1、|1、刚体：、刚体：rigid body 在力的作用下，大小和形状都在力的作用下，大小和形状都保持不变的物体称为刚体。（组成物体的所有质点保持不变的物体称为刚体。（组成物体的所有质点之间的距离始终保持不变）是一种理想模型。之间的距离始终保持不变）是一种理想模型。|2、刚体的平动：、刚体的平动：translation of a rigid body 刚体内所作的任何一条直线，始终保持和自刚体内所作的任何一条直线，始终保持和自身平行的运动。平动时，刚体上各点的运动轨迹都身平行的运动。平动时，刚体上各点的运动轨迹都相同，因此，刚体上一点的运动可代表整个刚体的相同，因此，刚体上一点的运动可代表整个刚体
2、的运动。运动。(刚体平动的运动规律与质点的运动规律相刚体平动的运动规律与质点的运动规律相同）同）3.1 刚体的平动、转动和定轴转动刚体的平动、转动和定轴转动|3、刚体绕定轴转动：、刚体绕定轴转动：rotation of a rigid body around a fix axis 转轴相对于参照系不动的转动称为定轴转动。转轴相对于参照系不动的转动称为定轴转动。刚体定轴转动的特点刚体定轴转动的特点刚体上各个质点都在做圆周运动刚体上各个质点都在做圆周运动,但但各质点圆周运动的半径不一定相同各质点圆周运动的半径不一定相同；各质点圆周运动的平面垂直于轴各质点圆周运动的平面垂直于轴,圆圆心在轴线上；心在
3、轴线上；各质点的矢径各质点的矢径,在相同的时间内转过在相同的时间内转过的角度是相同的角度是相同.1o2o1r2rAABBz|4、刚体的一般运动、刚体的一般运动刚体的一般运动可看作刚体的一般运动可看作是平动和转动的叠加是平动和转动的叠加|5、角速度矢量：、角速度矢量：angular velocity vectorrrv OvP ,rr定轴定轴刚体刚体 参考方向参考方向z刚体作定轴转动时，各质元刚体作定轴转动时，各质元的线速度、角加速度一般是的线速度、角加速度一般是不同的，但由于各质元的相不同的，但由于各质元的相对位置保持不变，所以描述对位置保持不变，所以描述各质元的角量，如角位移、各质元的角量，
4、如角位移、角速度、角加速度都是一样角速度、角加速度都是一样的。因此描述刚体的整体运的。因此描述刚体的整体运动时，用角量最为方便动时，用角量最为方便运动方程运动方程)(t角速度角速度dtd角加速度角加速度 22dtddtd角量与线量的关系角量与线量的关系rv ra 2ran例题：一飞轮以例题：一飞轮以n=1500r/min 的转速绕定轴作反时针转的转速绕定轴作反时针转动。制动后，飞轮均匀减速，经时间动。制动后，飞轮均匀减速，经时间t=50st停止转动。停止转动。求：求：角加速度角加速度 和从开始制动到静止，飞轮转过的转和从开始制动到静止，飞轮转过的转数数N；制动开始后制动开始后t=25s时飞轮的
5、角速度；时飞轮的角速度；设飞轮半设飞轮半径径R=1m，求，求t=25s时飞轮边缘上一点的速度和加速度。时飞轮边缘上一点的速度和加速度。a Ovna a解：解：50 20 n1 sradt 0 14.3505000 t1 sradradtt482550215050 21220 6252 N转转105.782550 sradt 15.78 smRv 2 RaRan 12216.6 smaaan 3.2.1 刚体的角动量刚体的角动量 转动动能转动动能 转动惯量转动惯量1、刚体的角动量、刚体的角动量angular momentum of a rigid body质点的角动量（对一给定点而言）质点的角动
6、量（对一给定点而言）vmrprL 刚体绕轴的角动量刚体绕轴的角动量即：即：JLz把质点的角动量推广为刚体的角动量把质点的角动量推广为刚体的角动量棒分成许多质点棒分成许多质点,第第i个质点对个质点对O点的角动量点的角动量)(iiiivmRL的大小的大小iLiiivmRLiiiiiiiizvrmvRmLLcoscos)(2iiiiiizzrmvrmLL沿沿Z轴分量轴分量iL方向如图所示方向如图所示iriRimoziL izLL刚体对刚体对OZ轴轴的转动惯量的转动惯量2、刚体的转动动能、刚体的转动动能rotational kinetic energy of a rigid body 刚体在转动时的动
7、能，应该是组成刚体的各质点刚体在转动时的动能，应该是组成刚体的各质点的动能之和。的动能之和。设刚体中第设刚体中第i个质点的质量为个质点的质量为 ，速度为，速度为 ，则该质点的动能是则该质点的动能是imiv22)(2121iiiiikrmvmE整个刚体的动能整个刚体的动能222)(2121iiiikrmvmE式中式中 正是刚体对转轴的转动惯量正是刚体对转轴的转动惯量J2iirm刚体的转动动能刚体的转动动能221JEk3、刚体的转动惯、刚体的转动惯量量rotational inertia(moment of inertia)2iirmJ dmrJ2质量连续分布时质量连续分布时转动惯量与下列三个因素
8、有关：转动惯量与下列三个因素有关：形状、大小相同的均匀刚体总质量越大，转动惯量越大。形状、大小相同的均匀刚体总质量越大，转动惯量越大。总质量相同的刚体，质量分布离轴越远，转动惯量越大。总质量相同的刚体，质量分布离轴越远，转动惯量越大。同一刚体，转轴不同，质量对轴的分布就不同，因而转动同一刚体，转轴不同，质量对轴的分布就不同，因而转动惯量不同。惯量不同。单位单位:2mkg体分布体分布 体密度体密度 dvdm 面分布面分布 面密度面密度 dsdm 线分布线分布 线密度线密度 dldm 例题例题:三个质量为三个质量为m的质点，的质点，A、B、C由三个长为由三个长为L的的轻杆相联结。求该质点系通过轻杆
9、相联结。求该质点系通过A点和点和O点，且垂直于点，且垂直于三个质点所在平面的转轴的转动惯量。三个质点所在平面的转轴的转动惯量。ABCO4、转动惯量的计算、转动惯量的计算 Calculation of moment of inertia解：解：231iiiArmJ 22220mLLmLmmJA 223)33(mLLmJo 可见，同一刚体对不同转轴的转动惯量是不同的，只可见，同一刚体对不同转轴的转动惯量是不同的，只有指出刚体对某一转轴的转动惯量才有明确的意义。有指出刚体对某一转轴的转动惯量才有明确的意义。2mdJJCO dxdm 例题例题 均匀杆质量均匀杆质量m,长长l，求杆对，求杆对O轴和轴和C
10、轴的转动惯量。轴的转动惯量。x dxxOl l23022313mlldxxdmxJlO 22/2/22121mldxxdmxJllC Cl2l2解：解：平行移轴定理平行移轴定理222031)2(121mllmmlJ 例题例题 均匀圆环均匀圆环 ：例题例题 均匀圆盘：均匀圆盘：240222122mRRrdrrdmrJR iiCmRRmJ22r m iC R2mRJC dsdmrdrds22Rm面密度面密度 半径为半径为R质量为质量为M的均匀圆盘联结一长为的均匀圆盘联结一长为L质量为质量为m的均匀直棒，写出刚体对的均匀直棒，写出刚体对O轴的转动惯量。（轴的转动惯量。（O轴垂轴垂直纸面）直纸面）Oo
11、mRMLoooJJJ21 222131)2(121mLLmmLJo 222)RL(21 MMRJo222)(2131RLMMRmLJo 3.2.2 力矩力矩 刚体转动定律刚体转动定律 FzFZ F Odr1、力矩、力矩Moment of force 力力F对对O点的力矩点的力矩FrMo 力力F对转轴对转轴OZ的力矩的力矩zF FFzF与转轴平行,不产生力矩dFrFMz sin在定轴转动中在定轴转动中,几个外力同时作用在刚体上时几个外力同时作用在刚体上时,合外力矩为合外力矩为iiiizzrFMM sin 式中正负号根据右手螺旋法则规定式中正负号根据右手螺旋法则规定dtdLdtJddtdJJMzz
12、 )(刚体所受到的对于给定轴的总外力矩等于刚体对刚体所受到的对于给定轴的总外力矩等于刚体对该轴的角动量的时间变化率该轴的角动量的时间变化率比较比较 JM maF 转动惯量表示刚体在转动过程中表现出的惯性转动惯量表示刚体在转动过程中表现出的惯性dtdLM dtpdmF 2、转动定律、转动定律law of rotationizzMM说明说明:*为合外力矩为合外力矩 瞬时性：瞬时性：二者同时存在，同时消失二者同时存在，同时消失,M 同轴性：同轴性：都是对同一确定轴而言都是对同一确定轴而言JM,转动定律的应用隔离物体，分析受力建立坐标，求力矩列出方程，求解应用：类似牛顿定律：应用：类似牛顿定律：刚体定
13、轴转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用1m2mrM例题：一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘例题：一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘,绳的两绳的两端分别悬有质量为端分别悬有质量为 和和 的物体，的物体，如图所，如图所示，设滑轮的质量为示，设滑轮的质量为m，半径为，半径为r，所受的摩擦阻力，所受的摩擦阻力矩为矩为 ，绳与轮之间无相对滑动。试求物体的加速，绳与轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。度和绳的张力。1m2m2Tgm2aa1Tgm11m2m1T2TrM解：解：受力分析如图受力分析如图 JMrTrTr 12amgmT111 amTgm222 ra 按牛顿运动定律和转动定律按牛顿运动定律和
14、转动定律可列出下列方程可列出下列方程从以上各式即可解得从以上各式即可解得mmmrMgmmrJmmrMgmmarr21)()(211222112 mmmrMgmmmagmTr21)212()(212111 mmmrMgmmmagmTr21)212()(211222 rmmmrMgmmrar)21()(2121 当不计滑轮质量当不计滑轮质量及摩擦阻力即令及摩擦阻力即令0 m0 rMgmmmmTT2121212 gmmmma1212 例题：一半径为例题：一半径为R，质量为，质量为m的均匀圆盘，放在粗糙的均匀圆盘，放在粗糙的水平面上。设盘与桌面间的摩擦系数为的水平面上。设盘与桌面间的摩擦系数为 ，令圆
15、，令圆盘最初以角盘最初以角 绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它将经过多长时间才停止转动？问它将经过多长时间才停止转动？0 drr d e解：取盘上一面积元解：取盘上一面积元 rdrdds erdrddm dmgdNdf rdfdM RmgRgedrrdegrdfdMMR 323232002 根据转动定律根据转动定律eRm2 dtdmRJRmg 22132 设盘经时间设盘经时间t停止停止 0002132 dRdtgt043 gRt df 质量为质量为M的匀质圆盘可绕通过盘心，垂直于盘面的匀质圆盘可绕通过盘心，垂直于盘面的固定光滑轴转动，绕过盘的边缘挂有质量为的固定光
16、滑轴转动，绕过盘的边缘挂有质量为m长为长为L的匀质柔软绳索，设绳与盘无相对滑动，求当盘两侧的匀质柔软绳索，设绳与盘无相对滑动，求当盘两侧绳之差为绳之差为s时，绳的加速度的大小。时，绳的加速度的大小。s2x1x 1T 2T 1Tagx 1 2Tagx 2 解：选长为解：选长为 、两段绳两段绳和绕着绳的盘为研究对象和绕着绳的盘为研究对象1x2xaxTgx 111 axgxT 222 Lm )21()(2221rrMrrTT Lxxrsxx 2121 ra LMmsmga)21(联立求解得联立求解得3.3 定轴转动的中的功能关系定轴转动的中的功能关系1、力矩的功：、力矩的功：work done by
17、 torqueiFi d dsirozP 表示作用在刚体上表示作用在刚体上P点的点的外力，当物体绕轴有一角位移外力，当物体绕轴有一角位移 时，力时，力 做的元功为做的元功为iF diF drFdsFrdFrdFdAiiiiiicoscoscos i sincos iiiirFM sin 因为因为 dMdAii dMAii 0 000)(MddMdMAAiiiiii设刚体从设刚体从 转到转到 ，则力，则力 作的功为作的功为0 iF所有外力的功（力矩的功）所有外力的功（力矩的功）式中式中 为刚体所受到的总外力矩为刚体所受到的总外力矩 iiMM 对于定轴转动刚体，所有内力的功总和在任何过对于定轴转动
18、刚体，所有内力的功总和在任何过程中均为零。（内力成对，大小相等方向相反，一对程中均为零。（内力成对，大小相等方向相反，一对内力矩的代数和为零；内力矩的代数和为零；内力矩的功总和为零。）内力矩的功总和为零。）MdtMddtdAp 力矩的功率力矩的功率2、转动动能定理、转动动能定理 rotational kinetic energy theorem dJMddA 21222121021 JJdJMdA ddJdtdddJdtdJJM 转动动能定理也与质点动力学中讲的动能定理相同，只转动动能定理也与质点动力学中讲的动能定理相同，只是动能的表示形式不同而己。是动能的表示形式不同而己。21222121m
19、vmvrdFA 3、刚体的重力势能、刚体的重力势能 一个不太大的刚体的重力势能和它的全部质量集中一个不太大的刚体的重力势能和它的全部质量集中在质心时所具有的势能一样。在质心时所具有的势能一样。cPmghE 如图所示，已知滑轮转动惯量为如图所示，已知滑轮转动惯量为J，半径为，半径为R，物体，物体的质量为的质量为m，弹簧的劲度系数为，弹簧的劲度系数为k，系统从静止释放，释，系统从静止释放，释放时弹簧无伸长。求物体下滑放时弹簧无伸长。求物体下滑x米时的速度。米时的速度。/JRm 光滑光滑解解:取物体取物体m、滑轮、弹簧和地、滑轮、弹簧和地球为系统，系统只有重力和弹球为系统，系统只有重力和弹力做功，机
20、械能守恒。力做功，机械能守恒。222212121sinkxJmvmgx Rv 2222121sinRJmkxmgxv 一均匀细棒，可绕通过其端点并与棒垂直的水平轴转一均匀细棒，可绕通过其端点并与棒垂直的水平轴转动。已知棒长为动。已知棒长为L，质量为，质量为m，开始时棒处于水平位置。，开始时棒处于水平位置。令棒由水平位置自由下摆，求：令棒由水平位置自由下摆，求：棒在任意位置时的角加棒在任意位置时的角加速度和角速度；速度和角速度；棒摆至铅直位置时重力矩所做的功。棒摆至铅直位置时重力矩所做的功。d OCCmg解：解：棒在任意位置时的重力矩棒在任意位置时的重力矩 cos2LmgM 因为因为 JM 23
21、1mLJ cos23LgJM ddJdtdddJdtdJJM 分离变量得分离变量得 Lddg31cos2 dmLdLmg231cos2 积分积分 003cos2dLdg261sin2 Lg Lg sin3 dLmgMddAcos2 所以所以2cos220LmgdLmgA 这功即是细棒重力势能的减少这功即是细棒重力势能的减少也可根据机械能守恒求角速度也可根据机械能守恒求角速度222312121sin2 mLJLmg Lg sin3 d OCCmg棒摆至铅直位置时重力矩所做的功棒摆至铅直位置时重力矩所做的功重力势重力势能零点能零点 o 一根细棒长为一根细棒长为L，总质量为，总质量为m，其质量分布与
22、离，其质量分布与离o点的距离成正比，现将细棒放在粗糙的水平桌面上，点的距离成正比，现将细棒放在粗糙的水平桌面上，棒可绕过其端点棒可绕过其端点o的竖直轴转动，已知棒与桌面间的的竖直轴转动，已知棒与桌面间的摩擦系数为摩擦系数为 ，棒的初始角速度为，棒的初始角速度为 ，求：，求：棒棒对给定轴的转动惯量；对给定轴的转动惯量；棒绕轴转动时受到的摩擦力棒绕轴转动时受到的摩擦力矩；矩；棒从棒从 到静止所经过的时间；到静止所经过的时间；棒转过一圈棒转过一圈后的角速度。后的角速度。0 0 rdr解：解：设棒的线密度为设棒的线密度为kr 2021kLkrdrdmmL rLmk22L2mkr 2 203222212
23、mLdrrLmdrrdmrJL 棒绕轴转动时受到的摩擦力矩棒绕轴转动时受到的摩擦力矩 ordrfrdrLgmdrgdmgdf22 drrLgmrdfdM222 mgLdrrLgmdMMLo 32222 棒从棒从 到静止所经过的时间到静止所经过的时间0 JJMM t 0 gLmgLmLMJt 43322102000 棒转过一圈后的角速度棒转过一圈后的角速度2022221212121232 mLmLmgLMA 20316 Lg3.4 定轴转动刚体的角动量定理和角动量定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律守恒定律1、定轴转动刚体的角动量定理、定轴转动刚体的角动量定理 angular momentu
24、m theorem of a rotational rigid body around a fix axis)(恒量刚体的 JdtJddtdJM)()(JdLddtM 122121)(JJJdMdttt 转动物体所受合外力矩的冲量矩等于在这段转动物体所受合外力矩的冲量矩等于在这段时间内转动物体角动量的增量时间内转动物体角动量的增量-角动量定理。角动量定理。所以所以 由转动定律由转动定律2、定轴转动刚体的角动量守恒定律、定轴转动刚体的角动量守恒定律law of conservation of angular momentum of a rotational rigid body around a
25、 fix axis 0 M恒矢量 JL若则122121)(JJJdMdttt 由角动量定理由角动量定理说说 明明 1、角动量定理和角动量守恒定律，不仅适用角动量定理和角动量守恒定律，不仅适用于宏观问题，也适用于原子、原子核等微观问于宏观问题，也适用于原子、原子核等微观问题，因此角动量守定律是比牛顿定律更为基本题，因此角动量守定律是比牛顿定律更为基本的定律。的定律。2、角动量定理和角动量守恒定律只适用于惯角动量定理和角动量守恒定律只适用于惯性系。性系。n 4、内力矩可以改变系统内部各组成部分的角动、内力矩可以改变系统内部各组成部分的角动量，但不能改变系统的总角动量。量，但不能改变系统的总角动量。
26、3、角动量保持不变、恒矢量：角动量保持不变、恒矢量：不变，不变，也不变也不变 变，变，也变，但也变，但 保持不变。保持不变。JJ J应用举例应用举例1、花样滑冰，芭蕾舞演员的表演：（绕通过重心、花样滑冰，芭蕾舞演员的表演：（绕通过重心的铅直轴高速旋转，由于外力（重力，支撑力）的铅直轴高速旋转，由于外力（重力，支撑力）对轴的矩总为零，角动量守恒，通过改变自身的对轴的矩总为零，角动量守恒，通过改变自身的转动惯量，来改变角速度）。转动惯量，来改变角速度）。2、直升飞机尾部竖直的尾翼（产生一反向角动量，、直升飞机尾部竖直的尾翼（产生一反向角动量，避免在水平面打转）避免在水平面打转）3、跳水运动员，跳马
27、（伸直，以初角速度起跳；、跳水运动员，跳马（伸直，以初角速度起跳；卷缩，减小卷缩，减小J，以增大角速度；伸直；入水时，以增大角速度；伸直；入水时J增增大了，减小角速度以保持竖直入水）大了，减小角速度以保持竖直入水）一质量为一质量为M的均匀圆盘正以角速度的均匀圆盘正以角速度 旋转着，今旋转着，今有一质量为有一质量为m，速度为，速度为v的铁钉，的铁钉，从正上方从正右从正上方从正右方嵌入圆盘边缘，则圆盘的角速度分别变为多少？方嵌入圆盘边缘，则圆盘的角速度分别变为多少？vvmmRMo 解：角动量守恒解：角动量守恒1222)mRMR21(MR21 m2MM1 22222)mRMR21(RvmRMR21
28、R)m2M(mv2MR2 A和和B两飞轮绕同一中心线转动，它们的转动惯量两飞轮绕同一中心线转动，它们的转动惯量分别为分别为 、，转动角速度分为，转动角速度分为 、，。C为摩擦啮合器。求：为摩擦啮合器。求：两轮啮合后的角速度；两轮啮合后的角速度；啮合啮合过程损失的能量；过程损失的能量；两轮各自所受的冲量矩。两轮各自所受的冲量矩。AJBJA B 0 B A ABC解：解：系统角动量守恒系统角动量守恒 )(BABBAAJJJJ BAAAJJJ )0(B 能量损失能量损失222)(212121 BABBAAJJJJE 冲量矩冲量矩 BABAAAAAJJJJJJdtM BABABBJJJJJdtM 0
29、质量分别为质量分别为 、，半径分别为，半径分别为 、的两的两均匀圆柱，可分别绕它们本身的轴转动，二轴平行。均匀圆柱，可分别绕它们本身的轴转动，二轴平行。原来它们沿同一转向分别以原来它们沿同一转向分别以 、的角速度匀速转的角速度匀速转动，然后平移两轴使它们的边缘相接触，求最后在接动，然后平移两轴使它们的边缘相接触，求最后在接触处无相对滑动时，每个圆柱的角速度。触处无相对滑动时，每个圆柱的角速度。1M2M1R2R10 20 1M2M1R2R10 20 1o2o对上述问题有以下解法：对上述问题有以下解法：在接触处无相对滑动时在接触处无相对滑动时两圆柱系统角动量守恒两圆柱系统角动量守恒由以上二式就可解
30、出由以上二式就可解出 和和 ，你对这种解法有何见解，你对这种解法有何见解？1 2 其中其中211121RMJ 222221RMJ 2211RR 2211220110JJJJ 解：原解解：原解式是认为系统的角动量为二圆柱各自对各自式是认为系统的角动量为二圆柱各自对各自的轴的角动量之和，这样的计算是错误的，因为系统的的轴的角动量之和，这样的计算是错误的，因为系统的总角动量只能对某一个轴进行计算，此外，二圆柱在各总角动量只能对某一个轴进行计算，此外，二圆柱在各自的轴处均受外力，因此不论对哪一个轴来说，这一系自的轴处均受外力，因此不论对哪一个轴来说，这一系统的合外力矩均不为零，所以系统的角动量是不守恒
31、的，统的合外力矩均不为零，所以系统的角动量是不守恒的，正确的解法是用角动量定理，设二圆柱接触处的一对切正确的解法是用角动量定理，设二圆柱接触处的一对切向摩擦力为向摩擦力为21ff 1011111 JJdtfR 2022222 JJdtfR 则有则有且有且有2211RR 211121RMJ 222221RMJ 联立以上各式可解出正确的解。联立以上各式可解出正确的解。1M2M1R2R10 20 1o2o如图，一长为如图，一长为 l,质量为质量为M的杆可绕的杆可绕支点支点O转动，一质量为转动，一质量为m，速率为，速率为 v0 的子弹，射入距支点为的子弹，射入距支点为a的杆内，的杆内，若杆的偏转角若杆
32、的偏转角=300，求子弹的初，求子弹的初速率速率 v0例题例题解：此题分两个阶段，解：此题分两个阶段，第一阶段第一阶段，子弹，子弹射入杆中，摆获得角速度射入杆中，摆获得角速度，尚未摆动，尚未摆动，子弹和摆组成的系统所受外力对子弹和摆组成的系统所受外力对O点的点的力矩为零，力矩为零，系统角动量守恒系统角动量守恒：)1()31(0)(220 maMlmva 第二阶段第二阶段，子弹在杆中，与摆一起，子弹在杆中，与摆一起摆动，以子弹、杆和地摆动，以子弹、杆和地地球组成的系统除保守内力外，其余力不作功，于是地球组成的系统除保守内力外，其余力不作功，于是系统系统机械能守恒机械能守恒：由（2）（3）（4）式
33、求得：)2()31(2121222mghMghmaMl 代入（1）式，得：其中：)3()cos1(21 lh)4()cos1(2 ah22223/)cos1()2(3/)cos1(22/)cos1(2maMlgmaMlmaMlmgaMgl gmaMlmaMlmav)cos1)(2)(3/(1220 解：以人和转盘组成的系统为研究对象，设人相对于转盘的解：以人和转盘组成的系统为研究对象，设人相对于转盘的速度为速度为 vr，转盘相对于固定铅直轴的角速度为，转盘相对于固定铅直轴的角速度为。当人走动。当人走动时，系统所受外力对铅直轴之矩为零，故对轴时，系统所受外力对铅直轴之矩为零，故对轴角动量守恒角动
34、量守恒：质量为质量为M、半径为、半径为R的转盘，可绕铅直轴无摩擦的转盘，可绕铅直轴无摩擦地转动。转盘的初角速度为地转动。转盘的初角速度为零。一个质量为零。一个质量为m的人，在转的人，在转盘上从静止开始沿半径为盘上从静止开始沿半径为r的的圆周相对转盘匀速走动，如圆周相对转盘匀速走动，如图。求当人在转盘上走一周图。求当人在转盘上走一周回到盘上的原位置时，转盘回到盘上的原位置时，转盘相对于地面转过了多少角度。相对于地面转过了多少角度。例题例题021)(22 MRrvmrr所以所以2221MRmrmrvr|设在设在 t内，盘相对于地面转过的角度为内，盘相对于地面转过的角度为trvMRmrmrtMRmr
35、mrvtrr 222222121|其中其中 为人相对于盘转过的角度，人走一周，为人相对于盘转过的角度，人走一周，则因此盘相对于地面转过的角度为：则因此盘相对于地面转过的角度为：2 trvrtrvr 222212MRmrmr AB一轻绳绕过一半径为，质量为一轻绳绕过一半径为，质量为m/4m/4的滑轮的滑轮。质量为。质量为mm的人抓住绳的端，而绳的端系了一的人抓住绳的端，而绳的端系了一个质量为个质量为m/2m/2的重物。求人相对于绳匀速上爬时，的重物。求人相对于绳匀速上爬时，重物上升的加速度。重物上升的加速度。选人、滑轮与重物为系统，所受的选人、滑轮与重物为系统，所受的外力矩为外力矩为解解：（方法
36、一）：（方法一）mgRmgRmgRM2121 设设u u为人相对绳的匀速度，为人相对绳的匀速度，v v为重物上升的速为重物上升的速度。则系统对轴的角动量为度。则系统对轴的角动量为mRumRvRmRvumvRmL 813)421()(22 根据角动量定理根据角动量定理dtdLM 既既dtdumRdtdvmRmRumRvdtdmgR 813)813(21因因0 dtdu故有故有gdtdva134 （方法二）方法二）1T2T2Tgm2a1Tmga滑轮滑轮 221421)(RmJRTT 物物amgmT222 人人maTmg 1 Ra 解得解得ga134 质点的直线运动(刚体的平动)刚体的定轴转动速度角
37、速度加速度角加速度匀速直线运动匀角速转动匀变速直线运动匀变速转动dtdsv dtd dtdva dtd vts t tavv 0 20 21tatvs asvv2202 t 0 20 21tt 2202 现将平动和转动的一些重要公式列表对照现将平动和转动的一些重要公式列表对照力F,质量m牛顿第二定律 F=ma力矩M，转动惯量J转动定律 动量 mv,冲量 Ft（常量）动量定理 角动量 J ,冲量矩Mt(常力矩)角动量定理 动量守恒定律角动量守恒定律平动动能常力的功动能定理转动动能常力矩的功动能定理 0 JJMt 0mvmvFt 常量常量mv 常量常量 J221mvFsA )(2121202常力常力mvmvFs 221 J MA )(2121202常力矩常力矩 JJM JM
