1、4 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构回顾：线性方程组的解的判定回顾：线性方程组的解的判定n包含包含 n 个未知数的齐次线性方程组个未知数的齐次线性方程组 Ax=0 有有非零解非零解的充的充分必要条件是系数矩阵的秩分必要条件是系数矩阵的秩 R(A)n n包含包含 n 个未知数的非齐次线性方程组个未知数的非齐次线性方程组 Ax=b 有解的充分有解的充分必要条件是系数矩阵的秩必要条件是系数矩阵的秩 R(A)=R(A,b)，并且，并且p当当R(A)=R(A,b)=n时，方程组有时，方程组有唯一解唯一解；p当当R(A)=R(A,b)n时，方程组有时，方程组有无限多个解无限多个解引言引言问题：问题
2、：什么是线性方程组的解的结构？什么是线性方程组的解的结构？答：答：所谓线性方程组的解的结构，就是当线性方程组有无限所谓线性方程组的解的结构，就是当线性方程组有无限 多个解时，解与解之间的相互关系多个解时，解与解之间的相互关系备注：备注：l当方程组存在唯一解时，无须讨论解的结构当方程组存在唯一解时，无须讨论解的结构l下面的讨论都是假设线性方程组有解下面的讨论都是假设线性方程组有解解向量的定义解向量的定义定义：定义：设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组 Ax=0，如果，如果x1=x x11，x2=x x21，.，xn=x xn1为该方程组的解，则为该方程组的解，则称为方程组的称为方程组的解向量解向
3、量11211nx xx xx xx x 齐次线性方程组的解的性质齐次线性方程组的解的性质性质性质1：若若 x=x x1，x=x x2 是齐次线性方程组是齐次线性方程组 Ax=0 的解，的解，则则 x=x x1+x x2 还还是是 Ax=0 的解的解证明：证明：A(x x1+x x2)=Ax x1+Ax x2 =0+0=0 性质性质2：若若 x=x x 是齐次线性方程组是齐次线性方程组 Ax=0 的解，的解，k 为实数，为实数，则则 x=kx x 还还是是 Ax=0 的解的解证明：证明：A(kx x)=k(Ax x)=k 0=0 结论：结论：若若 x=x x1,x=x x2,.,x=x xt 是
4、齐次线性方程组是齐次线性方程组 Ax=0 的解，的解，则则 x=k1x x1+k2x x2+ktx xt 还还是是 Ax=0 的解的解.结论：结论：若若 x=x x1,x=x x2,.,x=x xt 是齐次线性方程组是齐次线性方程组 Ax=0 的解，的解，则则 x=k1x x1+k2x x2+ktx xt 还还是是 Ax=0 的解的解.p已知齐次方程组已知齐次方程组 Ax=0 的几个解向量，可以通过这些解的几个解向量，可以通过这些解向量的线性组合给出更多的解向量的线性组合给出更多的解p能否通过能否通过有限个解向量的线性组合有限个解向量的线性组合把把 Ax=0 的解全部表的解全部表示出来？示出来
5、？p把把 Ax=0 的全体解组成的集合记作的全体解组成的集合记作 S，若求得，若求得 S 的一个的一个最大无关组最大无关组S0：x=x x1,x=x x2,.,x=x xt ，那么，那么Ax=0 的的通解可表示为通解可表示为 x=k1x x1+k2x x2+ktx xt p齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的程组的基础解系基础解系（不唯一）（不唯一）回顾：向量组的秩的概念回顾：向量组的秩的概念定义：定义：设有向量组设有向量组 A，如果在，如果在 A 中能选出中能选出 r 个向量个向量a1,a2,ar，满足，满足 向量组向量组 A
6、0：a1,a2,ar 线性无关；线性无关；向量组向量组 A 中任意中任意 r+1个向量（如果个向量（如果 A 中有中有r+1个向量的个向量的 话）都线性相关；话）都线性相关；向量组向量组 A 中任意一个向量都能由向量组中任意一个向量都能由向量组 A0 线性表示；线性表示；那么称向量组那么称向量组 A0 是向量组是向量组 A 的一个的一个最大无关组最大无关组向量组的最大无关组一般是不唯一的向量组的最大无关组一般是不唯一的基础解系的概念基础解系的概念定义：定义：齐次线性方程组齐次线性方程组 Ax=0 的一组解向量：的一组解向量：x x1 1,x x2 2,.,x xr如果满足如果满足 x x1 1
7、，x x2 2，.，x xr 线性无关；线性无关；方程组中任意一个解都可以表示方程组中任意一个解都可以表示x x1 1,x x2 2,.,x xr 的线性组合，的线性组合，那么称这组解是齐次线性方程组的一个那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系基础解系后后 n-r 列列 前前 r 列列 设设 R(A)=r，为叙述方便，为叙述方便，不妨设不妨设 A 行最简形矩阵行最简形矩阵为为对应的齐次线性方程组对应的齐次线性方程组令令 xr+1,xn 作自由变量，则作自由变量，则111,212,1,100010001000000000000000n rn rrr n rm nbbbbbbB 11111,2
8、2112,11,0,0,0.rn rnrn rnrrrr n rnxb xbxxb xbxxb xbx+11111,22112,11,.rn rnrn rnrrrr n rnxb xbxxb xbxxb xbx+111 11,1 1,11n rn rrrr n rn rrnn rxb cbcxb cbcxcxc +令令 xr+1=c1,xr+2=c2,xn=cn-r，则，则11121,12,11110000001n rrrr n rn rbbbbbbccc +齐次线性方齐次线性方程组的通解程组的通解11111221,22112222,1122,.rrn rnrrn rnrrrrrr n rnx
9、b xb xbxxb xb xbxxb xb xbx+记作记作 x=c1x x1+c2x x2+cn-rx xn-r（满足基础解系（满足基础解系）11121,21222,1,2,12(,)100010001n rn rrrr n rn rbbbbbbbbbx xxx xx n r 列列前前 r 行行后后 n r 行行故故 R(x x1,x x2,x xn-r)=n r，即即 x x1,x x2,x xn-r 线性无关线性无关（满足基础解系（满足基础解系）于是于是 x x1,x x2,x xn-r 就是齐次线性方程组就是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系的基础解系111 11,1 1,1122
10、n rn rrrr n rn rrrnn rxb cbcxb cbcxcxcxc+令令 xr+1=c1,xr+2=c2,xn=cn-r，则，则11121,12,11110000001n rrrr n rn rbbbbbbccc +线性方程组线性方程组的通解的通解11111221,22112222,1122,.rrn rnrrn rnrrrrrr n rnxb xb xbxxb xb xbxxb xb xbx+记作记作 x=c1x x1+c2x x2+cn-rx xn-r（满足基础解系（满足基础解系）12100010,001rrnxxx+11111221,22112222,1122,.rrn r
11、nrrn rnrrrrrr n rnxb xb xbxxb xb xbxxb xb xbx+此即为此即为 Ax=0 的基础解系的基础解系通解为通解为 x x=c1x x1+c2x x2+cn-rx xn-r 1,111122,22122,12,n rn rr n rrrrbxbbbxbbbxbb 11121,12,12,110000001n rrrr n rn rbbbbbbxxxxxx ，则，则令令定理：定理：设设 mn 矩阵的秩矩阵的秩 R(A)=r，则，则 n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组Ax=0 的解集的解集 S 的秩的秩 RS=n r 基础解系的求解基础解系的求解例：例：求齐次线
12、性方程组求齐次线性方程组 的基础解系的基础解系方法方法1：先求出通解，再从通解求得基础解系先求出通解，再从通解求得基础解系1234124123422023 0570 xxxxxxxxxxx+121210342301 012311570000rA134234 340 230 xxxxxx+1342343423xxxxxx +即即令令x3=c1，x4=c2，得通解表达式得通解表达式1122121211223142343423231001xccxccccccxcxcx xx x +因为因为 方程组的任意一个解都可以表示为方程组的任意一个解都可以表示为x x1,x x2 的线性组合的线性组合x x1,
13、x x2 的四个分量不成比例，所以的四个分量不成比例，所以 x x1,x x2 线性无关线性无关所以所以x x1,x x2 是原方程组的基础解系是原方程组的基础解系方法方法2：先求出基础解系，再写出通解先求出基础解系，再写出通解121210342301 012311570000rA134234 340 230 xxxxxx+1342343423xxxxxx +即即令令3410,01xx 1234,23xx 123423,1001xxxx 合起来便得到基础解系合起来便得到基础解系，得，得还能找出其还能找出其它基础解系它基础解系吗？吗？问题：问题：是否可以把是否可以把 x1 选作自由变量？选作自由
14、变量？答：答：可以，因为是否把系数矩阵化为行最简形矩阵，其实并可以，因为是否把系数矩阵化为行最简形矩阵，其实并不影响方程组的求解当两个矩阵不影响方程组的求解当两个矩阵行等价行等价时，以这两个矩阵时，以这两个矩阵为系数矩阵的齐次线性方程组同解为系数矩阵的齐次线性方程组同解121210342301 012311570000rA313221253(1)2121212122301230111576903121234102301230100000000rrrrrrrA+令令 x1=c1，x2=c2，得通解表达式得通解表达式121234102301 230111570000rA123124340230 x
15、xxxxx+3124123423xxxxxx+即即1122121122312412100134342323xcxcccccxccxcc +从而可得另一个基础解系：从而可得另一个基础解系：1和和 2 定理：定理：设设 mn 矩阵的秩矩阵的秩 R(A)=r，则，则 n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组Ax=0 的解集的解集 S 的秩的秩 RS=n r 例：例：设设AmnBnl=O（零矩阵），证明（零矩阵），证明R(A)+R(B)n 例：例：证明证明 R(ATA)=R(A)例：例：设设 n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax=0 与与Bx=0 同解，证明同解，证明R(A)=R(B)非齐次线性方程
16、组的解的性质非齐次线性方程组的解的性质性质性质3：若若 x=1，x=2 是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组 Ax=b 的解，的解，则则 x=1 2 是对应的齐次线性方程组是对应的齐次线性方程组 Ax=0（导出组）（导出组）的的解解证明：证明：A(1 2)=A 1 A 2 =b b=0 性质性质4：若若 x=是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组 Ax=b 的解，的解，x=x x 是是导出组导出组 Ax=0 的解，则的解，则 x=x x+还还是是 Ax=b 的解的解证明：证明：A(x x+)=Ax x+A =0+b=b 根据性质根据性质3 和性质和性质4 可知可知n若若 x=*是是 Ax=b 的
17、解，的解，x=x x 是是 Ax=0 的解，那么的解，那么 x=x x+*也也是是 Ax=b 的解的解n设设 Ax=0 的通解为的通解为 x x=c1x x1 1+c2x x2 2+cn-rx xn-r 于是于是 Ax=b 的通解为的通解为 =c1x x1 1+c2x x2 2+cn-rx xn-r+*例：例：求线性方程组求线性方程组 的通解的通解 1234124123422323 5570 xxxxxxxxxxx+解：解：容易看出容易看出 是方程组的一个特解是方程组的一个特解 其对应的齐次线性方程组为其对应的齐次线性方程组为根据前面的结论，导出组的基础解系为根据前面的结论，导出组的基础解系为
18、*1100 1234124123422023 0570 xxxxxxxxxxx+123423,1001xxxx 于是，原方程组的通解为于是，原方程组的通解为*112212341231100010cccc x xx x +小结：关于线性方程组小结：关于线性方程组n求解线性方程组（求解线性方程组（第三章第三章，利用矩阵的初等行变换），利用矩阵的初等行变换）n线性方程组的几何意义（线性方程组的几何意义（第四章第四章，四种等价形式），四种等价形式）齐次线性方程组的通解能由它的基础解系来构造齐次线性方程组的通解能由它的基础解系来构造n基础解系是解集基础解系是解集 S 的最大无关组的最大无关组n解集解集 S 是基础解系的所有可能的线性组合是基础解系的所有可能的线性组合1.非齐次线性方程组的通解与其导出组的基础解系的关系非齐次线性方程组的通解与其导出组的基础解系的关系.
