1、一、掌握描述波动各物理量一、掌握描述波动各物理量(特别是相位特别是相位)的的 物理意义及其物理意义及其 各量之间的相互关系。各量之间的相互关系。二、理解机械波产生的条件；掌握平面简谐波的波动方程二、理解机械波产生的条件；掌握平面简谐波的波动方程 及其物理意义；理解波形曲线；了解波的能量传播特及其物理意义；理解波形曲线；了解波的能量传播特 征及能流、能流密度概念。征及能流、能流密度概念。三、了解惠更斯原理和波的叠加原理，理解波的相干条件，三、了解惠更斯原理和波的叠加原理，理解波的相干条件，能用相位差和波程差分析确定相干波叠加后振幅加强能用相位差和波程差分析确定相干波叠加后振幅加强 和减弱的条件。
2、和减弱的条件。四、理解驻波及其形成的条件，了解驻波和行波的区别。四、理解驻波及其形成的条件，了解驻波和行波的区别。五、了解多普勒效应。五、了解多普勒效应。第第2章章 波波 动动 学学 基基 础础1 平面简谐波的描述平面简谐波的描述2 波的能量波的能量3 惠更斯原理惠更斯原理(了解了解)4 波的叠加波的叠加5 驻波驻波6 群速度群速度(不考不考)7 多普勒效应多普勒效应(不考不考)1 平面简谐波的描述平面简谐波的描述一、波的产生一、波的产生二、波面二、波面 波射线波射线三、平面三、平面 S.H.W.的传播的传播四、平面四、平面 S.H.W.的表达式的表达式五、平面五、平面 S.H.W.的复数表示
3、法的复数表示法六、平面波动方程的微分形式六、平面波动方程的微分形式 波动波动 振动在空间的传播过程。振动在空间的传播过程。声波、水波、电磁波都是物理学中常见的波，它声波、水波、电磁波都是物理学中常见的波，它对应一种物质波。波即可以是运动状态的传递对应一种物质波。波即可以是运动状态的传递 (而而非物质的自身运动非物质的自身运动)，也可以是物质本身的运动结果，也可以是物质本身的运动结果，甚至把波直接看作一种粒子。甚至把波直接看作一种粒子。各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，例如声波需要介质才能传播，电磁波却可在真空中例如声波需要介质才能传播，电磁波却
4、可在真空中传播，而光波有时可直接把它看作粒子传播，而光波有时可直接把它看作粒子 光子的光子的运动。运动。一、波的产生一、波的产生1.机械波产生的条件机械波产生的条件 振源振源 弹性介质弹性介质A真空真空2.电磁波电磁波 只需振源只需振源 可在真空中传播可在真空中传播3.物质波物质波 物质的固有性质物质的固有性质振源振源A振动通过振动通过弹性力传播开去弹性力传播开去机械波的传播机械波的传播二、二、波面波面 波射线波射线1.横波横波 纵波纵波横波：横波：各振动方向与波传播方向垂直各振动方向与波传播方向垂直纵波：纵波：各振动方向与波传播方向一致各振动方向与波传播方向一致x横波横波纵波纵波u任一波任一
5、波(如水波、地表波如水波、地表波)都能分解为横波与纵波进行研究。都能分解为横波与纵波进行研究。横波横波:振动方向振动方向传播方向传播方向的波。的波。纵波纵波:振动方向振动方向传播方向传播方向的波。的波。v 固体中的波源可以产生横波和纵波。固体中的波源可以产生横波和纵波。v 液体和气体中的波源只能产生纵波。液体和气体中的波源只能产生纵波。v 水面波既不是纵波，也不是横波。水面波既不是纵波，也不是横波。水表面的波水表面的波既非横波又既非横波又非纵波非纵波波速波速x波形图：波形图：某时刻某时刻 各点振动的位移各点振动的位移 y (广义：任一物理量广义：任一物理量)与相应的平衡位置与相应的平衡位置坐标
6、坐标 x 的关系曲线的关系曲线yu某时刻某时刻思考：思考：上述波形图表示的波一定是横波吗？上述波形图表示的波一定是横波吗？结论：结论：(1)(1)质元并未质元并未“随波逐流随波逐流”波的传播不是媒质质波的传播不是媒质质元的传播元的传播 (2)“(2)“上游上游”的质元依次带动的质元依次带动“下游下游”的质元振动的质元振动 (3)(3)某时刻某质元的某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于振动状态将在较晚时刻于“下下游游”某处出现某处出现-波是振动状态的传播波是振动状态的传播 (4)(4)同相点同相点-质元的振动状态相同质元的振动状态相同波是相位的传播波是相位的传播沿波的传播方向沿波的传播方向,各质
7、元的相位依次落后。各质元的相位依次落后。2.波面波面 波射线波射线波射线：波射线：波传播的方向射线波传播的方向射线 波面：波面：振动相位相同的各点连成的面振动相位相同的各点连成的面(同相面同相面)。波前波前:某时刻同某时刻同一波源向外传播的波到达的各一波源向外传播的波到达的各空空间点间点连成的连成的面。面。波面波面波前波前在各向同性介质中在各向同性介质中点源：点源：波面是球面波面是球面 所以称为所以称为球面波球面波线源：线源：波面是柱面波面是柱面 所以称为所以称为柱面波柱面波面源：面源：波面是平面波面是平面 所以称为所以称为平面波平面波球面波球面波柱面波柱面波平面波平面波能量能量在各向同性介质
8、中在各向同性介质中球面波球面波柱面波柱面波平面波平面波1)波面与波射线的关系：波射线垂直波面波面与波射线的关系：波射线垂直波面2)波射线是波的能量传播方向波射线是波的能量传播方向3)平面波是最理想的波（一维问题平面波是最理想的波（一维问题 能量不发散）能量不发散）三、平面三、平面 S H W 的传播的传播 平面平面:波面是平面波面是平面(一维、能量不损失一维、能量不损失)S H W:各点均作简谐振动各点均作简谐振动 以绳上横波为例以绳上横波为例 说明波的传播特征说明波的传播特征xuy1310741无外界干扰无外界干扰 各质点均处在自己的平衡位置处各质点均处在自己的平衡位置处1310741第第1
9、个质点受一干扰个质点受一干扰 准备准备离开自己的离开自己的平衡平衡位置向位置向正正方向振动方向振动13107410ty4Tt 第第4个质点个质点准备准备400y振动振动状态状态2y113107411310741第第7个质点准备个质点准备2Tt 43Tt 第第10个质点准备个质点准备y417102第第13个质点准个质点准备备Tt y14710132当第当第1个质点振动个质点振动1个个周期周期后后 它的它的最初最初的振动的振动相位相位传到第传到第13个质点个质点 从从相位相位来看来看 第第1个质点领先第个质点领先第13点点22.2.描述简谐波的物理量描述简谐波的物理量 波线上两个相邻的相位差为波线
10、上两个相邻的相位差为 2 的质点间的距离。的质点间的距离。v 横波波长：横波波长：相邻的波峰相邻的波峰(或波谷或波谷)间距离；间距离；简谐波简谐波 波源作简谐振动，介质不吸收波动的能量，波源作简谐振动，介质不吸收波动的能量，各质点也重复波源的简谐振动形成的波。各质点也重复波源的简谐振动形成的波。平面简谐波平面简谐波 波面是平面的简谐波波面是平面的简谐波(一维简谐波一维简谐波)。1)1)波长波长 波线上每隔波线上每隔的距离出现相位差的距离出现相位差 2 、振动状态相同振动状态相同的质点，的质点，反映了波的空间周期性反映了波的空间周期性。v 纵波波长：纵波波长：相邻的密部相邻的密部(或疏部或疏部)
11、中心间距离。中心间距离。结论结论 1.1.波是波是振动状态振动状态的传播的传播 不是质点的流动不是质点的流动,各点均在各点均在 自己的平衡位置附近作振动。自己的平衡位置附近作振动。单位时间内波动所传播的距离。单位时间内波动所传播的距离。波前进一个波前进一个的距离所需的时间的距离所需的时间。周期的倒数。周期的倒数。2)2)周期周期 T 波线上各质点每隔波线上各质点每隔 T 时间完成一次全振动，时间完成一次全振动，T 反映了反映了 波的时间周期性。波的时间周期性。3)3)频率频率 振振波波TT 即单位时间内波传播的距离中包含的波长的数目即单位时间内波传播的距离中包含的波长的数目(波数波数)。振振波
12、波 5)5)波速波速 u 即同相面或波前前进的速度，亦称即同相面或波前前进的速度，亦称 相速相速。在各向同性的均匀弹性介质中，简谐波的在各向同性的均匀弹性介质中，简谐波的u是常数，是常数，仅由介质本身的性质决定。仅由介质本身的性质决定。4)4)波数波数k k在在2 2 的长度内含有完整波的数目。的长度内含有完整波的数目。k=k=2 2 /6 6)、T、u 的关系的关系 Tu 波速波速 u 决定于介质；决定于介质；频率频率决定于波源决定于波源。同一波源发出的一定频率的波在不同介质中传播时，同一波源发出的一定频率的波在不同介质中传播时，频率频率 不变，波速不同，不变，波速不同，因而波长因而波长 不
13、同不同。(20.5)该式将波的该式将波的空间周期性空间周期性和和时间周期性时间周期性联系在一起。联系在一起。3.波射线上各点振动相位波射线上各点振动相位(振动状态振动状态)的关系的关系1)同时同时看波线上各点看波线上各点 沿传播方向沿传播方向 各点相位依次落后各点相位依次落后y1471013x2相差是相差是相距一个波长两点相距一个波长两点相位差是相位差是2 如第如第13点和第点和第1点点或说振动时间差或说振动时间差1个个周期周期则相位差为则相位差为2 x任意两质元间距为任意两质元间距为P Qu1310741x相距一个波长两点相位差是相距一个波长两点相位差是2 x2相距相距 x的任意两点的相位差
14、的任意两点的相位差2)从两质元振动的从两质元振动的重复性重复性看看2Tt x t 时刻时刻 第第13质元的振动是第质元的振动是第1质元在质元在 t T 时刻的振动时刻的振动 第第1点和第点和第13点之间点之间 间距间距:振动时间差：振动时间差：相位差相位差:间距为任意间距为任意 x 的两点的关系：的两点的关系：在波线下方在波线下方Q点点 t 时刻的振动是前方时刻的振动是前方P点在点在uxtTxt时的振动时的振动即即2Tt x则则一般关系：一般关系：若已知波传播若已知波传播P点点的振动形式可用函数的振动形式可用函数 f(t)表示表示Q点与点与P点相距为点相距为l 则则Q点的振动函数是点的振动函数
15、是f(t-l/u)周期性的体现周期性的体现 普遍的结论普遍的结论P Qux同样同样若若Q点点的振动形式是函数的振动形式是函数 f(t)Q点与点与P点相距为点相距为l 则则P 点的振动函数是点的振动函数是f(t+l/u)一维波动方程的一般表示：一维波动方程的一般表示：),(txyy 若波速若波速 u 为恒量，则从整体上看，整个波以速度为恒量，则从整体上看，整个波以速度 u 向前向前推进，所以又称这种波为推进，所以又称这种波为行波行波（traveling waves）。）。波动方程波动方程 描述介质中各点振动位移随时间和平衡位置描述介质中各点振动位移随时间和平衡位置变化的函数关系。变化的函数关系。
16、x：质点平衡位置的坐标；质点平衡位置的坐标；y：质点质点 t 时刻的时刻的振动位移振动位移。下面以下面以横波横波为例说明平面简谐波的波动方程：为例说明平面简谐波的波动方程：(波函数波函数)四、四、平面平面 S.H.W.的余弦表达式的余弦表达式(1)建立坐标原点建立坐标原点 O 处质点处质点的振动方程：的振动方程：)cos(tAyO x yOO点的振动传到点的振动传到 P 点需用时间点需用时间 uxt t 时刻时刻 P 点比点比 O 点点相位落后相位落后:2 xux (3)写出写出P点的振动方程：点的振动方程：P点在点在 t 时刻的位移时刻的位移 =O 处质点在处质点在 时刻的位移时刻的位移。u
17、xt 1 1.沿沿 x 轴正向轴正向传播的波动方程传播的波动方程 ux P(2)确定任意质点确定任意质点 P 的振动相位：的振动相位：)(cos uxtAyP该式代表任意位置处质点的振动规律，即为该式代表任意位置处质点的振动规律，即为波动方程波动方程。,22 T )(cos uxtAy Tu 利用关系式：利用关系式：)(2 cos xtAy )(2 cos xTtAy 2 cos xtAy得下述等价形式的得下述等价形式的波动方程波动方程：(20.2)波动方程：波动方程：等等。2 2.沿沿 x 轴轴负向负向传播的波动方程传播的波动方程 t 时刻时刻 P 点比点比 O 点相位点相位超前超前：2 x
18、ux 故故 P点的振动方程为：点的振动方程为：ux P x yO 沿沿 x 方向传播的波动方程：方向传播的波动方程：)(cos uxtAyP )(cos uxtAy )(2cos xtAy )(2cos xTtAy 讨论讨论xtAy2cos1)向向x轴轴负负向传播向传播xtAy2cos2)角波数（简称波数角波数（简称波数)波数：单位长度内含的波长数目（波长倒数）波数：单位长度内含的波长数目（波长倒数）角波数：角波数：2 长度内含的波长数目（简称波数）长度内含的波长数目（简称波数）2k向向x轴轴正正向传播向传播平面谐波一般表达：平面谐波一般表达：()kxtAycos负负（正正）号代表向）号代表向
19、 x 正正（负负）向传播的谐波）向传播的谐波3.3.波动方程的物理意义波动方程的物理意义 波动方程波表示波动方程波表示 x1 1 处质点的处质点的振动方程振动方程，(1)x 一定：一定：x=x1(常量常量)2(cos1 xtAy常常 量量 对应对应 y t 曲线曲线为该质点为该质点振动曲线振动曲线。该质点的相位落后于该质点的相位落后于O点点 ，21 xtyO振动曲线振动曲线 2 cos xtAy波动方程表示波动方程表示 t1 时刻各质点位移分布，时刻各质点位移分布，(2)t 一定：一定：t=t1(常量常量)2(cos1 xtAy )2(cos1 txA常常 量量 y x 曲线曲线为该时刻为该时
20、刻波形曲线波形曲线。称称 t1 时刻的时刻的波形方程波形方程。xuyOt1Px 波形曲线反映了横波、纵波的波形曲线反映了横波、纵波的 各质点各质点位移位移情况。情况。)(cos),(uxtAtxyP(3)x，t 皆为变量皆为变量 )(cos),(utuxttAttxxyQQ )(cos),(uxtAttxxyQ ),(txyP x=u t xxuyOtt+t同样的位移发生在同样的位移发生在 处，波向前传播了处，波向前传播了 xx tu的距离的距离。，在经过在经过 这表示在这表示在 时刻时刻 处的位移处的位移 时间后，时间后，Pyttx波动方程表示波线上波动方程表示波线上所有质点所有质点在在各个
21、时刻各个时刻的位移情况。的位移情况。波动方程的波动方程的物理意义物理意义 波动方程既描述了波线上各质点振动状态及相位差异，波动方程既描述了波线上各质点振动状态及相位差异，又描述了随着时间的推移，波形以波速又描述了随着时间的推移，波形以波速 u 沿传播方向传播的沿传播方向传播的情况，具有完整的波动意义。情况，具有完整的波动意义。简谐波具有空间和时间周期性：简谐波具有空间和时间周期性：空间上每隔空间上每隔的距离出现振动状态相同的点；的距离出现振动状态相同的点；v 时间上每隔时间上每隔 T 的时间波形重复一次。的时间波形重复一次。v 平面简谐波的波动方程既适用于横波，也适用于纵波。平面简谐波的波动方
22、程既适用于横波，也适用于纵波。xuyOtt+t )(cos uxtAy4 4.波线上两质点之间的相位差波线上两质点之间的相位差 2 cos 11 xtAy 2 cos 22 xtAy 相位差：相位差：)2()2(12 xtxt 2 12 xx 2 x 波程差：波程差：12xxx 结论：结论：波线上，沿波的传播方向各质点的相位波线上，沿波的传播方向各质点的相位逐点落后逐点落后，每隔每隔的距离，相位落后的距离，相位落后 2 。xuO 1x 2x5.波线上各质点的振动速度和加速度波线上各质点的振动速度和加速度 )(sin uxtAtyv )(cos 222 uxtAtya 注意注意 振动速度振动速度
23、 v 与波速与波速 u 的区别：的区别：u 波在各向同性的均匀介质中传播速度，是常数。波在各向同性的均匀介质中传播速度，是常数。v 介质中各质点振动速度，是时间的周期函数；介质中各质点振动速度，是时间的周期函数；)(cos uxtAy根据波动方程根据波动方程 得：得：速速 度：度：加速度：加速度：波速波速 相速相速 u0 xktddktxudd相位传播速度相位传播速度（相速）（相速）const.)(kxt波是振动状态的传播波是振动状态的传播 考察某振动状态考察某振动状态即令即令将其全微分将其全微分 有关系式有关系式由速度的定义得出重要关系由速度的定义得出重要关系1 1）弹性绳或弦线上的弹性绳或
24、弦线上的横波波速横波波速2 2）固体中的固体中的横波波速横波波速 Tu 横横T 绳或弦中的张力绳或弦中的张力；机械波的传播速度机械波的传播速度 绳或弦的质量线密度绳或弦的质量线密度。Gu 横横G 切变模量；切变模量；F切切 固体的质量体密度固体的质量体密度。(20.21)(20.24)4 4）液体和气体中的）液体和气体中的纵波波速纵波波速 Bu 纵纵B容变模量容变模量；3 3）固体中的固体中的纵波波速纵波波速Y杨氏模量；杨氏模量；Yu 纵纵 固体的质量体密度。固体的质量体密度。液体或气体的质量体密度。液体或气体的质量体密度。G Y，固体中固体中 u横横 u纵纵 。(20.22)(20.24)例
25、例1 1：已知：波沿着已知：波沿着x轴的正方向传播轴的正方向传播 波源波源a的振动形式为的振动形式为()0costAya求：波的表达式求：波的表达式xuoa0lP解：解：任意一点任意一点P坐标为坐标为xx波动方程应用举例波动方程应用举例 解：解：任意一点任意一点P坐标为坐标为xxuoa0lPx解法一解法一 相位关系相位关系P点相位落后波源点相位落后波源a的振动相位的振动相位atAyP2cos0()002coslxtAyaP2所以就在所以就在a点振动表达式的基础上改变相位因点振动表达式的基础上改变相位因子就得到了子就得到了P的振动表达式的振动表达式xuoa0lPx解法二解法二 运动的重复关系运动
26、的重复关系0cosuaPtAy()002coslxtAy()00coslxutA例例2 2：一平面简谐波沿：一平面简谐波沿x 轴轴正向正向传播，已知传播，已知 A=1.0 m，T=2.0 s，=4.0 m。t=0 时坐标原点处质点位于平衡位置沿时坐标原点处质点位于平衡位置沿 y 轴正轴正 向运动。求：向运动。求：(1)波动方程；波动方程；(2)t=1.0 s 时波形方程并画时波形方程并画 出波形图；出波形图；(3)x=1.0m 处质点的振动方程并画出振动图。处质点的振动方程并画出振动图。)(2cos xTtAy解解:(1)按所给条件按所给条件,取波动方程的一般形式为取波动方程的一般形式为式中式
27、中 为为坐标原点坐标原点的振动的振动初相初相，由已知得：，由已知得：2 代入所给数据，代入所给数据，得得 2 )0.4 0.2 (2cos 0.1 xty波动方程：波动方程：(2)将将 t=1.0 s 代入代入 式得出此时刻式得出此时刻波形方程波形方程:)22cos(0.1x 2)0.40.20.1(2cos0.1 xy 2sin0.1 xy 由由式可画出式可画出 t =1.0 s 的的波形图波形图：4.0 y/mx/m1.0 Ou-1.0 (3)将将 x=1.0m 代入代入 式式，2)0.40.10.2(2cos0.1 ty )cos(0.1 ty由此作出其由此作出其振动曲线振动曲线如图：如
28、图：y/mt/s1.0O-1.02.0 得该处质点的得该处质点的振动方程振动方程：例例 3 3：物理练习十二物理练习十二 计算题计算题 1 解：解：已知已知 .0 ,2 ,0 ;m 06.0 ,s 20 vAytAT s 2221 T 2cos0AAy 0sin0 Av得：得：3 取：取：3 由初始条件得：由初始条件得：O 点的振动方程：点的振动方程：m )3 (cos 06.0 tyO(1)(2),sm 21 u沿沿x 方向传播的波动方程为：方向传播的波动方程为：)(cos uxtAy m 3)2(cos06.0 xt(3)m 422 uT 例例 4 4：物理练习十二物理练习十二 计算题计算
29、题 2 2uu 解：解：(1)沿沿 x 方向方向传播的传播的波动方程波动方程：(SI)20 (4 cos3 xty )20 18(4cos3 tyD将将 代入上式代入上式：m 18 Dx (SI)5 23 4 (cos3 tyDxy ADu m 102042 得得 D点的点的振动方程振动方程：(2)求沿求沿 x 正向正向传播的波动方程，传播的波动方程，(SI)20 (4 cos3 xty m 28 18 10 Dx将将 代入得代入得 D点的点的振动方程振动方程：)2028(4cos3 tyD(SI)5 23 4 (cos3 txy ADu O 应先写出应先写出O点点的振动方程：的振动方程：O比
30、比A点相位超前点相位超前 2101022 OA )2 4 cos(3 tyO)4(cos3 tyOO点点振动方程振动方程：故沿故沿+x 方向传播的方向传播的波动方程波动方程：波动方程与坐标的选择有关而振动方程与坐标的选择无关。波动方程与坐标的选择有关而振动方程与坐标的选择无关。例例 5 5：物理练习十二物理练习十二 计算题计算题 4 100 my(m)x(m)Ou A 22A解：解：(1)由图知由图知 m 200 25022 250200 u t=0 时，时，O处质点处质点向下运动：向下运动：22cos0AAy 0sin0 Av得：得：4 O 点振动方程点振动方程：m )4 500(cos t
31、AyO sm 500001-s 500 1-波动方程：波动方程：m 4 )200 250(2 cos xtAy(2)的波形的波形 8Tt 100 my(m)x(m)Ou 22At=0将将 t=0 的波形向的波形向x 方向平移：方向平移：m 2588 Tux 8Tt (3)x=100 m 处质点处质点 振动方程：振动方程：m )45 500(cos100 tAy振动速度：振动速度：sm )45 500(sin 500 1-100100 tAtyv五、平面五、平面 S.H.W.的复数表示法的复数表示法()kxtiAey()()kxtiAkxtAsincos()()kxtiekxtiAeRAekxt
32、Ay)(cos取实部取实部()kxtiAeytiikxeAe经典波：经典波：波函数表示实在物理量波函数表示实在物理量 只有取只有取实部才有意义实部才有意义 但可以使计算方便但可以使计算方便量子量子：波函数本身一般就是复数波函数本身一般就是复数*六六、平面波动方程的微分形式平面波动方程的微分形式 )(cos 222 uxtAty )(cos uxtAy由波动方程：由波动方程：)(cos2222 uxtuAxy 1 22222tyuxy 得出平面波动方程的微分形式：得出平面波动方程的微分形式：得：得：无色散介质无色散介质 一维波动方程一维波动方程222221tyuxy综量是综量是utx 的函数的函数()utxf解的形式：解的形式：()kxtAycos当然包括当然包括平面简谐波平面简谐波介质中介质中的波速的波速细棒细棒中纵波中纵波弦上弦上横波横波2222tyYxy2222tyTxyTxySFYFxSYu Tu 结论：波速与结论：波速与介质介质 波的波的类型类型（横波（横波 纵波）纵波）有关有关 无色散介质中无色散介质中与频率无关与频率无关杨氏模量：单位形变时杨氏模量：单位形变时单位面积受的力单位面积受的力
