCL:-i1+i2+i3=0网孔列网孔列KVL:u1+u2=0 -u2+u3=0各
17、支路列各支路列VCR:u1=-uS1+R1 i1=-us1+R1im1 u2=R2 i2+uS2=R2(im1-im2)+us2 u3=R3 i3+uS3=R3 im2+us3整理得整理得:(R1+R2)im1 R2 im2=us1-uS2-R2im1+(R2+R3)im2=uS2-us3 即即:R11im1+R12 im2=us11 R21im1+R22im2=uS22R11=R1+R2 代表网孔代表网孔1的的自阻自阻，为网孔，为网孔1所有电阻之和。所有电阻之和。R22=R2+R3 代表网孔代表网孔2的的自阻自阻，为网孔，为网孔2所有电阻之和。所有电阻之和。自阻总是正的自阻总是正的R12=R
18、=R2121=R=R2 2 代表网孔代表网孔1 1和网孔和网孔2 2的的互阻互阻，为网孔，为网孔1 1、2 2的公共电阻。的公共电阻。当两网孔电流通过公共电阻的参考当两网孔电流通过公共电阻的参考方向相同方向相同时，互阻为时，互阻为正正；当两网孔电流通过公共电阻的参考当两网孔电流通过公共电阻的参考方向相反方向相反时，互阻为时，互阻为负负；当两网孔电流间没有公共电阻时，互阻为零。当两网孔电流间没有公共电阻时，互阻为零。如果网孔电流的方向均为顺时针，则互阻总为负。如果网孔电流的方向均为顺时针，则互阻总为负。u uS11S11=u=uS1S1-u-uS2S2 为网孔为网孔1 1的总电压源电压，各电压源
19、电压与网孔电流的总电压源电压，各电压源电压与网孔电流一致时，前取负号，反之取正号一致时，前取负号，反之取正号。u uS22S22=u=uS2S2-u-uS3S3 为网孔为网孔2 2的总电压源电压。的总电压源电压。推广推广:R11im1+R12 im2+R13 im3+-+R1mimm=us11R21im1+R22im2 +R23 im3+-+R2mimm=uS22 -Rm1im1+Rm2im2 +Rm3 im3+-+Rmmimm=uSmm举例举例:用网孔法求各支路电流。用网孔法求各支路电流。解：解：(1)设选网孔电流设选网孔电流(顺时针顺时针)(2)列列 网孔电流网孔电流 方程方程(R1+R2
20、)I1 -R2I2 =US1-US2 -R2I1+(R2+R3)I2 -R3I3=US2 -R3I2+(R3+R4)I3=-US4I1I3I2+_US2+_US1IaIbIcR1R2R3+_ US4R4Id即即:80I1-20I2=40 -20 I1+60I2 -40I3=10 -40I2+80I3=4040(3)求解回路电流方程，得求解回路电流方程，得 I1=0.786,I2=1.143,I3=1.071(4)求各支路电流：求各支路电流：Ia=I1,Ib=I2-I1,Ic=I2-I3,Id=-I3(5)校核：选一新回路。校核：选一新回路。60Ia-40Id=50+40 即即90=903-5
21、回路电流法回路电流法(loop current method)思路：思路：为减少未知量为减少未知量(方程方程)的个数，假想每个回路的个数，假想每个回路中有一个回路电流。中有一个回路电流。i1i3uS1uS2R1R2R3ba+i2il1il2设回路电流为设回路电流为 il1、il2。支路电流支路电流 i1=il1，i2=il2-il1，i3=il2。回路电流法回路电流法：以回路电流为未知量列写电路方程分析电路以回路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。的方法。KCL自动满足自动满足i1i3uS1uS2R1R2R3ba+i2il1il2回路回路1：R1 il1+R2(il1-il2)-uS1+u
22、S2=0回路回路2：R2(il2-il1)+R3 il2-uS2=0整理得整理得(R1+R2)il1-R2il2=uS1-uS2-R2il1+(R2+R3)il2 =uS2 UR 降降=E升升电阻压降电阻压降电源压升电源压升i1i3uS1uS2R1R2R3ba+i2il1il2R11=R1+R2 代表回路代表回路1的总电阻（的总电阻（自电阻自电阻）R22=R2+R3 代表回路代表回路2总电阻（总电阻（自电阻自电阻）R12=-R2 ，R21=-R2 代表回路代表回路1和回路和回路2的公共电阻（的公共电阻（互电阻互电阻）uSl1=uS1-uS2 回路回路1中所有电压源电压升的代数和中所有电压源电压
23、升的代数和uSl2=uS2 回路回路2中所有电压源电压升的代数和中所有电压源电压升的代数和(R1+R2)il1-R2il2=uS1-uS2-R2il1+(R2+R3)il2 =uS2R11R22R21R12R11il1+R12il2=uSl1R21il1+R22il2=uSl2uSl1uSl2一般情况，对于具有一般情况，对于具有 l=b-(n-1)个回路的电路，有个回路的电路，有其中其中:Rkk:自电阻自电阻(为正为正)特例：不含受控源的线性网络特例：不含受控源的线性网络 Rjk=Rkj,系数矩阵为对称阵。系数矩阵为对称阵。R11i1+R12i2+R1l il=uSl1 R21i1+R22i2
24、+R2l il=uSl2Rl1i1+Rl2i2+Rll il=uSllRjk:互电阻互电阻 0 sllslslllllllluuuiiiRRRRRRRRR2121212222111211回路法的一般步骤：回路法的一般步骤：(1)选定选定l=b-(n-1)个独立回路，并确定其绕行方向；个独立回路，并确定其绕行方向；(2)以回路电流为未知量，列写其以回路电流为未知量，列写其KVL方程；方程；(3)求解上述方程，得到求解上述方程，得到l个回路电流；个回路电流；(5)检验检验(4)求各支路电流求各支路电流(用回路电流表示用回路电流表示)；例例1 用回路法求各支路电流。用回路法求各支路电流。解解(1)设
25、独立回路电流设独立回路电流 (顺时针顺时针)IaIbIc2216)316(cbaIII1422)122(cbaIII262)623(26 cbaIII(2)列列 KVL 方程方程+_I1I53+_I4 +21V6 1 2 2 14V2V2V3 I2I6I36V整理得整理得 61126122519610cbacbacbaIIIIIIIIIIaIbIc21V(3)求解回路电流方程，得求解回路电流方程，得Ia=3A,Ib=-1A,Ic=2A(4)求各支路电流：求各支路电流：I1=Ia=3A 对称阵，且互电阻为对称阵，且互电阻为负负,I2=Ib=-1A=-1A,I3=Ic=2A=2AI4=Ia-Ic=
26、1A,I5=Ib-Ic=-3A,I6=Ia-Ib=4A(5)校核校核选一新回路选一新回路+_I1I53+_I4 +6 1 2 2 14V2V2V3 I2I6I36V例例2.用回路法求含有受控电压源电路的各支路电流。用回路法求含有受控电压源电路的各支路电流。+_2V 3 U2+3U21 2 1 2 I1I2I3I4I5将将VCVSVCVS作独立源作独立源 建立方程；建立方程；(1)设回路电流设回路电流解解：IaIbIc(2)写回路方程写回路方程(1+3)Ia-3Ib=2-3Ia+(3+2+1)Ib-Ic=-3U2-Ib+(1+2)Ic=3U2U2=3(Ib-Ia)控制量用回路电流表示控制量用回路
27、电流表示。4Ia-3Ib=2-12Ia+15Ib-Ic=09Ia-10Ib+3Ic=0整理得：整理得：310911512034 +_2V 3 U2+3U21 2 1 2 I1I2I3I4I5IaIbIcIa=1.19AIb=0.92AIc=-0.51A(3)解方程得解方程得*由于含受控源，方程的系数矩阵一般不对称。由于含受控源，方程的系数矩阵一般不对称。+_2V 3 U2+3U21 2 1 2 I1I2I3I4I5IaIbIc(5)(5)校核校核:1 I1+2I3+2I5=2.(UR 降降=E升升 )(4)求各支路电流求各支路电流I4=Ib-Ic=1.43A,I5=Ic=0.52A.I1=Ia
28、=1.19AI2=Ia-Ib=0.27AI3=Ib=0.92A,例例3.列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。增加回路电流和电流源增加回路电流和电流源电流的关系方程。电流的关系方程。(R1+R2)I1-R2I2=US1+US2+Ui-R2I1+(R2+R4+R5)I2-R4I3=-US2-R4I2+(R3+R4)I3=-UiIS=I1-I3I1I2I3_+Ui_+_US1US2R1R2R5R3R4IS+方法方法1：设电流源电压为设电流源电压为Ui，方法方法2：选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅属于一个回路选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅属
29、于一个回路,该回路电流即该回路电流即 为为IS。I1=IS-R2I1+(R2+R4+R5)I2+R5I3=-US2R1I1+R5I2+(R1+R3+R5)I3=US1I1I2_+_US1US2R1R2R5R3R4IS+I3思考：思考：含理想受控电流源时含理想受控电流源时如何列方程？如何列方程？(1)对对含有并联电阻的电流源，可做电源等效变换：含有并联电阻的电流源，可做电源等效变换：IRIS+_RISIR转换转换(2)对含有受控电流源支路的电路，可先对含有受控电流源支路的电路，可先将受控源看将受控源看着独立源着独立源按上述方法列方程，再将控制量用回路按上述方法列方程，再将控制量用回路电流（或网孔
30、电流）表示。电流（或网孔电流）表示。说明：说明：回路电流法特点回路电流法特点 仅用到了仅用到了KVL，而隐含了，而隐含了KCL；方程数是方程数是B-N+1N-1 如果仅用到如果仅用到KCL，而将，而将KVL隐含起来呢？隐含起来呢？让我们再来分析一下让我们再来分析一下定义节点电位定义节点电位1nV2nV3nV1111nsVuiR1366nnVViR3555nsViiR 1222nnVViR233nViR2344nnVViR想法：如果先求出想法：如果先求出3个节点电位，则个节点电位，则6个支路电流容易求解个支路电流容易求解6R6i3R+-1 sU2R4R1R5R5si1i2i3i4i5i1 12
31、23 3再次列写再次列写KCL方程方程:1260iii代入并整理，得到代入并整理，得到:2340iii4560iii1231112131260nsnnnnVuVVVVRRR122232340nnnnnVVVVVRRR2331354560nnnnnsVVVVViRRR1231226311()nnnsGGGVG VG VuG21234243()0nnnG VGGGVG V614245635()nnnsG VG VGGGVi1232611122344264456350nsnnsGGGGGVGuGGGGGVGGGGGVi写成矩阵形式：写成矩阵形式：很有规律111213212223313233GGGGG
32、GGGG电导矩阵节点自导：节点自导：节点互导：节点互导：11G22G33G1221GG是对角占优的对称矩阵（不含受控源）是对角占优的对称矩阵（不含受控源）总为负值总为负值3-6 节点电压法节点电压法(node voltage method)选某一节点为参考节点，其它节点与此节点的参考电选某一节点为参考节点，其它节点与此节点的参考电压称压称节点电压节点电压。节点法或节点电压法是以节点电压为独立变量列电路节点法或节点电压法是以节点电压为独立变量列电路方程求解电路的一种方法。方程求解电路的一种方法。1.1.节点法节点法节点电压法的独立方程数为节点电压法的独立方程数为(n-1)个。与支路电流法个。与支
33、路电流法相比，相比，方程数可减少方程数可减少b-(n-1)个个。举例说明：举例说明：(2)列列KCL方程：方程：iR出出=iS入入i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3-i3-i4+i5=-iS3un1un2iS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4012(1)选定参考节点，标明其余选定参考节点，标明其余n-1个独立节点的电压个独立节点的电压代入支路特性：代入支路特性：S3S2S14n2n13n2n12n21n1iiiRuuRuuRuRuS35n24n2n13n2n1iRuRuuRuu 整理，得整理，得S3S2S1n243n14321)11()1111(iiiuRRuR
34、RRRS32n543n143)111()11(iuRRRuRR 令令 Gk=1/Rk，k=1,2,3,4,5上式简记为上式简记为G11un1+G12un2=iSn1G11un1+G12un2=iSn1标准形式的节点电压方程标准形式的节点电压方程。其中其中G11=G1+G2+G3+G4节点节点1的自电导，等于接在节点的自电导，等于接在节点1上上所有支路的电导之和。所有支路的电导之和。G22=G3+G4+G5 节点节点2的自电导，等于接在节点的自电导，等于接在节点2上所上所有支路的电导之和。有支路的电导之和。G12=G21=-(-(G3+G4)节点节点1与节点与节点2之间的互电导，等之间的互电导，
35、等于接在节点于接在节点1与节点与节点2之间的所有之间的所有支路的电导之和，并冠以负号。支路的电导之和，并冠以负号。iSn1=iS1-iS2+iS3流入节点流入节点1的电流源电流的代数和。的电流源电流的代数和。iSn2=-iS3 流入节点流入节点2的电流源电流的代数和。的电流源电流的代数和。*自电导总为正，互电导总为负。自电导总为正，互电导总为负。*电流源支路电导为零。电流源支路电导为零。*流入节点取正号，流出取负号。流入节点取正号，流出取负号。由节点电压方程求得各节点电压后即可求得个支路电由节点电压方程求得各节点电压后即可求得个支路电压，各支路电流即可用节点电压表示：压，各支路电流即可用节点电
36、压表示：un1un2iS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R40121n11Rui 2n22Rui 3n2n13Ruui 4n2n14Ruui 5n25Rui un1un2uS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4012+-若电路中含电压源与若电路中含电压源与电阻串联的支路：电阻串联的支路：S35n24n2n13n2n1iRuRuuRuu S3S24n2n13n2n12n21S1n1iiRuuRuuRuRuu整理，并记整理，并记Gk=1/Rk，得，得(G1+G2+G3+G4)un1-(G3+G4)un2=G1 uS1-iS2+iS3-(G3+G4)un1+(G1
37、+G2+G3+G4)un2=-iS3等效电流源等效电流源一般情况：一般情况：G11un1+G12un2+G1,n-1un,n-1=iSn1G21un1+G22un2+G2,n-1un,n-1=iSn2 Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+Gn-1,nun,n-1=iSn,n-1其中其中Gii 自电导，自电导，等于接在节点等于接在节点i上所有支路的电导之上所有支路的电导之和和(包括电压源与电阻串联支路包括电压源与电阻串联支路)。总为总为正正。*当电路含受控源时，系数矩阵一般不再为对称当电路含受控源时，系数矩阵一般不再为对称阵。且有些结论也将不再成立。阵。且有些结论也将不再成立。iSni 流入
38、节点流入节点i的所有电流源电流的代数和的所有电流源电流的代数和(包括包括由由电压源与电阻串联支路等效的电流源电压源与电阻串联支路等效的电流源)。Gij=Gji互电导，互电导，等于接在节点等于接在节点i与节点与节点j之间的所之间的所支路的电导之和，并冠以支路的电导之和，并冠以负负号。号。结点电压方程的推导过程结点电压方程的推导过程(2(2个结点个结点)V0 bV设：设：111RIEU111RUEI各支路电流分别为各支路电流分别为 ：111RUEI222RUEI33RUI 321IIIIS S对对a a 结点列电流方程：结点列电流方程：E1+-I1R1U+baE2+-I2ISI3E1+-I1R1R
39、2R3+U则有：则有：3211RUIRUERUES S2 2整理：整理：0321211)RURURU(IRERES S2 23212211111RRRIREREUS SRIREUS1一般表达式：一般表达式：（弥尔曼定理）（弥尔曼定理）(2(2个结点个结点)节点法的一般步骤：节点法的一般步骤：(1)选定参考节点，标定选定参考节点，标定n-1个独立节点；个独立节点；(2)对对n-1个独立节点，以节点电压为未知量，个独立节点，以节点电压为未知量，列写其列写其KCL方程；方程；(3)求解上述方程，得到求解上述方程，得到n-1个节点电压；个节点电压；(5)其它分析。其它分析。(4)求各支路电流求各支路电
40、流(用用节点电压节点电压表示表示)；用节点法求各支路电流。用节点法求各支路电流。例例1.UAUB20k 10k 40k 20k 40k+120V-240VUAUBI4I2I1I3I5解：解：20k 10k 40k 20k 40k 120V240VI4I2I1I3I520k 10k 40k 20k 40k 120V240VI4I2I1I3I5(1)列节点电压方程：列节点电压方程：UA=21.8V，UB=-21.82V(2)解方程，得：解方程，得：UAUBkUkUkkkBA20120101)101401201(kUkkkUkBA40240)401201101(101 I1=(120-UA)/20k
41、=4.91mAI2=(UA-UB)/10k=4.36mAI3=(UB+240)/40k=5.45mAI4=UB/40=0.546mAI5=UB/20=-1.09mA(3)各支路电流：各支路电流：20k 10k 40k 20k 40k 120V240VI4I2I1I3I5(4)校验：校验：I1=I3+I4+I5UAUB(1)先先把受控源把受控源 当作独立源看当作独立源看(2)用节点电压用节点电压 表示控制量。表示控制量。例例2.列写下图含列写下图含VCCS电路的节点电压方程。电路的节点电压方程。12iS1R1R3R2gmuR2+uR2_解解：1221211)11(snniURURR 222312
42、)11(1RmnnugURRUR 212nnRUUu 2112GG 讨论：有讨论：有R时方程如何列？时方程如何列？R试列写下图含理想电压源电路的节点电压方程。试列写下图含理想电压源电路的节点电压方程。方法方法1:设电压源电流为设电压源电流为I，(G1+G2)U1-G1U2=-I-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G4U3=0-G4U2+(G4+G5)U3=I U1-U3=USG3G1G4G5G2+_Us231I例例3增加一个节点电压增加一个节点电压与电压源间的关系方程与电压源间的关系方程方法方法2：选择合适的参考点选择合适的参考点G3G1G4G5G2+_Us231U1=US-G1U1+(G1
43、+G3+G4)U2-G3U3=0-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0SUGUGUGGG1332431)(SUGUGGGUG2353222)(n例列写图示电路的结点电压方程。例列写图示电路的结点电压方程。n例列写图示电路的结点电压方程。例列写图示电路的结点电压方程。313031123123123UUUUUUUUU 已知某电路的节点方程为：已知某电路的节点方程为：画出与之相应的一种可能的电路结构形式。画出与之相应的一种可能的电路结构形式。支路法、回路法和节点法的比较：支路法、回路法和节点法的比较：(2)对于非平面电路，选独立回路不容易，而独立节点对于非平面电路，选独立回路不容易，而独立节点较容易。较容易。(3)回路法、节点法易于编程。回路法、节点法易于编程。支路法支路法回路法回路法节点法节点法KCL方程方程KVL方程方程n-1b-(n-1)00n-1方程总数方程总数b-(n-1)n-1b-(n-1)b(1)方程数的比较方程数的比较
