1、 管网的优化设计，应该考虑到四个方面：管网的优化设计，应该考虑到四个方面：即即保证供水所需的水量和水压保证供水所需的水量和水压，水质安全水质安全，可靠性可靠性(保证事故时水量保证事故时水量)和和经济性经济性。管网技术经济计算管网技术经济计算就是以经济性为目标函就是以经济性为目标函数，而将其余的作为约束条件，据此建立数，而将其余的作为约束条件，据此建立目标函数和约束条件的表达式，以求出最目标函数和约束条件的表达式，以求出最优的管径或水头损失。优的管径或水头损失。管网技术经济计算主要是管网技术经济计算主要是在考虑各种设计在考虑各种设计目标的前提下，求出一定设计年限内，管目标的前提下，求出一定设计年
2、限内，管网建造费用和管理费用之和为最小时的管网建造费用和管理费用之和为最小时的管段直径或水头损失，也就是段直径或水头损失，也就是求出经济管径求出经济管径或经济水头损失。或经济水头损失。在进行技术经济计算之前，事先必须完成下列工作：在进行技术经济计算之前，事先必须完成下列工作：确定确定水源位置，完成管网布置，拟定泵站工作方案，选定控制水源位置，完成管网布置，拟定泵站工作方案，选定控制点所需的最小服务水头，算出沿线流量和节点流量等点所需的最小服务水头，算出沿线流量和节点流量等。管网建造费用管网建造费用中主要是中主要是管线的费用，与管材、管长和管径管线的费用，与管材、管长和管径有关有关，包括水管及其
3、附件费用和挖沟埋管、接口、试压、包括水管及其附件费用和挖沟埋管、接口、试压、管线消毒等管线消毒等施工费用施工费用。由于泵站、水塔和水池所占费用很。由于泵站、水塔和水池所占费用很小，一般忽略不计。小，一般忽略不计。管理费用管理费用中主要是供水所需中主要是供水所需动力费用动力费用。动力费用随泵站的。动力费用随泵站的流量和扬程而定，扬程则决定于控制点要求的最小服务水流量和扬程而定，扬程则决定于控制点要求的最小服务水头，以及输水管和管网的水头损失等。头，以及输水管和管网的水头损失等。水头损失又和管材、水头损失又和管材、管段长度、管径、流量有关管段长度、管径、流量有关。管网定线后，管网定线后，管段长度已
4、定，此时若选定管材，则管段长度已定，此时若选定管材，则建造费建造费用和管理费用仅决定于流量或管径。用和管理费用仅决定于流量或管径。在管网技术经济计算时，先进行流量分配，然后采用优化在管网技术经济计算时，先进行流量分配，然后采用优化的方法，写出以流量、管径的方法，写出以流量、管径(或水头损失或水头损失)表示的费用函数表示的费用函数式，求得最优解。式，求得最优解。第一节第一节 管网年费用折算值管网年费用折算值 目标函数和约束条件：目标函数和约束条件：头损失。制点的任一条管线的水于流量和管网起点到控为供水动力费用，取决第二项和折旧大修费用之和；全部管线的年费用折算上式中，第一项为管网则，分别等于：和
5、折旧大修费中，包括动力费每年管理费用。，则用为：每米长度管线的建造费管网每年管理费用。管网建造费用；管网年费用折算值；计算时的目标函数，术经济管理费用，它是管网技年计的管网建造费用和管网年费用折算值是按ij0ijijijij2ij0p121ijijijhHgQE76.801.0LbDat1100pWLbDa100pMhHgQE76.801.01000gQHE3652401.0MMMMLbDaCbDacMCWMtCW目标函数和约束条件目标函数和约束条件。失总和，的任一条管线的水头损从管网起点到控制点；水泵静扬程，；重力加速度，；水的密度，；网前水塔的管网为水塔的管网为水塔管网的输水管或无中型城市
6、可参照：网前供水能量变化系数。；投资偿还期，；管段长度，计；修费，以管网造价的每年扣除的折旧和大效率较低；，水泵功率小的泵站，泵站效率，一般为；二级泵站扬程，；输入管网的总流量，；电费，分；管径件而异；水管材料和当地施工条式中的系数和指数，随单位长度管线造价公mhmHs/81m.9ggL/1kg75.05.04.01.0atmL%p85.055.0mHs/LQkWh/Em,D,hHgQE76.801.0LbDat1100pWij02ijPijij0ijijba目标函数和约束条件目标函数和约束条件。费用折算值或目标函数上式为压力供水时的年则：时每年的电费（分）。，表示令，为常量，则：，上式中值或
7、目标函数如下：量部分，得年费用折算将上式简化，只取其变ijijij0pijijij00ijij0ijijijij0ijijhPQLbDt100pW1mHs/1LQgE76.8PhgQE76.8LbDt100pWgQHE76.8aLt100phgQE76.8gQHE76.8LbDt100paLt100p100WhHgQE76.801.0LbDat1100pWp压力供水时的目标函数压力供水时的目标函数目标函数和约束条件目标函数和约束条件ijij0ijijij0LbDt100pWhPQLbDt100pW数为：条件确定，这时目标函管网建造费用为最低的由充分利用位置水头使径仅项可略去不计，经济管动力费，
8、上式中的第二重力供水时，无需抽水p重力供水时的目标函数重力供水时的目标函数目标函数和约束条件目标函数和约束条件p约束条件约束条件 。：应大于最小服务水头任一节点的自由水压；许流速时的流量：管段流量应大于最小允回路矩阵，式中，环个能量方程：）（衔接矩阵，式中；，；节点，管段个连续性方程：）（约束条件：acacminjkijHHHH4qq3PLLL.21k0LhL2P1-JA1-J,.2,1iP.21j0QAq1-J1技术经济计算中的变量关系技术经济计算中的变量关系 技术经济计算中，未知量为管段流量技术经济计算中，未知量为管段流量q qijij和和管径管径D Dijij，这两者之间并没有直接的联系
9、，这两者之间并没有直接的联系，但是当管段但是当管段q qijij和和D Dijij已定时，水头损失值等已定时，水头损失值等于：于：h hijij=kqkqijijn nl lijij/D Dijijm m 因此年折旧费用因此年折旧费用W W0 0值可看作是值可看作是q qijij和和D Dijij 或或q qijij和和h hijij的函数，的函数，但但以应用流量以应用流量q qijij和水头损失和水头损失h hijij的关系来分析比较简便。的关系来分析比较简便。mijmijm2ijmijm1ijm1ijmnijm1ijij1ijnijmijlhqkD,2nlhqkDlhkqD则若技术经济计算
10、中的变量关系技术经济计算中的变量关系函数的极值。究值才为最小，为此须研损失），函数（经济管径和经济水头值为最小时和行分析。只有在求得还是最小值等，需要进时才有极值，是最大值和是否有极值，在何种至于目标函数经济计算的基础公式。上式是管网技，则：，带入取公式中的若00ijijijij0ijmmijmijm2ijm0ijmijijnijijmijijnijijijijij0WWhqhqW术hPQlhqbkt100pWD2nDlkqhDlkqh,hPQLbDt100pW技术经济计算中的变量关系技术经济计算中的变量关系经济管径。流量未分配时不得求得而不是最小，这就是说求得的极值为最大极大值），因此通过（
11、二阶导数小于零，有则，则得：，值，如取和根据一般的；和二阶导数分别为：配），则无约束的一阶作为变量（即流量未分看作是常数，变量例如两个变量，将其中一个和目标函数中包括0qW0qW4.033.533.56.12mm233.5m6.1mlhqbkmm2m2t100pqWlhqbkm2t100pqWqhhqhPQlhqbkt100pWij02ij02mmijmijm2m2ijm2ij02mmijmijmm2ijmij0ijijijijijmmijmijm2ijm0技术经济计算中的变量关系技术经济计算中的变量关系可以得求得经济管径。这就是说流量已分配时求得的极值为最小，极小值），因此通过（二阶导数大于
12、零，有则，则得：，值，如取和根据一般的；和二阶导数分别为：配），则无约束的一阶看作是常数（流量已分如将目标函数中的0qW0qW3.133.533.56.1mm33.5m6.1mlhqbkmmmt100phWPQlhqbkmt100phWqhPQlhqbkt100pWij02ij02mmijm2mijm2ijm2ij02mmijmmijm2ijmij0ijijmmijmijm2ijm0技术经济计算中的变量关系技术经济计算中的变量关系分配。也就是最不经济的流量值，的所得的流量相应于最大或水力坡度已定，由如管段的水头损失济管径。值的经济水头损失或经所得的是相应于最小流量已分配时，由的极小值。也就是说
13、就可求出目标函数即流量已分配时已知如各管段的流量0ij0ij0ij00ijW0qWhW0hWW,q技术经济计算中的变量关系技术经济计算中的变量关系 以图所示的一环管网来分析以图所示的一环管网来分析W W0 0值。值。如两条管段平均分配流量，即如两条管段平均分配流量，即Q Q1 1=Q=Q2 2=Q/2=Q/2，则得最大的则得最大的W W0 0值。值。如将全部流量如将全部流量Q Q分到一条管段，即分到一条管段，即Q Q1 1Q Q，Q Q2 20 0时，得到的时，得到的是最小的是最小的W W0 0值，这时环状网就转化成树状网。值，这时环状网就转化成树状网。对环状网流量分配的研究结果认为，对环状网
14、流量分配的研究结果认为，将环状网转化为树状将环状网转化为树状网时，才可得到最优的流量分配。网时，才可得到最优的流量分配。但是同一环状网，可以去除不同部位的管段而得到各种形但是同一环状网，可以去除不同部位的管段而得到各种形状的树状网，从这些不同的树状网中可选出最经济流量分状的树状网，从这些不同的树状网中可选出最经济流量分配的树状网。配的树状网。技术经济计算中的变量关系技术经济计算中的变量关系 从经济的观点，环状网的造价比树状网高，从经济的观点，环状网的造价比树状网高，可是为了供水的可靠性，不得不多花些费可是为了供水的可靠性，不得不多花些费用而采用环状网。用而采用环状网。对现有的对现有的和和m m
15、值，值，环状网只有近似而没有环状网只有近似而没有优化的经济流量分配优化的经济流量分配，只有树状网才有优，只有树状网才有优化的经济流量分配。所以目前管网计算时，化的经济流量分配。所以目前管网计算时，只有从实际出发，先拟定初始流量分配，只有从实际出发，先拟定初始流量分配，然后采取优化的方法求得经济管径。然后采取优化的方法求得经济管径。第二节第二节 输水管的技术经济计算输水管的技术经济计算p压力输水管的技术经济计算压力输水管的技术经济计算 下图所示的从泵站到水塔的压力输水管，由下图所示的从泵站到水塔的压力输水管，由1212、2323、3434、4545管段组成。管段组成。压力输水管的技术经济计算压力
16、输水管的技术经济计算m11nijm1nijijm1nijmnijm1m1mnijm1m1ijnijmij1mijijnijij1ij1mijijnijij1ijij0mijijnijijij0mijijnijijijijij0fQDfQqDbt100pmPkfffQqqQfqQbt100pmPkDQqbt100pmPkDDlmPQkqLbDt100p0DlmPQkqLbDt100pDWDlPQkqLbDt100pWDlkqhhPQLbDt100pW时，当输水管全线流量不变。种经济指标的综合参数经济因素，是包括多则，则对每一管段求导数，又，按式算值为最小的经济管径为求每一管段年费用折压力输水管的
17、技术经济计算压力输水管的技术经济计算最小的经济管径。求得的是年折算费用为或所以由，有极小值。则，通常则m11nijm1nijij2ij022mijijnijij2ij2ij021mijijnijij1ijij0mijijnijijij0fQDfQqD0DW,33.5m6.1DlPQkq1mmLbDt100p1DW0DlmPQkqLbDt100pDWDlPQkqLbDt100pW管径。求出输水管各段的经济按式值，即可用管段流量指标，算出经济因素根据当地各项技术经济m1nijijfQqDf压力输水管的技术经济计算压力输水管的技术经济计算p按每米长管线建造费按每米长管线建造费用公式用公式c=a+c=
18、a+bDbD中系中系数数a a值的求法：值的求法：将管径和造价的对应关将管径和造价的对应关系点绘在方格纸上，如系点绘在方格纸上，如右图，将各点连成光滑右图，将各点连成光滑曲线，并延伸到和纵坐曲线，并延伸到和纵坐标相交，交点处的标相交，交点处的D D0 0，则则c=ac=a。压力输水管的技术经济计算压力输水管的技术经济计算p每米长管线建造费用公式每米长管线建造费用公式c=a+c=a+bDbD中系数中系数b b，指数指数值的求法：值的求法：将将c=a+c=a+bDbD两边取对数，得两边取对数，得lglg(c-a)=(c-a)=lgblgb+lgDlgD,将对应的将对应的D D和和c-ac-a值绘在
19、双对数坐标纸上，值绘在双对数坐标纸上，则则c-ac-a与与D D成直线关系，如右图成直线关系，如右图所示。当所示。当D=1D=1时（时（lgDlgD=0=0），），lglg(c-a)=(c-a)=lgblgb，此时的此时的c-ac-a值就值就是是b b；直线的斜率就是直线的斜率就是。从而从而得出单位长度管线的建造费用得出单位长度管线的建造费用公式公式c=a+c=a+bDbD。重力输水管的技术经济计算重力输水管的技术经济计算 重力输水系统靠重力输水，不需要供水动重力输水系统靠重力输水，不需要供水动力费用，因此技术经济计算问题是求出利力费用，因此技术经济计算问题是求出利用现有水压用现有水压H(位置
20、水头位置水头)并使管线建造费用并使管线建造费用为最低的管径。为最低的管径。mijmmijmnijmmijijnijij0ijm1ijijnijijmijijnijijijij0hlqkbt100phlkqbLt100pWD,hlkqDDlkqhLbDt100pW算公式中，得：的式子带入到年费用折将，则又算值公式为：重力输水管的年费用折重力输水管的技术经济计算重力输水管的技术经济计算 重力输水管的优化设计就是在充分利用现有水压重力输水管的优化设计就是在充分利用现有水压条件下条件下(即输水管的总水头损失即输水管的总水头损失h hijij等于可利用等于可利用的水压的水压H)H)，求求W W0 0为最
21、小值时的水头损失或管径，为最小值时的水头损失或管径，可用拉格朗日条件极值法求解，于是问题转为求可用拉格朗日条件极值法求解，于是问题转为求下列函数的最小值下列函数的最小值(以以3 3条管段的输水管为例条管段的输水管为例)：F(h)=WF(h)=W0 0+(H+(Hh h1212 h h2323h h3434)为常数。为常数。W W0 0最小，最小，H Hh h1212 h h2323h h3434=0=0时，时，F(h)F(h)最小。最小。也就是说求得也就是说求得F(h)F(h)的最小值，也就是求得的最小值，也就是求得H=hH=h1212+h h2323+h+h3434=h hijij（充分利用
22、现有水压）条件下的充分利用现有水压）条件下的W W0 0最小值。最小值。重力输水管的技术经济计算重力输水管的技术经济计算 mmijmmijmnijmmm43mm43mn43m4-3mm32mm32mn32m3-2mm21mm21mn21m2-1ij4332210mijmmijmnijmmijijnijij0hlqbkt100pm0hlqbkt100pmhhF0hlqbkt100pmhhF0hlqbkt100pmhhFhhF,hhhHWhFhlqkbt100phlkqbLt100pW解得：零，得：的偏导数，并令其等于对求函数为常数，其中重力输水管的技术经济计算重力输水管的技术经济计算定各管段的直
23、径。常数。根据该式即可选即也为常数。为常数。则则也为常数。为常数，则为常数，值相同。，一般，输水管各管段的ijmnijijmnijmmmmijmnijmmijmnijmmijmnijmmijmnijmmijijmnijmmijijmnijmmijmmijmnijmmijmmijmnijmmmijmmijmnijmiqiqiqiqiqiqlhqhlqhlqhlqbkt100pmtpmkbhlqbkt100pm重力输水管的技术经济计算例题重力输水管的技术经济计算例题 重力输水管由重力输水管由1212和和2323两段组成。两段组成。l l1212=500m=500m，q q1212150L/s150
24、L/s；l l2323=650m=650m，q q232325L/s25L/s。起点起点1 1和终点和终点3 3的高差为的高差为H=HH=H1 1H H3 35m5m，求输水管各段的求输水管各段的管径。管径。0027.00065.015025iqqi0065.0i565015025i500iHliqqliHliiqqiiqiq5.0mn8.133.5m2niq21213232212121212121322121ijij2121323232322121ijmnij，得允许水力坡度：将已知数据带入上式得，则又有则有：，则，常数，重力输水管的技术经济计算例题重力输水管的技术经济计算例题。输水管总水头
25、损失为：，；，和实际水力坡度如下：，该例题所选用的管径得管径和实际水力坡度允许水力坡度，力坡度小于计算所得的水力计算表中的实际水中的水力计算表，控制常用资料册，查给水排水设计手算所得的允许水力坡度按照各管段的流量和计5mH3.74m0.0017636500.005182500h001763.0i250mmD005182.0i400mmD132322121重力输水管的技术经济计算例题重力输水管的技术经济计算例题 在选用管径时，在选用管径时，应取相近而较大的标准管径（使计算所得应取相近而较大的标准管径（使计算所得允许水力坡度大于水力计算表中的实际水力坡度），允许水力坡度大于水力计算表中的实际水力坡
26、度），以免以免控制点的水压不足，但是，为了有效地利用现有水压，整控制点的水压不足，但是，为了有效地利用现有水压，整条输水管中的一段或二段可以来用相近而较小的标准管径。条输水管中的一段或二段可以来用相近而较小的标准管径。从式从式(721)(721)可知，可知，流量较大的一段管径，水力坡度可较流量较大的一段管径，水力坡度可较大即水头损失可较大（使水力计算表中的实际水力坡度在大即水头损失可较大（使水力计算表中的实际水力坡度在小于计算所得的允许水力坡度的前提下较接近于计算所得小于计算所得的允许水力坡度的前提下较接近于计算所得的允许水力坡度，如管段的允许水力坡度，如管段1212），因而选用相近而较小的）
27、，因而选用相近而较小的标准管径（水力坡度越大，单位长度的水头损失就越大，标准管径（水力坡度越大，单位长度的水头损失就越大，所选择的管径就越小）；所选择的管径就越小）；流量较小的管段，水力坡度较小即水头损失较小（使水力流量较小的管段，水力坡度较小即水头损失较小（使水力计算表中的实际水力坡度在小于计算所得的允许水力坡度计算表中的实际水力坡度在小于计算所得的允许水力坡度的前提下较远离于计算所得的允许水力坡度，如管段的前提下较远离于计算所得的允许水力坡度，如管段223 3），可用相近而较大的标准管径（水力坡度越小，单位），可用相近而较大的标准管径（水力坡度越小，单位长度的水头损失就越小，所选择的管径就
28、越大）长度的水头损失就越小，所选择的管径就越大），目的，目的在于使输水管的总水头损失尽量接近于可利用的水压。在于使输水管的总水头损失尽量接近于可利用的水压。p起点水压未给的管网起点水压未给的管网 管网技术经济计算时，既可以求经济管径，管网技术经济计算时，既可以求经济管径，也可以求经济水头损失。实用上，求经济也可以求经济水头损失。实用上，求经济水头损失水头损失h hijij较为方便，而经济管径可从较为方便，而经济管径可从h hijij求得。求得。管网技术经济计算的原理，基本上和输水管网技术经济计算的原理，基本上和输水管相同，只是在求函数管相同，只是在求函数W W0 0的极小值时，还应的极小值时，
29、还应符合每环符合每环h h0 0的水力约束条件。的水力约束条件。第三节第三节 管网技术经济计算管网技术经济计算 以图所示的环状网为例，图中已表明节点流量、以图所示的环状网为例，图中已表明节点流量、管段流向和进入管网的总流量管段流向和进入管网的总流量Q Q，H H9 9为控制点的水为控制点的水压标高。压标高。管网的管段数管网的管段数P P1212，节点数节点数J J9 9，环数环数L L4 4。未未知的管段流量知的管段流量q qijij和水头损失和水头损失h hijij数各为数各为1212，共计，共计2424个未知量。个未知量。起点水压未给的管网起点水压未给的管网 因管网起点的水压标高因管网起点
30、的水压标高H H1 1未知，但控制点的水压未知，但控制点的水压标高标高H H9 9已知，因此有下列关系：已知，因此有下列关系：H H1 1HH9 9h h1919 式式h h1919中是指从节点中是指从节点1 1到控制点到控制点9 9任一条管线的任一条管线的水头损失总和。这里，水头损失须根据水流方向水头损失总和。这里，水头损失须根据水流方向采用正值或负值，如选定的管线为采用正值或负值，如选定的管线为1236912369，则式则式H H1 1HH9 9h h19 19 可表示为：可表示为：H H1 1=h=h1212+h+h2323+h+h3636+h+h6969+H+H9 9起点水压未给的管网
31、起点水压未给的管网p拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 要找函数要找函数Z=f(x,y)Z=f(x,y)在附加条件在附加条件(x,y)=0(x,y)=0下下的可能极值点，可以先构成辅助函数的可能极值点，可以先构成辅助函数F(x,y)=f(x,y)+(x,y)F(x,y)=f(x,y)+(x,y)，其中其中为某一为某一常数。求辅助函数对常数。求辅助函数对x x与与y y的一阶导数，并使的一阶导数，并使之为零，然后与方程之为零，然后与方程(x,y)=0(x,y)=0联立起来：联立起来：起点水压未给的管网起点水压未给的管网0,0,0,yxyxyxfyxyxfyyxx 本例中应用拉格朗日乘数法本例中应用拉格
32、朗日乘数法起点水压未给的管网起点水压未给的管网 济水头损失。联立，求解各管段的经及并使之为零，并与方程的一阶导数，函数对各管段水头损失就转化为，求上述辅助求经济水头损失的问题已知的约束条件。拉格朗日未定乘数；成辅助函数：下的可能极值点，先构及各环能量方程在附加条件，就是要找函数0HhhhhHf0hfhf,f,f,f,f,fffffWhF0HhhhhHf0hfHHPQHlhqbkt100pW9966332vL211HLijLijH43214321HH4433221109966332vL211HLijL91911mmijmijm2ijm0Hh 将上式中的辅助函数将上式中的辅助函数F(h)细化，得：
33、细化，得：起点水压未给的管网起点水压未给的管网 求辅助函数求辅助函数F(h)对水泵扬程对水泵扬程H1和各管段水头损失和各管段水头损失hij的偏导的偏导数，并令其等于零，得：数，并令其等于零，得：起点水压未给的管网起点水压未给的管网 由式（由式（726726），（），（727727），），（772929）消）消去去,H H 得：得：起点水压未给的管网起点水压未给的管网等，得简化方程组。，用同样方法也可以消去，则上式可简化为：，令vm4141m2121mmijmnijijmmmm21m21mn21mm41m41mn41mm21m21mn21mm41m41mn41m0AQhahalqakbt100p
34、mPA0Qkbt100pmPlhqlhq0PQlhqlhqkmbt100pmmmmmm 得简化方程组为：得简化方程组为：起点水压未给的管网起点水压未给的管网从上式看出，每一方程表示一个节点上的管段关系，例如节点从上式看出，每一方程表示一个节点上的管段关系，例如节点5 5的方程表的方程表示了该节点上管段示了该节点上管段2525，4545，5656，5858的关系。各节点方程的形式类的关系。各节点方程的形式类似于管网水力计算中节点流量平衡的条件，即包括了该节点上的全部管段，似于管网水力计算中节点流量平衡的条件，即包括了该节点上的全部管段，并且在并且在流向该节点的管段前标以负号，离开该节点的管段标以
35、正号流向该节点的管段前标以负号，离开该节点的管段标以正号，所以，所以称为称为节点方程节点方程。节点方程共有节点方程共有J1J1个（个（9-1=89-1=8个，无控制点个，无控制点9 9的节点方程），加上的节点方程），加上L L个能量个能量方程方程h hijij0 0，共计共计P PJ+L1J+L1个方程，可以求出个方程，可以求出P P个管段的水头损失个管段的水头损失h hijij。为求各管段的经济水头损失为求各管段的经济水头损失hij值，须解上值，须解上述非线性方程，比较简单的解法说明如下。述非线性方程，比较简单的解法说明如下。将上式各项除以将上式各项除以A，得：得：起点水压未给的管网起点水压
36、未给的管网.0hahaha0Qhaham5252m3232m2121m4141m2121AAAAAmmmmm0 x0 xxx0QxQxQx21x1xx0Q-QxQx142710 x1QxQxQxhaij523221523221ij41214121ijijijijm或，：其余节点，例如节点或，）：的节点可概括为：起点（图中之间，则式值在时，各管段的为总流量虚流量，当通过管网的可称为的比例。总流量用以表示该管段流量占表示，用设Amijij 经济水头损失公式经济水头损失公式起点水压未给的管网起点水压未给的管网mmmmijmnijmmijmmmmijmnijijmmijmmmmijmnijijijmm
37、ijmnijmmmijmnijijmmmmijmnijmijijmijQxlqQxlqhQxlqhQxlqhlqQxhQhlqQhaxQxhaPxAAAAAAAAmijmijmijmijijmijij：则经济水头损失公式为，则。由于数等于管段数未知的虚流量 经济管径公式经济管径公式起点水压未给的管网起点水压未给的管网管段流量。进入管网的总流量；。则有：带入。将，则，又由于由于两式联立得：又有ijm1nijijijm1nijijmmm1nijijm1m1ijmmmmmmmmmm1nijijmmm1nijijm1m1ijm1m1m1ijmnijm1ijmmmmmmijmnmijmijmmmmnij
38、mmijmnijmijmmmmijijmnijmijijnijmijijnijijmmmmijijmnijmmijmmmmijmnijijqQQqfxDQqAxkQqxkDAkfAkffkAbt100pmPkfkbt100pmPkkbt100pmPAQqAxkQqxkDQxqkDQxkqDQkqxqDQxlqDlqkDlqkhQxlqQxlqhAAAAAAAA 经济管径公式经济管径公式起点水压未给的管网起点水压未给的管网上式即为起点水压未给时或需求出二级泵站扬程上式即为起点水压未给时或需求出二级泵站扬程时的环状网经济管径公式。时的环状网经济管径公式。压力输水管时压力输水管时，因此时各管段，因此
39、时各管段x xijij=1=1，沿线流量有输出即沿线流量有输出即QQq qijij，则则D Dijij=(fQq=(fQqijijn n)1/+m1/+m；沿线无流量输出时沿线无流量输出时Q=Q=q qijij，则则D Dijij=(fQ=(fQn+1n+1)1/+m1/+m。经济水头损失及经济管径公式经济水头损失及经济管径公式起点水压未给的管网起点水压未给的管网上述两式即为起点水压未给的管网的经济水头损上述两式即为起点水压未给的管网的经济水头损失和经济管径计算公式。失和经济管径计算公式。上述两式中已按照上述两式中已按照q qi i+q qijij=0=0的条件分配流量而得的条件分配流量而得q
40、 qijij，A A、f f和和Q Q也是已知值，也是已知值，因此在求各管段的经因此在求各管段的经济水头损失或经济管径时，只须求虚流量济水头损失或经济管径时，只须求虚流量x xijij值。值。起点水压未给的管网起点水压未给的管网p虚流量虚流量xij值的求解值的求解的方程。流量为已知，问题转为解虚和长度因各管段的流量条件：因此上式只须满足以下，值相同，均为同一常数，由于各管段失应满足能量方程：每环中各管段的水头损ijijijmmijijmnijmmmmmmijijmnijijxlq0 xlqQ0QxlqhAA起点水压未给的管网起点水压未给的管网p虚流量虚流量xij值的求解值的求解ijmmijmm
41、ijmmijijmnijmmijijmmmmijijmnijijmmijijmnijmmijijmmijijmnijijmnijmmijijmnijmmijijmnijijijijijihQhQhhxlqxShQxlqhxlqxShhxlqSlq0 xlq0 xlq0 x1x0h0qqAAA倍，即：的是经济水头损失可以看出，虚水头损失和比较表示，得：损失，以称为虚水头表示，称为虚阻力，用中的应地将式失平衡的条件，因此相看作是每环内虚水头损将式条件，虚流量的节点流量平衡的关系，看成是，其余节点网起始节点的条件相对照，可将管（能量方程）（节点方程）和足与管网水力计算时须满起点水压未给的管网起点水压
42、未给的管网p虚流量虚流量xij值的求解值的求解求虚流量求虚流量x xijij须先进行流量分配（分配时虚须先进行流量分配（分配时虚流量方向和实际流量分配时相同，除起点流量方向和实际流量分配时相同，除起点外（外（x xijij =1=1），），其余节点应符合其余节点应符合x xijij =0=0 的条件）；的条件）；按虚流量进行计算，计算时应同时满足按虚流量进行计算，计算时应同时满足x xijij =0=0（虚节点方程）和虚节点方程）和hh=0=0（虚能虚能量方程）的条件；量方程）的条件；计算虚流量计算虚流量x xijij的校正流量的校正流量x xijij，对初分虚对初分虚流量进行校正，直至达到需
43、要精度为止。流量进行校正，直至达到需要精度为止。起点水压未给的管网起点水压未给的管网p虚流量虚流量xij值的求解值的求解虚流量虚流量x xijij的校正流量的校正流量x xijij的求解的求解m2mijijmnijmmijijmnij1mmijijmnijijijmmijijmnijmmijij1-nijijiixlqmmxlqxlqmmhx,xlqxShqsnhq则：校正流量公式为：起点水压未给的管网起点水压未给的管网 求得各管段的虚流量求得各管段的虚流量xij后，带入下面两个后，带入下面两个公式，就可得到该管段的经济水头损失和公式，就可得到该管段的经济水头损失和经济管径。经济管径。起点水压
44、未给的管网起点水压未给的管网 以进入管网的总流量为以进入管网的总流量为1，初分虚流量，初分虚流量xij；虚流量虚流量xij满足满足起点起点x xijij =1=1，其余节点应符其余节点应符合合x xijij =0=0 的条件；的条件；按照管网平差的方法，进行各环水力计算，按照管网平差的方法，进行各环水力计算，计算各环虚闭合差，从而求出各环虚校正计算各环虚闭合差，从而求出各环虚校正流量；流量；m2mijijmnijmmijijmnij1mmijijmnijijijxlqmmxlqxlqmmhx起点水压未给的管网起点水压未给的管网 初分虚流量初分虚流量 虚虚校正流量，得校正一次以校正流量，得校正一
45、次以后的虚流量，重新进行水力计算，直至各环后的虚流量，重新进行水力计算，直至各环虚闭合差满足要求为止，得最终虚流量虚闭合差满足要求为止，得最终虚流量xij；求得各管段的最终虚流量求得各管段的最终虚流量xij后，带入下面两后，带入下面两个公式，就可得到该管段的经济水头损失和个公式，就可得到该管段的经济水头损失和经济管径。经济管径。起点水压已给的管网起点水压已给的管网 水源位于高地水源位于高地(例如蓄水库例如蓄水库)依靠重力供水的管网，或从现依靠重力供水的管网，或从现有管网接出的扩建管网，都可以看作是起点水压已给的管有管网接出的扩建管网，都可以看作是起点水压已给的管网。网。求经济管径时须满足每环求
46、经济管径时须满足每环h hijij0 0的水力条件和充分利用的水力条件和充分利用现有水压尽量降低管网造价的条件。现有水压尽量降低管网造价的条件。管网年费用折算公式中，管网年费用折算公式中，可略去供水所需动力费用一项可略去供水所需动力费用一项。例如图所示的重力供水管网，因管网起点例如图所示的重力供水管网，因管网起点1 1和控制点和控制点9 9的水的水压标高已知，所以压标高已知，所以1 1、9 9两点之间管线水头损失应小于或等两点之间管线水头损失应小于或等于所能利用的水压于所能利用的水压H HH H1 1H H9 9，以选定路线以选定路线1236912369为例，有下列关系：为例，有下列关系：H=
47、H=h hijij=h=h1212+h+h2323+h+h3636+h+h6969 本例中应用拉格朗日乘数法本例中应用拉格朗日乘数法起点水压已给的管网起点水压已给的管网 济水头损失。联立，求解各管段的经及并使之为零，并与方程的一阶导数，函数对各管段水头损失就转化为，求上述辅助求经济水头损失的问题已知的约束条件。拉格朗日未定乘数；成辅助函数：下的可能极值点，先构及各环能量方程，在附加条件就是要找函数0hhhhHf0hfhf,f,f,f,f,fffffWhFHH0hhhhHf0hflhqbkt100pW966332vL21HLijLijH43214321HH44332211091966332vL2
48、1HLijL121ijmmijmijm2ijm0HH起点水压已给的管网起点水压已给的管网 起点水压已给的管网和起点水压未给的管起点水压已给的管网和起点水压未给的管网相比，数学推导过程相同。网相比，数学推导过程相同。差别在于，起点水压已给的管网，经济因差别在于，起点水压已给的管网，经济因素素f值不同于起点水压未给的管网。值不同于起点水压未给的管网。起点水压已给的管网起点水压已给的管网 起点水压已给的管网经济因素起点水压已给的管网经济因素f值的确定值的确定mmijmmmmmmijmmmmmmijmmmmijijmmmmijijijmmijijHhkQ1kQHhAkffQHhHhQHhQQhhHhH
49、Qhh为：时，环状网的经济因素由此得出起点水压已给则的关系式中，得：等于总水头损失代入可利用水压损失的关系：实际水头损失和虚水头AAAAA起点水压已给的管网起点水压已给的管网 起点水压已给的管网经济管径公式起点水压已给的管网经济管径公式mmijmmmmmmijmmm1nijijijijm1nijijm1ijm1nijijmmijijm1nijijijmmijmmmmmmijmmHhkQ1kQHhAkfbt100pmPkffQqfxDhqxHhkqxHhkD,QqfxDHhkQ1kQHhAkf不计动力费用起点水压已给的管网需；网需计入动力费用时，起点水压未给的管只是在求经济因素求经济管径，式是已
50、给的管网，均可用无论是起点水压未给或。各管段虚水头损失总和控制点的选定管线上，的值是指从管网起点到则代入将起点水压已给的管网起点水压已给的管网p起点水压已给的管网，在技术经济汁算时：起点水压已给的管网，在技术经济汁算时：先求出各管段的虚流量先求出各管段的虚流量x xijij;虚流量平差，平差方法和起点水压未给的管网相虚流量平差，平差方法和起点水压未给的管网相同；同；求出从管网起点到控制点的选定管线上虚水头损求出从管网起点到控制点的选定管线上虚水头损失总和失总和h hij，根据各管段分配的流量根据各管段分配的流量q qijij、最终最终虚流量虚流量x xijij以及可以利用的水压以及可以利用的水
