1、质点运动的描述质点运动的描述（在直角坐标系（在直角坐标系和自然坐标系）和自然坐标系）运动学的两类问题运动学的两类问题新内容新内容新内容新内容avr,牛顿第二定律的牛顿第二定律的描述（在直角坐描述（在直角坐标系和自然坐标标系和自然坐标系）系）动力学的两类问题动力学的两类问题积分微分积分微分问题问题切向切向法向法向加速加速度度难难点点兼兼重重点点描述机械运动的物理量线量线量：位置矢量位置矢量：位移位移：速度速度：加速度加速度：()rr t21rrr drvdtdvadt角量角量：角位置角位置：角位移角位移：角速度角速度：角加速度角加速度：()t21 ddtddt角量和线量之间的角量和线量之间的关系
2、：关系：22tnSrdsvrdtdvadtvarr 质点动力学质点动力学牛顿第二定律牛顿第二定律F=ma质点动量定理质点动量定理Fdt=d(mv)1、力对时间的累积、力对时间的累积冲量冲量2、动量定义：、动量定义：P=mv质点系动量定理质点系动量定理Fdt=dP动量守恒定律动量守恒定律 F=0 P=C1、力对空间的累积、力对空间的累积功功2、动能定义、动能定义质点系动能定理质点系动能定理功能原理功能原理 A外+A非保守内力=E-E0机械能守恒定律机械能守恒定律质点运动学的基本题型 1、已知运动方程已知运动方程 求质点在任意时刻的速度、加速度、切向加速求质点在任意时刻的速度、加速度、切向加速度、
3、法向加速度、任意时刻的位置以及轨道方程度、法向加速度、任意时刻的位置以及轨道方程等。等。2、已知质点的加速度（或速度）随时间的变化、已知质点的加速度（或速度）随时间的变化规律和初始条件（规律和初始条件（t=0 s时刻的初位矢时刻的初位矢r0和初速和初速度度v0），求质点在任意时刻的速度和运动方程。），求质点在任意时刻的速度和运动方程。这是积分问题，根据加速度的表示有三种情况：这是积分问题，根据加速度的表示有三种情况：对每种情况有不同的积分方法。对每种情况有不同的积分方法。()rr t();();()aa taa vaa r22yxrtttvtttrddddddddddddvvrr、；、22dd
4、,ddtratrv加速度速度v,v,v,r,r,r (1)不正确，以圆周运动为例：不正确，以圆周运动为例：xyt Ryxr 220,022 dtrdadtdrv结果不正确，做圆周运动的物体的速度和加速度显结果不正确，做圆周运动的物体的速度和加速度显然不为零然不为零2222,;,)2(dtrddtvdadtrddtvdadtrdvdtrdv 仍以圆周运动为例，仍以圆周运动为例，j tRi tRr sincos Rvvj tRi tRdtrdv ,cossinRaRdtdRdtdvan2,tRytRx sincos P1)(trSrx y z 0（3）由图可见，由图可见，为做曲线运动的质点的速度；
5、为做曲线运动的质点的速度；dtrddtrd为速度的大小，即速率；而为速度的大小，即速率；而0 dtdr所以，在圆周运动中，所以，在圆周运动中，既不是速度也不是速率，它是速度沿径向分量既不是速度也不是速率，它是速度沿径向分量的大小。的大小。dtdr P2)(ttr r r 0)(tr)(ttr v v 为速度大小的增量，为速度大小的增量，所以，所以，dtdv为加速度在速度方向上的分量，即为加速度在速度方向上的分量，即切向加速度切向加速度d vdt为物体的加速度矢量为物体的加速度矢量是加速度的大小是加速度的大小 P1)(trx y z 0（3）P2)(ttr )(tv)(ttv )(tv)(ttv
6、 v dvdt例例2、一个质点在平面上作曲线运动，它的速度矢量和加、一个质点在平面上作曲线运动，它的速度矢量和加速度矢量的夹角速度矢量的夹角始终保持不变。试证明它的速度大小始终保持不变。试证明它的速度大小可以表示为可以表示为式中式中是速度是速度v与与x轴的夹角，并且当轴的夹角，并且当=0时，速度时，速度v=v00()cot0vv e OxyPva解：如图所示，题设的条件可以表解：如图所示，题设的条件可以表示为：示为：costaacottnaa从而从而：而：而：代入得到：代入得到：22tnd vd v d sd vavd td s d td svdavd s2c o t1c o td vvd s
7、dvd sd vvd即分离变量并积分：分离变量并积分：得到：得到：0()cot0vv e 00cotvvdvdv hlv1v2对于相对运动问题，在计算相对速度和相对加速度时，应当对于相对运动问题，在计算相对速度和相对加速度时，应当首先明确研究对象和参考系的关系，即谁相对与谁，然后根首先明确研究对象和参考系的关系，即谁相对与谁，然后根据相关的矢量式求解。也可以根据矢量式画出矢量图来求解，据相关的矢量式求解。也可以根据矢量式画出矢量图来求解，这是一种简明有效的解题方法。这是一种简明有效的解题方法。例例3 3、一辆汽车在雨中沿直线行驶，其速率为、一辆汽车在雨中沿直线行驶，其速率为v1，雨滴下，雨滴下
8、落的速度方向偏与垂直方向之前落的速度方向偏与垂直方向之前角，速率为角，速率为v2。若车后。若车后有一长方形物体，如图所示。问车速至少多大时，此物有一长方形物体，如图所示。问车速至少多大时，此物体正好不会被雨水淋湿？体正好不会被雨水淋湿？分析：这是一个相对运动问题，把雨点作为研究对象，取地面为静分析：这是一个相对运动问题，把雨点作为研究对象，取地面为静止参考系，汽车为运动参考系。要使物体不淋湿，在车上观察雨止参考系，汽车为运动参考系。要使物体不淋湿，在车上观察雨点下落的方向（雨点相对于汽车运动速度的方向）应当满足点下落的方向（雨点相对于汽车运动速度的方向）应当满足=arctanl/h。解：雨滴相
9、对速度的矢量关系如图解：雨滴相对速度的矢量关系如图:则根据：则根据：由矢量图可以得到：由矢量图可以得到：221vvvvvv雨 车雨 地车 地有：v1V2v2122sinarctancosvvvhlv1v2而要使而要使则则所以所以arctanlh122sincosvvlvh12cos(sin)lvvh 例例4、讨论讨论物体受下述变力作用时，求加速度的解题思物体受下述变力作用时，求加速度的解题思路路（1）力是时间的函数）力是时间的函数F=F(t):一质量为一质量为m的质点的质点A受周期性受周期性外力外力F=F0cos t 的作用沿的作用沿x轴运动轴运动,其中其中F0、均为常量，均为常量，且且t=0
10、时静止于坐标原点时静止于坐标原点,求位置、速度与时间的关系。求位置、速度与时间的关系。加速度是时间的函数加速度是时间的函数a=a(t):即即a=(F0/m)cos t,dd00 tvtav txtvx00dd(2)力是位置的函数力是位置的函数F=F(x):一质量为一质量为m的质点的质点B沿沿x轴轴运动受力运动受力F=F0+kx 的作用的作用,其中其中F0、k均为常量，且均为常量，且B在在x=0处的速度为处的速度为v0,求求B的速度与坐标间的关系。的速度与坐标间的关系。思路：思路：加速度是位置的函数加速度是位置的函数a=a(x):即即a=(F0/m)+(k/m)x,vvxvvxaxvvtxxvt
11、va0dd,dddddddd0(3)力是速度的函数力是速度的函数F=F(v):一质量为一质量为m的轮船的轮船C在停在停靠码头之前关闭发动机这时的速率为靠码头之前关闭发动机这时的速率为v0，设水的，设水的阻力与轮船的速率成正比阻力与轮船的速率成正比,比例常数为比例常数为k，求发动，求发动机停机后机停机后,C所能前进的最大距离。所能前进的最大距离。思路：思路：加速度是速度的函数加速度是速度的函数F=F(v):F=-kv,a=-(k/m)vtmkvvvmkvatvvvdd,)(dd0 例例5、路灯距离地面高度为路灯距离地面高度为H，一个身高为，一个身高为h的人，在灯的人，在灯下水平路面上以下水平路面
12、上以v0匀速度步行，如下图所示，试求当人匀速度步行，如下图所示，试求当人与灯的水平距离为与灯的水平距离为x时，他的头顶在地面上的影子移动时，他的头顶在地面上的影子移动的速度的大小。的速度的大小。Hxv0hHxhxv0yx 解：建立如图坐标系，解：建立如图坐标系，t时刻头顶影子的坐标为时刻头顶影子的坐标为x+x，设头顶影子的移动速度为设头顶影子的移动速度为v v，则，则 由图中可以看出由图中可以看出：则有则有 0()d xxdxdxdxvvdtdtdtdtHhxxxhxxHh0hvdxdtHh所以有所以有000hvHvvvHhHhHxhxv0yx例例6、两个质量均为、两个质量均为m 的小球的小球
13、A和和B，用长度为，用长度为l的两根绳的两根绳子相连，如图所示。它们始终保持在同一个铅直面内以子相连，如图所示。它们始终保持在同一个铅直面内以恒定的角速度旋转，成为两个连在一起的圆锥摆。证明恒定的角速度旋转，成为两个连在一起的圆锥摆。证明A摆的摆线与铅直线间的夹角摆的摆线与铅直线间的夹角 小于小于B摆的摆线与铅直摆的摆线与铅直线间的夹角线间的夹角 。如果摆线与铅直线间的夹角很小，求摆。如果摆线与铅直线间的夹角很小，求摆的旋转角速度。的旋转角速度。解：两个摆球的受力情况如图所示解：两个摆球的受力情况如图所示：对对A摆有摆有：T2anGAT1AanT2GBB21212sinsinsin(1)cos
14、cos0(2)nTTmam lTTmg 对对B摆有摆有：222sin(sinsin)(3)cos0(4)nTmamlTmg122;coscosmgmgTT代入式（代入式（1）、（）、（3），可以消去），可以消去T1、T2，可以得到，可以得到：222 tantansin(5)tan(sinsin)(6)lglganT2GBB比较以上两个式子，可见比较以上两个式子，可见：2tantantan,tantan即 所以所以如果这两个夹角很小的话，则（如果这两个夹角很小的话，则（5 5）、（）、（6 6）可以简）可以简化为：化为：这个系数行列式等于零。这个系数行列式等于零。222(2)0()0lggllg
15、即即4224()2()0ggll 解得解得：2(22)22ggll，所以（）例例7、质量为、质量为m的小球，用一个劲度系数为的小球，用一个劲度系数为k的轻弹簧的轻弹簧1悬悬挂起来。当弹簧的伸长量超过临界长度挂起来。当弹簧的伸长量超过临界长度lc(lcmg/k)时，弹时，弹簧将被拉断。在小球下方再挂一根完全相同的弹簧簧将被拉断。在小球下方再挂一根完全相同的弹簧2。如。如果慢慢拉弹簧果慢慢拉弹簧2时，拉力缓慢增大，弹簧时，拉力缓慢增大，弹簧1先被拉断，快先被拉断，快拉时，拉力迅速增大，弹簧拉时，拉力迅速增大，弹簧2先被拉断。若作用于弹簧先被拉断。若作用于弹簧2的拉力的拉力F(t)=at，其中，其中
16、a是一个常量，以小球在平衡位置时是一个常量，以小球在平衡位置时作为计时起点。求两弹簧同时被拉断时，作为计时起点。求两弹簧同时被拉断时，a应满足的关系应满足的关系式。式。解：取弹簧原长时小球的位置为坐标原点解：取弹簧原长时小球的位置为坐标原点O，x轴竖直向下，如下图。轴竖直向下，如下图。则小球的平衡位置为则小球的平衡位置为x0=mg/k。拉力作用后，。拉力作用后，小球向下运动，设在任意时刻小球向下运动，设在任意时刻t，小球位于，小球位于x1处，处，x1也就是弹簧也就是弹簧1在在t时刻的伸长量。设此时刻的伸长量。设此时刻弹簧时刻弹簧2的伸长量为的伸长量为x2。则此时弹簧。则此时弹簧2作用作用于小球
17、的弹性力为于小球的弹性力为f2=kx2，方向向下，此力应，方向向下，此力应当等于拉力当等于拉力F(t)，即，即f2=kx2=F(t)=at，由牛顿第，由牛顿第二定律，小球的运动方程可以得到二定律，小球的运动方程可以得到：Oxx0 x1f1f2G22111122()()d xd xkF tmkxmgF txgdtdtmm ，即22112d xatxgdtm令令2=k/m，将，将F(t)代入，可以得到代入，可以得到：此方程对应的齐次方程的通解为此方程对应的齐次方程的通解为(c1cost+c2sint)，其，其中中c1、c2为两个任意常数，非齐次方程的特解为为两个任意常数，非齐次方程的特解为g/2+
18、at/k，所以方程的解为：，所以方程的解为：1122cossingatxctctk 常数常数c1、c2可以由初始条件确定。当可以由初始条件确定。当t=0时，小球位于时，小球位于x0=mg/k，初速度为零，所以有，初速度为零，所以有 c1=0，c2=-a/k，所，所以弹簧以弹簧1的伸长量的伸长量x1随时间随时间t 的变化规律为的变化规律为：由已知条件知道：由已知条件知道：12sinsingaaxttkkmgaattkkk2axtk 设在设在t0时刻两个弹簧同时被拉断，即在时刻两个弹簧同时被拉断，即在t0时刻时刻x1和和x2同时达到同时达到lc，所以有如下表达式：所以有如下表达式：即即将将 代入得
19、到：代入得到：2()sincccl kl kgaalkakakmsin()cklgakasin()cklkmgkamam 例例8、一个表面光滑的楔形物体，斜面长为、一个表面光滑的楔形物体，斜面长为l，倾角为，倾角为，质量为质量为m1，静止于一个光滑水平桌面上。今将一个质量，静止于一个光滑水平桌面上。今将一个质量为为m2的物体放在斜面顶端，让它自由滑下，如图所示。的物体放在斜面顶端，让它自由滑下，如图所示。求当物体滑到桌面时，楔形物体移动的距离和速度。求当物体滑到桌面时，楔形物体移动的距离和速度。m2m1分析：动量守恒定律适用于系统，系统选分析：动量守恒定律适用于系统，系统选择后，应当分清楚内力
20、和外力，只有当系择后，应当分清楚内力和外力，只有当系统的合外力为零时，系统的动量才守恒。统的合外力为零时，系统的动量才守恒。动量守恒定律只适用于惯性系，系统内各动量守恒定律只适用于惯性系，系统内各质点的速度都是相对于同一个惯性系。质点的速度都是相对于同一个惯性系。如果以物体和斜面作为系统，他们在水平如果以物体和斜面作为系统，他们在水平方向上不受外力，所以系统的水平分量动方向上不受外力，所以系统的水平分量动量守恒。另外，系统的机械能守恒，由此量守恒。另外，系统的机械能守恒，由此可以求出斜面的滑行速度。可以求出斜面的滑行速度。解：设楔形物体对地的速度为解：设楔形物体对地的速度为v1，方向向左；物体
21、，方向向左；物体m2对对地的速度为地的速度为v2，物体相对于楔形物体的速度为，物体相对于楔形物体的速度为u，注意：，注意：u的方向总是沿着斜面向下，如图。由于系统的水平方的方向总是沿着斜面向下，如图。由于系统的水平方向动量守恒，有向动量守恒，有 联立求得：联立求得：1 122210cosxxm vm vvuvv1v1uv2m22112cosmvumm 所以楔形物体向左移动的距离为：所以楔形物体向左移动的距离为：在物体运动过程中，由于机械能守恒，有在物体运动过程中，由于机械能守恒，有 上面两式联立，求得：上面两式联立，求得：210012212coscosttmsv dtudtmmmlmm2221
22、 12222221111sin222cosm glm vm vvvuv u而122221212122sin cos()(sin)m glvmmmm 例例9、ABC是一个有光滑弧形槽是一个有光滑弧形槽AC的木座，质量为的木座，质量为m1，放在光滑的水平桌面上。弧形槽放在光滑的水平桌面上。弧形槽AC在在C点与水平面正好点与水平面正好相切。相切。A点高出水平面的高度为点高出水平面的高度为h。今有一质量为。今有一质量为m2的的物体从顶端沿物体从顶端沿AC滑下，试求物体滑下，试求物体m2滑到滑到C点时的速度。点时的速度。BACm2m1h解：选解：选m1、m2为系统，此系统在为系统，此系统在水平方向不受外
23、力作用，所以在水平方向不受外力作用，所以在水平方向的动量守恒。设水平方向的动量守恒。设m2滑到滑到C点时的速度为点时的速度为v2，m1的速度为的速度为v1，且且v1和和v2的方向都沿水平方向，的方向都沿水平方向，有：有：1 1220mvm v221 12221122m vm vm gh联立上述方程求得：联立上述方程求得：12122m ghvmm又根据动能定理，有又根据动能定理，有BACm2m1h变质量问题变质量问题 这里所谓的变质量问题是指在运动的过程中主体排出或这里所谓的变质量问题是指在运动的过程中主体排出或者吸附一部分质量的问题，一般可以运用动量定理来处者吸附一部分质量的问题，一般可以运用
24、动量定理来处理理，具体方法，具体方法如下：如下：设在某时刻设在某时刻t主体质量为主体质量为m，速度为，速度为v，在，在dt时间内，吸时间内，吸附的物体为附的物体为dm，速度为，速度为u（相对于与（相对于与v相同的惯性系），相同的惯性系），因此在因此在t+dt时刻，主体的质量变为时刻，主体的质量变为m+dm，速度变为，速度变为v+dv，这样在这样在t到到t+dt时间内，系统的动量变化为：时间内，系统的动量变化为：忽略二阶小量忽略二阶小量dmdv，而，而u-v=vr为吸附前被吸附物质对于为吸附前被吸附物质对于运动主体相对速度，则有：运动主体相对速度，则有：()()()()dpmdm vdvmvdm
25、umdvdm uvdmdv 由动量定理由动量定理Fdt=dp可以得到：可以得到：这里这里F是运动主体以及吸附物所受的外力。对于排出质量问题，是运动主体以及吸附物所受的外力。对于排出质量问题，上式仍然适用，而上式仍然适用，而vr应理解为被排出的那部分物质在排出后相对应理解为被排出的那部分物质在排出后相对于运动主体的相对速度，这时于运动主体的相对速度，这时dm/dt0 例例9、雨滴在重力场中下落，下落过程中，水蒸气不断、雨滴在重力场中下落，下落过程中，水蒸气不断凝结为雨滴。如果视雨滴为球形，其质量增加率凝结为雨滴。如果视雨滴为球形，其质量增加率dm/dt正比于它的表面积，设开始时雨滴的半径近似为零
26、，试正比于它的表面积，设开始时雨滴的半径近似为零，试求雨滴下落的速度和加速度。求雨滴下落的速度和加速度。rdpmdvv dmrdvdmFmvdtdt 分析：这是一个变质量问题，不能用牛顿第二运动定律来求解，但是可用动量定理来求解。解：根据动量定理得到：解：根据动量定理得到：雨滴下落过程中受到重力作用，所以雨滴下落过程中受到重力作用，所以F=mg，吸附前水，吸附前水气是静止的，即气是静止的，即u=0，所以，所以vr=-v，代入上式得到：，代入上式得到：上面式子可以改写成：上面式子可以改写成：rdvdmFmvdtdtdvdmmgmvdtdt()(1)d mvmgdt 设水的密度为设水的密度为，则有
27、：，则有：将上式对时间求导得到：将上式对时间求导得到：由于由于dm/dt与雨滴的表面积成正比，即：与雨滴的表面积成正比，即：得到：得到：343mr24dmdrrdtdt2244dmdrrrdtdt(drkdt常数）所以所以：代入（代入（1 1）得到）得到：两边积分得到：两边积分得到：代入代入m的表达式可以得到的表达式可以得到：0tkdtr0dr34()3mkt34()()3d mvmgdtktgdt43434tmvk g44gvtga所以rkt方方向向例例10：一质量：一质量M的水桶，开始时静止，桶中装水的水桶，开始时静止，桶中装水m，以恒，以恒定作用力定作用力P将桶从井中提出，桶中水以不变速
28、率从桶中漏将桶从井中提出，桶中水以不变速率从桶中漏出，经出，经T时间后桶变空。求：变成空桶瞬时，桶速度等于时间后桶变空。求：变成空桶瞬时，桶速度等于多少？多少？PMm解：分离体解：分离体dm，相对速度为零，根据，相对速度为零，根据变质量问题可以得到：变质量问题可以得到：dvFmdt()mmPMmt g dtMmt dvTT000TTvPdtgdtdvmMmtT 讨论：当讨论：当m=0时，有如下式子时，有如下式子：lnPTMmvgTmM1ln/MmMPTvPTmgTPTgTgTMmM MM()M vPM g T这就是恒定质量时的动量定理。这就是恒定质量时的动量定理。方向方向 例例11、如图所示，
29、一个原长为、如图所示，一个原长为l0的轻弹簧上端固定，下端与物体的轻弹簧上端固定，下端与物体A相连，物体相连，物体A受一个水平恒力受一个水平恒力F的作用，沿光滑水平面由静止向的作用，沿光滑水平面由静止向右运动。若弹簧的倔强系数为右运动。若弹簧的倔强系数为k，物体，物体A的质量为的质量为m，则张角为，则张角为时（弹簧仍处于弹性限度内）物体的速度时（弹簧仍处于弹性限度内）物体的速度u等于多少？等于多少？Fl0A解：以物体、弹簧和地解：以物体、弹簧和地球为物体系。由于外力球为物体系。由于外力F做功，系统的机械能不做功，系统的机械能不守恒。设水平面上重力守恒。设水平面上重力势能为零。则物体由初势能为零。则物体由初始位置移动到末了位置始位置移动到末了位置时，外力时，外力F所做的功为：所做的功为：0tanAFl外 系统能量的变化为：系统能量的变化为：由功能原理得：由功能原理得：A外=E220011()2cos2lEklmu2200011tan()2cos2lFlklmu2200tan1(1)coslklmm解出u得：2F u=Fl0A方向方向
