1、3 3 微积分的基本定理微积分的基本定理 定理定理3.13.1（Newton-LeibnizNewton-Leibniz公式）公式）注注(1)求定积分问题转化为求原函数的增量求定积分问题转化为求原函数的增量.,fxa b假假设设在在可可积积,.a bF x且且在在存存在在原原函函数数则则有有 =()()ababbaFfx dxFxF xbF a微积分基本定理微积分基本定理,a b对对于于区区间间等等分分的的分分割割：11()()()()niiiF bF aF xF x有有,n 将将上上式式两两边边由由定定积积分分的的定定义义得得到到证明证明()()()baf x dxF bF a01211:.
2、,niiaxxxxb xxn 11()()niiiiFxx 11()().niiiifxx 微积分基本定理微积分基本定理例例2 2 设设 ,求求 .215102)(xxxxf 20)(dxxf解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2,1上上规规定定当当1 x时时，5)(xf,102152dxxdx原原式式.6 xyo12例例1 1 求求 .)1sincos2(20 dxxx202sincosxxx 原式.23 解解微积分基本定理微积分基本定理(),设设在在上上可可积积f xa b()(),.xaF xf t dt 通通常常定定义义为为简简称称为为变变上上限限的的积积分分函函
3、数数变变上上限限函函数数00(,),xa bxxa b 对对于于00()()F xxF x 000lim()()0,xF xxF x 所所以以(),.F xxa xb 同同理理可可以以证证明明在在分分别别左左连连续续 右右连连续续0().F xx因因此此在在连连续续定理定理3.23.2证证00()xxxf t dt ()(),则则在在连连续续.xaF xf t dta b00()()xxxaaf t dtf t dt 由由于于max(),a x bf tx 注注微积分基本定理微积分基本定理(),f xa b设设在在上上连连续续000,xxxxx 由由于于介介于于之之间间，00(,),xa bx
4、xa b 对对于于0000()()()()xxxaaF xxF xf t dtf t dt ,.F xxa xb同同理理可可以以证证明明在在结结论论仍仍然然成成立立0000()()()xxxf t dtF xxF xxx 则则证明证明定理定理3.33.3()(),xaF xf t dt ()(),dF xf xxa bdx 则则00(),xxxf t dt 0(,).fxxxx 00()().F xf x由由上上面面得得到到000lim,.xxxx 因因此此微积分基本定理微积分基本定理 定理定理3.33.3证明了连续函数必有原函数证明了连续函数必有原函数,因此被称为因此被称为原函数存在定理原函
5、数存在定理,并且建立了微分和积分的内在并且建立了微分和积分的内在联系联系,实际上是两个互逆的过程实际上是两个互逆的过程.此定理被誉为此定理被誉为微微积分的基本定理积分的基本定理.12,(),(),f xa bxxa b 设设在在区区间间上上连连续续 且且在在上上可可导导定理定理3.43.4注：注：微积分基本定理微积分基本定理21()()()(),xxF xf t dt xa b 令令2221()()()(),.dFfxxfxxxa bdx 则则2120coslim.txxedtx求 1cos2xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx
6、 xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.解解例例3 3微积分基本定理微积分基本定理 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 0020()()()()()xxxf t dttf t dtFxfxf xft dtx 证证例例4 4 微积分基本定理微积分基本定理020()()()(),()xxf xxt f t dtFxf t dt)0(,0)(xxf,0)(0 xdttf0()()0,xt f t 且不恒为,0)()(0 xdttftx).0(0)(xxF故故)(xF在在),0(内内为为单单调调增增加加函函数数.微积分基本定理微积分基本定理3.微积分基本公式微积分基本公式1.积分上限函数积分上限函数 xadttfxF)()(2.积分上限函数的导数积分上限函数的导数)()(xfxF)()()(aFbFdxxfba 小结小结牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系之间的关系作业 习题6.3 1(2)(3)2(1)(3)467
