1、2 多角形映射公式5 基本公式6 实例2 基本公式基本公式黎曼定理保证了不是全平面的单连通区域与单位圆之间有保形映射.本节中研究多角形的内区域的映射公式.由于单位圆可映射成上半平面，为了便于应用对称原理，现研究多角形的内区域与上半平面之间的映射.设单叶函数w=f(z)及其反函数z=F(w)实现w平面上顶点按反时针方向依次为wk()(k=1,2,n)的简单多边形（即边界不相交的多边形)的内区域P与上半z平面之间的保形映射.由第六章边界对应定理7.2，w=f(z)及z=F(w)可以唯一地推广到多边形边界及实轴上，使其实现闭多边形与Im w0之间的连续双射.设xk时wk的象(x1x20保形映射成顶角
2、为保形映射成顶角为 k(0 k 2,k；k=1,2,3,n)的多角形的内区域的多角形的内区域P，而且，而且实轴上的点实轴上的点xk(-x1x2 xn0变为Im 0，且使x1,x2,x3,xn变为实轴上的有限点x1,x2,x3,xn.这时，由(5.5),将Im0映射为P的函数w=f()是在这里C及C1是复常数.在上面公式中作变换(5.6),注意到1+2+n=(n-2),我们有,d)()(1110CxCfnkkk 12-/)(111011)(CzdzzxxCwzznnkknnk,d)(11110CzxzCzznkkk (5.7)其中C及C1为复常数.这样，如果无穷远点对应于多角形P的一个顶点，那么
3、在公式(5.5)中，与这顶点对应的因子就没有了.6 实例实例在本段中，我们举例说明怎样应用多角形映射公式.例1 把上半平面Im z0保形双射为w平面上边长为2a的等边三角形ABC的内区域(图48).图48-101z平面CABOaaa3平面选择z平面上-1,0,1三点以A,B,C为象，那么所求的映射函数是.d)1()()1(3232132CttttCwz (6.1)设当z在(-1,0)上时，其中每一根式取主值.现决定C及C如下：由z=-1,w=-a，可见C=-a.又由z=0,w=a以及,d)1()()1(32320132ttttCaa可得sssCad)1(23221032uuuCd)1(2321
4、065,2131612C从而.31614aC例2 把上半平面Im z0保形双射成w平面上一个矩形A1A2A3A4的内区域(图49).图49-101z平面1/k-1/k-KBA1O-K+iKKK+iKA2A3A4uvw平面首先考虑z平面的第一象限到已给矩形内区域右边一半OA1A2B的保形映射，而使O,A1,B分别与0,1,相对应.设点A2由1/k映射而得，这里0k1.把这一映射按对称原理通过上半y轴开拓，就得到所求映射；由此可见，A3与-1/k相对应.因而所求映射可写成由z=0,w=0，可得C1=0.为了确定C及k，要用到z=1,w=k：zCkzzdzCw0122)1)(1(.)1)(1(012
5、22zCzkzdzC,)1)(1(10222tktdzCK (6.2)以及z=1/k,w=K+iK：kktktdzCKCCKK112221010)1)(1(ii(把从0到1/k的积分分成0到1以及从1到1/k两部分，并且利用等式(6.2).由此可得.)1)(1(11222ktktdzCK (6.3)由(6.2)及(6.3)可求出C及k.如果设k(0k0保形双射为w平面上的半带域-/2Re w0.本题实际上与第六章第8段的例4相同，但要把这例中z平面及w平面的地位相互交换.如图32，作映射，把z平面上-1,1及三点分别映射成为w平面上A,C及D()三点.由(5.7)，所求的映射是1111dCtttCwz1121dCttCz其中根式取主值.由z=-1,w=-/2,可见C1=-/2；又由z=1,w=/2，则有,221d112CttCw于是C=1.因此，我们得到21d12zttCw,arcsinz从而.sinwz 与过去所得结果一致.
